第14章 组合变形

2 y
z
(yF,zF)
y
（yF，zF）为外力作用点的坐标
ay，az为中性轴在y轴和z轴上的截距 当中性轴与图形相切或远离图形时，整 个图形上将只有拉应力或只有压应力
az
中性轴
ay
z
(yF,zF)
y
z
(yF,zF)
y
az
z
中性轴
ay
(yF,zF) 中性轴
y
中性轴
1、定义 当外力作用点位于包括截面形心的一个区域内时，就 可以保证中性轴不穿过横截面（整个截面上只有拉应力或 压应力 )，这个区域就称为截面核心
FN F F F s1 2 A A ( 2a ) 4a 2
开槽后1-1是危险截面 危险截面为偏心压缩 将力 F 向1-1形心简化
F
1
F
Fa/2
1
FN M F Fa / 2 2F s2 2 A W 2a a 1 2a a 2 a 6 开槽后立柱的最大压应力 2F / a 2 2 8 未开槽前立柱的最大压应力 F / 4a
中性轴在 y , z 两轴上的截距为 D2
O
ey, ez
D1
az ay
y
iz ay ey
2
az
iy
2
ez
中性轴与外力作用点分别处于截面形心的相对两侧
讨论
中性轴 (1) 在偏心拉伸 (压缩) 情 况下， 中性轴是一条不通过截面形心的直线 O
z y
zF z0 yF y0 1 2 0 2 iy iz
如果内力、应力、变形等与外力成线性关系，在小变形
条件下，复杂受力情况下组合变形构件的内力、应力、 变形等力学响应可分成几个基本变形单独受力情况下相 应力学响应的叠加，且与各单独受力的加载次序无关。
=
+
=
+
+
叠加原理的成立要求 1）内力、应力、变形等与外力成线性关系的条件是线 弹性材料，加载在弹性范围内，即服从胡克定律。
(3)依题的要求,整个截面只有压应力
m
m
F1 F2 F2 e s s s 2 0 A bh / 6
( F1 F2 ) / A bh 2 e F2 6
z
e
y
b
h
§14.3 偏心压缩和截面核心
当外力作用线与杆的轴线平行但不重合时，将引起轴向拉伸 （压缩）和平面弯曲两种基本变形。 1） 横截面上的内力 将F向轴线或形心平移 中心压缩和平面弯曲的 外载荷 轴力 弯矩 FN= F
s max
FN M y M z ( ) [s ] A Wy Wz
对于没有棱角的截面，必须首先确定中性轴的位置，然后找到 离中性轴最远的点，这就是危险点。
令 y0 , z0 代表中性轴上任一点的坐标， 即得中性轴方程
中性轴
z
ez z0 ey y0 1 2 2 0 i y i z
工程力学
第14章 组合变形
目 录
14.1 概述
14.2 轴向拉伸或压缩与弯曲的组合
14.3 偏心压缩和截面核心
14.4 扭转与弯曲的组合
§14.1 概
一、构件变形分类
述
根据受力情况分类
构件变形
基本变形形式
组合变形形式
轴向拉压、扭转、 平面弯曲、剪切
由两种或两种以上 基本变形形式组成
三、处理组合变形问题的方法 ——基于叠加原理的叠加法
150 50 150 50
解：(1) 确定形心位置
A=1510-3 m2
Z0 =7.5cm
计算截面对中性轴 y 的惯性矩
Iy = 5310cm4
z0
y
z1
F F
350 n n 150
z 50 50 150
F
n
n
FN My
(2) 分析立柱横截面上的内力和应力 在 n—n 截面上有轴力 FN及弯矩 My
z
y
截面核心
2、截面核心的确定 当外力作用在截面核心的边界 上时，与此相应的中性轴正好 与截面的周边相切。截面核心 (yF,zF)
y
截面核心
z
的边界就由此关系确定。
az
iz2 yF ay
2 iy zF az
ay
中性轴
3、确定截面核心的步骤 1、在截面的边缘处做与截面相切的中性轴, 并确定中性轴 的截距； 2、由中性轴的截距，计算外力作用点的坐标； 3、最后连接力作用点得到一个在截面形心附近的区域 —— 截面核心。
FN F M y [( 35 7.5) 10 2 ]F 42.5 10 2 F
