大学物理第5章 刚体的定轴转动
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M C JC ,
C O 为什么？
2
MC
l N t , JC 1 ml 2 12
N t 1 mg cos 4
【例】一长为L，质量为m的均匀细棒，水平放 置静止不动，受垂直向上的冲力F作用，冲量 为Ft（t很短），冲力的作用点距棒的质心l 远，求冲力作用后棒的运动状态。 解 （1）质心的运动
3
)
2
k
2 0
9
9I
M k I
2
d dt
k I
2
1 3
d dt
0
0
d
t
2
0
k I
dt
t
2I k 0
10
与一维质点动力学方法一致
【例】转轴光滑，初态静止，求下摆到
角时的角加速度，角速度，转轴受力。
解：刚体定轴转动
1、受力分析 2、关于O轴列 转动定理
§5.3 刚体转动的功和能 合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的 功，等于它的转动动能的增加
W E k 2 E k1 1 1 2 2 J 2 J 1 2 2
力矩的功： W
2
1
M d
C
不太大刚体的重力势能：E p mgh
机械能守恒定律：只有保守力做功时
E k E p 常数
aC R
纯滚动条件（运动学条件）
2
mgR sin J C mR
转动惯量小的滚得快！
【演示实验】不同质量分布的等质量柱体滚动
3、轴对称刚体无滑动滚动中的瞬时转轴
时刻t 接触点P 瞬 时静止；
B A C D
v
E F
在 时 间 (t~t+t) 内，以P点为原点 建立平动坐标系；
R
d
1 mR 2
2
xi
x
ri
Δmi
1 mR 2 4
常用的转动惯量
细杆：
1 2 J mL 过中点垂直于杆 12 1 2 J mL 过一端垂直于杆 3
圆柱体： J 薄球壳： 球体：
对称轴
1 mR 2
2
2 J 直径 mR 3
2
2 J 直径 mR 5
2
例2：证明球体对任意直径的转动惯量 为：
.
(h 4 3 R )
2
g 2R
( 60 )
34
§5.6 旋进 （进动，precession）
旋进：高速旋转的物体，其自转轴绕另一个 轴转动的现象。如玩具陀螺的运动：
35
刚体自转的角动量不一定都与自转轴平行。 zω m1 p 1 r1 例如，图示的情形：质量
m2>m1 对转轴不对称， 则对轴上O × r2 p2 点的 L 不平行于 。 L1
第5章 刚体的定轴转动
目 录 一、刚体的定轴转动定律
二、转动刚体的角动量守恒 三、刚体转动的功和能
演示实验 1、茹科夫斯基 转椅（和车轮） 2、陀螺仪 3、质心运动 （杠杆）
四、无滑动滚动 瞬时转轴（补充） 4 、 不 同 质 量 分 布的等质量柱体 五、进动 滚动 5、车轮进动
§5.1 刚体的定轴转动定律
用机械能守恒重解：
转轴光滑，初态静止，求下摆到θ角 时的角加速度，角速度。
解：杆机械能守恒
势能零点
l 1 2 0 mg sin J 2 2 绕固定轴 1 J ml 2 转动动能 3
3 g sin d dt l 3 g cos 2l
【思考】下一时刻P点位置？
C
ac
无滑动滚动条件：
R p
vc
vC R aC R
【例】两个质量和半径 都相同，但转动惯量不 同的柱体，在斜面上作 无滑动滚动，哪个滚得 快？
C R f
mg
y
x
mg sin f ma C 质心运动定理
Rf JC 过质心轴转动定理
( R 2 R z z ) dz
4 2 2 4 R R
z r
1 2 1 2
[ R
dz 2 R
R 5 2
R
z dz
2 3 1 5
R
z dz ]
5
4
(2 R 2 R
m 4 R / 3
3
1 3
2R R
5
2R )
2
dz o
R
1 2
mgh mv 2
（水平 ）h
x
v
P 对（m +盘），碰撞中重力对O 轴力矩可忽略， 系统角动量守恒： m v R cos J 0 (2) 33
v
2 gh
(1)
（m +盘）角动量
J
1 2
MR
2
mR
2
2 mR
2
(3)
由(1)(2)(3)得：
M
O
,
0
2 gh 2R
cos
(4)
· R
mg
gh
对（m + M +地球）系统， 只有重力作功，E守恒。 令P、x 重合时 EP = 0，则：
mgR sin
2
m
1 2
由(3)(4)(5)得：
2R M mgR J 2 mR
2
J
1 2R
2 0
g 2
1 2
J
2
(5)
cos
g R
sin
d Mz Jz Jz dt dt d Lz
z
ri mi
O
M z :外力矩沿z轴分量的代数和
L z : 刚体沿z轴的角动量
L z Jz
J z : 刚体对z轴的转动惯量
Jz
i
m i ri , J z
2
r
2
dm
d Mz Jz Jz dt dt d Lz
2
l C F
在上抛过程中，棒以恒定角 速度绕过质心轴转动。
【演示实验】 质心运动（杠杆）
§5.2 转动刚体的角动量守恒
1、绕定轴转动 若合外力矩为零，则刚体角动量守恒。 2、几个刚体绕同一定轴转动 若合外力矩为零，则刚体总角动量守恒，角 动量可在这几部分间传递。
3、关于过质心轴 若对过质心轴合外力矩为零，则对该轴刚体 角动量守恒。无论质心轴是否是惯性系。 【演示实验】茹科夫斯基转椅(和车轮)、陀螺仪
d d
0
1
3 g sin 2 2l
2
3 g sin l
3、求转轴受力
（1）N n 平动：质心运动定理
N n mg sin ma
1 a n l 2
2
n
l 2
Nn
5 2
mg sin
N （2） t 转动：关于质心轴列转动定理
M L
L
dL L
只改变方向而不改变大小，
16 15
2 5
mR
8
例：一飞轮的转动惯量为J，在t=0时 的角速度为0，此后飞轮经历制动过 程，阻力矩M的大小与角速度的平方 成正比，比例系数为k，当=0/3时， 飞轮的角加速度=？从开始制动到 =0/3所经历的时间t=?
