压缩映射原理及应用

f: RR是压缩映射 f(x)在R上有唯一的不动点x，对于迭代xn+1=Txn，有
2）映射的不动点：使x=Tx的x称为T:XX的不动点.
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一、压缩映射及压缩映射原理
1.压缩映射及其不动点的定义
定义4.1 (压缩映射) 设X是距离空间，T：XX是X上的自映 射，如果存在0<1，对x,yX，都有
(Tx,Ty)(x,y)， 则称T是X上的一个压缩映射。
例4.1 设f (x)在R可导, 且f ′(x)<1, 则f (x)在R上有唯一的不 动点x,且x可由迭代xn+1=Txn (n=1,2,…) (x0R)迭代求得.
证 R是完备距离空间，函数f(x)是R到R的一个映射， x1,x2R, 由拉格朗日中值定理, 有 (f(x1), f(x2))=f(x1)-f(x2)=f’()x1-x2(x1,x2)
x与Tx都是T n的0 不动点 x=Tx （不动点的唯一性）
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3.压缩映射原理应用
应用压缩映射原理及其推论解决实际问题的步骤：
1) 说明X是完备距离空间； 2) 有实际问题定义映射T:XX，使x=Tx； 3) 证明所定义映射T是X上的压缩映射；
3) 有压缩映射原理说明不动点的存在唯一性。
定Leabharlann Baidu1 压缩映射是连续映射
事实上，{xn}X, xnxX, T:XX是压缩映射 (Txn, Tx)(xn,x)0 (n) T是连续映射
定义4.1 (映射的不动点) 设X距离空间，T：XX是X上的自映 射，如果存在xX，使得x=Tx，则称x是映射T的一个不动点。
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n ( 1 k )
n
k ,( x n k ,x n )1 ( T 0 ,x 0 x ) 1 ( T 0 ,x 0 x )
令k, 有极限保号性记即得证
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推论4.1 设X是完备的距离空间，T：XX. 如果T在闭球S(x0, r)上是压缩映射，并且 (Tx0, x0)(1)r (0<1) 则T在闭球S(x0, r) 中存在唯一的不动点。
2) 压缩映射原理提供了映射不动点的求法—迭代法:
x0X, 令xn=Txn-1, 则 xn=Tnx0 (n=1,2,…), x=lim xn (n).
3)压缩映射原理给出了近似解的误差估计公式： n (x ,x n ) k l i m (x n k ,x n )1 (T0 ,x 0 )
事实上，由定理证明过程知
② 证明{xn}是基本列, 因而是收敛列。T是压缩映射 , 0<1, 使得
(xn+1,xn)=(Txn,Txn-1)(xn,xn-1)2(xn-1,xn-2) …n(x1,x0)=n(Tx0,x0) (n=1,2,…)
(xn+k,xn)(xn+k,xn+k-1)+(xn+k-1,xn+k-2)+…+(xn+1,xn) (n+k-1+n+k-2+…+n)(Tx0,x0) (kN)
T是压缩映射T是连续映射
xn+1=Txn , xnx, T连续x=Tx (n) x是T的不动点
唯一性 设x,y都是T的不动点x=Tx,y=Ty (x,y)=(Tx,Ty)(x,y)(x,y)=0 (0<1)
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注 1) 压缩映射原理给出了映射的不动点存在的条件；
(xn,x0)r (n=1,2,…) (数学归纳法) xnS(x0,r) (n=1,2,…) 唯一xS(x0,r)，使得x=Tx. （在S(x0,r)上应用定理4.1)
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推论4.2 设X是完备距离空间，T：XX，如果存在常数
(0<1)
及正整数n(T 0 ，n 0x 使,T 对n 任0)何 x, y(x X,，y 都)有
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n ( 1 k )
n
( x n k ,x n )1 ( T 0 ,x 0 x ) 1 ( T 0 ,x 0 x )
(xn+k,xn)0 (n) (0<1) {xn}是基本列{xn}收敛 (X完备) xX, 使xnx (n)
② 证明极限点x就是T的不动点。
分析 只要在闭球内构造一个迭代序列{xn}即可。 证 取初始点x0S(x0, r)，作迭代xn=Tn x0 (n=0,1,2,…)
T是S(x0,r)上的压缩映射, 且(Tx0, x0)(1)r (0<1)
(x1, x0)=(Tx0,x0)(1-)rr
(x2,x0)=(Tx1,x0) (Tx1,Tx0)+(Tx0,x0) (x1,x0)+(1-)r+r(1-)r=r
则T存在唯一不动点x，即x=Tx. (其中定义：T2x=T(Tx), T3x=T(T2x),…,Tnx=T(Tn-1x),…)
证 x ,y X , n 0 N , [ 0 , 1 )( T ,n 0 x , T n 0 y ) ( x ,y )
T是n0 X上的压缩映射
唯 x 一 X ,使 T n 0xx T n 0(T) x T n 0 1 x T (T n 0x ) Tx
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2. 压缩映射原理(Banach不动点原理，波兰，1922)
定理4.1 (压缩映射原理) 设X 是完备的距离空间，映射T： XX是压缩映射，则T在X中存在唯一的不动点x, 即x=Tx。
证 存在性 设X完备，T: XX是压缩映射，
① 任取初始点x0X，构造迭代序列{xn}X： xn+1=Txn (n=0,1,2,…)
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第四节 压缩映射原理及其应用
• 压缩映射及其不动点的概念 • 压缩映射原理 • 压缩映射原理应用举例—求映射的不动点
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基本思想：
代数方程 微分方程 积分方程
x=Tx x0 , xn+1=Txn ~ xT~ x
注：1）把“方程的求解”问题化归为“求映射的不动点”问 题 ，并用逐次逼近（即迭代）法求不动点（既近似解）的方法 是计算数学，分析和代数中常用的一种重要方法。例如，牛顿 求代数方程根时采用的切线法。