z0
y
z1
F F
350 n n 150 z 50 150
F
n
n
50
FN My
由轴力 FN产生的拉伸正应力为
FN F s MPa A 15
'
拉
z0 z
y
z1
F F
350 n n 150 50 50 150
FCD 42kN
FCD分解为
FCDx FCD FCDy
2.5 40kN 2.62 0.8 FCD 12.8kN 2.62
2）分析基本变形形式，计算危险截面上可能危险点的应力 根据基本变形形式分别画出AB的FN图和M图
D
－
M
12kN· m
800
x
C
A
FN
－
B
2500 1500
例 求矩形截面的截面核心
1
作切线 为中性轴，得两截距分别为
z
a y1
h az1 2
D
A
O y
矩形截面的
1
2 h 2 iz 12
hb 3 2 I b y 2 iy 12 A hb 12
C
h
B
yF 1
i h 12 h a y1 6 2
百度文库
2 z
h2
zF 1
(2) 用 ay和 az 记中性轴在 y , z 两轴上的截距，则有
i ay yF
中性轴
2 z
2 iy az zF
(3) 中性轴与外力作用点分别处于截面形心的相对两侧
z (yF , zF )
O
ay
az
y
z
中性轴
0
外力作用点
z
D1(y1,z1) y
中性轴
y
D2(y2,z2)
（4）中性轴将横截面上的应力区域分为拉伸区和压缩区 横截面上最大拉应力和最大压应力分别为D1 , D2 两切点
3）危险点的应力为简单应力状态，直接校核
s max [s ]
例 小型压力机的铸铁框架如图所示。已知材料的许 用拉应力 [st] =30MPa ，许用压应力 [sc] =160MPa。试按 立柱的强度确定压力机的许可压力F。
y
z0
z1
F
350
F
z
150 50 150 50
z0
y
z1
F F
350 z
s max F F zF F yF WZ s min A W y
五、强度条件 (Strength condition)
由于危险点处仍为单向应力状态，因此， 求得最大正应力后，建立的强度条件为
D2 D1 y z
s max [s ]
截面核心
i ay yF
2 z
i az zF
W
（1）将载荷分解，按照引起不同的基本变形进行分组
D
800
C
A B
2500 1500
W
取AB为研究对象，画受力简图
FCD
FAx
轴向压缩变形：FCDx、 FAx
B
W
A
FAy
弯曲变形：FCDy、 FAy、W
D
800
FCDy
C A B
2500
A
FAx
A
FCDx
FAy
B
W
1500
M
0
FCD
W 2.5 2.5 W (2.5 1.5) 0 2.62
可见，截面上离中性轴最远的点有最大压应力（或最大拉应力）
利用惯性矩与惯性半径的关系
2 I y A iy
I z A iz2
上式可改写为
ez z ey y F s (1 2 2 ) A i y iz
上式是一个平面方程。表明正应力在横截面上按 线性规律变化。应力平面与横截面的交线（直线 s = 0）就是中性轴。 3） 中性轴与强度计算 立柱的最大压应力发生在角点D1处 (危险点),其强度条件为
F2 mz
F1
轴向压力
力偶矩
F F1 F2
mz F2 e
F F1 F2
m
m
(2) m--m 横截面上的内力有
z
轴力 弯矩
e y
mz F2 e
b h
FN F1 F2 轴力产生压应力 s A A
弯矩产生的最大正应力 mz
F2 F1
Mz F2 e s 2 Wz bh / 6
F
n
n
FN My
（3）叠加
在截面内侧有最大拉应力
s t max
F 425 7.5F s s ''t max [s t ] 15 5310
[F] 45.1 kN
拉
z0 z
y
z1
F
350
n n 150 50 50
F
F
n
n
150
压
FN My
在截面外侧有最大压应力
