当角平分线遇到平行线……

当角平分线遇到平行线……

教学过程：

在几何学习中，我们经常会遇到含有角平分线和平行线的问题，那么当角平分线遇到平行线会产生怎样的火花呢？接下来让我们一起来探索吧！

试一试：

1.如图，已知BD平分∠ABC ，且DE//BC ，则BE=DE吗？说明理

由。

如果我们把其中一个条件和结论调换一下，还能成立吗？

变式一：如图，已知DE//BC，且BE=DE，则BD平分∠ABC吗？说

明理由。

变式二：如图，已知BD平分∠ABC ，且BE=DE，则DE//BC吗？说明理由。

总结：

我们得到了这样一个基本图形：

它的特征是：过角的平分线上一点作一条边的平行线与角的另一条边及角平分线围成的三角形是等腰三角形。

我们简单地表示为：当角平分线遇到平行线时，一这会产生等腰三角形。

角平分线+平行线等腰三角形

角平分线+等腰三角形平行线

平行线+等腰三角形角平分线

热身训练

看下列四个图，相等的角和平行线都已用记号标出，你能迅速地找出每个图中的等腰三角形吗？

（1）（2）（3）（4）

例1：如图，AB=AC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB。问：

（1）图中有几个等腰三角形？

（2）若过D作EF∥ BC，则图中有几个等腰三角形？

（3）线段EF与线段BE，CF有何数量关系？你能说明理由吗？

(4) 若AB=4, 求△AEF的周长.

变式1：如图，△ ABC中，BD平分∠ABC， CD平分∠ACB，过点D作EF∥ BC分别交AB,AC于点E,F.当AB=12,AC=8,你能求△AEF的周长吗？

变式2：如图，△ABC中，∠ABC的平分线和一个外角的平分线CD交于点D，过点D作DE∥BC，交AB于点E,交AC于点F. 写出EF与BE，CF的数量关系，并说明理由.

变式3：如图，△ABC的两个外角∠CBE与∠BCF的平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F ，则EF与BE，CF三者有何数量

关系？

我们在折叠问题里也会遇到这类基本图形。

如图:把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD对折,点C落在点C’处，BC’交AD于点O，若BC=9,CD=3,求OD的长。

拓展：

如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠DAB ， BE平分∠

ABC.

求证： AB＝AD＋BC。

（学生思考回答）

通过这节课的学习，你有什么收获？

1.基本图形：双平等腰

2.基础知识：等边对等角，等腰三角形三线合一

3.数学思想：方程思想

4.