s c max
iz2 0 az 1
2
同理,分别作切线 、 、 ，
D z 2 3 4 C h B A
可求得对应的核心边界上点的坐标 依次为
yF 2 0, zF 2
h ( , 0) 6 b ( 0, ) 6
3
b 6
1
0
y
矩形截面核心形状分析 直线 绕顶点 B 旋转到直线 时，将得到一系列通过 B点 但斜率不同的中性轴，而 B点坐标 yB , zB 是这一系列中性轴 上所共有的。
F
n
n
FN My
由弯矩 My产生的最大弯曲正应力为
s tmax
max sc
M y z0 Iy
425 7.5F MPa ( ) 5310
M y z1 425 12.5F MPa ( ) Iy 5310
拉
z0 z
y
z1
F F
350 n n 150 50 50 150 压
a
a
例 矩形截面柱如图所示，F1的作用线与杆轴线重合， F2作用在 y 轴上。已知: F1= F2=80kN，b=24cm , h=30cm。如 要使柱的 m—m 截面只出现压应力，求 F2 的偏心距 e。 F1 F2
m m
z
e
b
h
y
解： (1) 外力分析 将力 F2 向截面形心简 化后，梁上的外力有
M y F ez
M Z F ey
2） 任意横截面C 点的应力 由叠加原理，得 C点处的正应力为
F F ez z F e y y s ( ) A Iy Iz
式中 A为横截面面积;
Iy , Iz 分别为横截面对 y 轴和 z 轴的惯性矩;
( ey，ez ) 为力 F 作用点的坐标; ( y,z) 为所求应力点的坐标.
例 求圆形截面的截面核心
1
作切线 为中性轴 ,在两个形心主惯性轴上的截距分别为
a y1
d , 2
2 z
az1
z
1
i d 16 yF 1 , d a y1 8 2 2 iy zF 1 0 az1
2
d2
O d/8
A
y
由于圆截面对于圆心O是对称的,因而,截面核心的边界对于 圆也应是对称的,从而可知,截面核心边界是一个以O为圆心,以 d/8 为半径的圆
2）小变形条件，保证能按构件初始形状或尺寸进行分
解与叠加计算，且保证与加载次序无关。
解决组合变形问题的主要步骤 1）将载荷按基本变形加载条件进行静力等效处理。
2）得到相应的几种基本变形形式，分析危险截面，计 算危险点的应力。
3）采用叠加法得到组合变形下原载荷作用的危险点的
应力。
§14.2 轴向拉伸或压缩与弯曲的组合
z
z FzF/Wy y
z FyF/Wz y (c)
y
sN
(a)
sMy
(b)
sMz
(5) 对于周边具有棱角的截面，其危险点必定在截面的棱角处， 并可根据杆件的变形来确定
最大拉应力 stmax 和最大压应力 scmin 分别在截面的棱角 D1
D2 处 . 无需先确定中性轴的位置 ,直接观察确定危险点的位置 即可
F 425 12.5F s s [s c ] A 5310
[F] 171.3 kN
所以取
[F] 45.1 kN
例 正方形截面立柱的中间处开一个槽，使截面面积为原 来截面面积的一半。求开槽后立柱的的最大压应力是原来 不开槽的几倍。
F F
a
a
a
a
解： 未开槽前立柱为轴向压缩
外力作用下同时发生拉伸 (压缩 ) 与弯曲两种基本变形。
注意：计算时不考虑剪力的作用。
以起重机横梁AB为例说明轴向拉压与弯曲的组合变形。 结构如图所示，已知最大吊重W = 8kN， AB杆假设为Q235钢 的16号工字钢，许用应[σ]=130MPa ，试校核强度。
D
800 C A B 2500
1500
W
40kN
x
C截面左侧具有最大的轴 力和弯矩为危险截面。
C
FN~sN
M~sM (+)
s
+
(-)
=
(-)
C截面左侧下边缘两种压应力叠加，达到最大应力，为危险点。 叠加后危险点的应力为：
s max
FN M max 40 103 N 12 103 N m 100.5 MPa A W 26.1 104 m 2 141 106 m 3