解：
M k
M I
k( I
2
0
( F mg ) t mv
F mg t m
C0
l C F
vC 0
质心以vC0的初速做上抛运动。
（2）在上抛过程中棒的转动 绕过质心转轴，列转动定理：
d JC JC Fl J C JC t t dt
Fl t JC
12 Fl t mL
p
时间(t ~t+t)内，刚体的运动（质心平动、 绕质心轴转动）可以看成：绕过 P 点且垂直于 固定平面的转轴的无滑动滚动。 接触点P ：瞬时转动中心 瞬时转轴
绕瞬时转轴的转动定理的形式？ 虽然p点瞬时静止，但有加速度，所以除了 力矩Mp外，还应考虑惯性力矩。
惯性力作用在质心上，方向与p点的加速度 方向相反。 下面证明：对于无滑动滚动的轴对称刚体， 接触点p的加速度沿过p点的半径方向，因此， 关于过p点的转轴，惯性力矩等于零。 轴对称刚体，绕瞬时转轴的转动定理：
转动平面内的分 力对转轴的力矩
M 0 M 0
转动 平面 o r
r
f
：沿转轴方向 ：沿转轴反方向
计算转动惯量的几条规律：
1、对同一轴可叠加：J J i
i
Jc
J
2、平行轴定理： Jc md J
2
m
C 质心
3、对薄平板刚体，有垂直轴定理：
z yi
Jz J x J y
y
对刚体系， M外z = 0 时， J iz i const . ， 此时角动量可在系统内部各刚体间传递， 而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。 演示 角动量守恒：茹科夫斯基转椅(KL016)
转台车轮 (KL017)
陀螺仪（KL029）
30
克服直升飞机机身反转的措施：
装置尾浆推动大 气产生克服机身 反转的力矩
pn
按切、法向分解：a p a pt a pn
a p : p点相对惯性系的加速度 a p : p点相对质心的加速度
a p a C a p
Ra p p
p点加速度沿半径方向 vc
过p点转轴惯性力矩等于零 27
【例】两个质量和半径 都相同，但转动惯量不 同的柱体，在斜面上作 无滑动滚动，哪个滚得 快？
M p Jp
J p : 关于过p点转轴的转动惯量
证明：
无滑动滚动：v pt v C , a pt a C a p a C a pt a pn a C a C a pn ac C a
dt
1
对轴： t M 外 z d t L 2 z L1 z t 刚体： L z J z
2 1
t M 外 z d t J z 2 J z 1
1
t2
——刚体定轴转动的角动量定理
29
刚体定轴转动的角动量守恒定律：
M 外z
大小不变 0 ，则 J z const . 正、负不变
1、由关于定点的质点系角动量定理，向过该点 的固定转轴投影得到。 2、适用于转轴固定于惯性系中的情况。
3、对于转轴通过质心的情况，如果质心有加速 度，上式也成立。（惯性力对质心的力矩和 为零）
外力对固定转轴力矩的计算：
ˆ M (r f ) z
ˆ z
f //
f
r f
比用转动定律简单！
杆动能的另一种表达：科尼西定理
势能零点
2 l 1 l 0 mg sin m 2 2 2 质心动能 1 2 Jc ml 12
Fra Baidu bibliotek
1 2
Jc
2
绕过质心轴 转动动能
§5.4 刚体的无滑动滚动 瞬时转轴（补充） 1、平面平行运动 质心做平面运动＋绕过质心垂直轴做转动 只考虑圆柱，球等轴对称刚体的滚动。 2、无滑动滚动：任意时刻接触点P 瞬时静止
O
·
L2
L
若质量对转轴分布对称，
则： L ∥ ∥ 轴 L （对点） L z k （对轴） J z
下面我们就讨论这种质量对转轴分布对称
的刚体的旋进问题。
36
ω∥L
×
玩具陀螺的旋进：
M dL
dL
M
θ
O
·
mg
dt d L M dt∥ M 。
mR dm r dz , dI
2 1 2
I
2 5
2
证明：如图所示，在坐标z处取高为dz的小圆柱作为质元，
r dm
2 1 2
r dz
4
1 2
( R z ) dz
2 2 2
R
R 2 2 2 1 2
I
1 2
( R z ) dz
R R R 2 4
C R f p mg
关于瞬转轴列转动定理重解：
mgR sin J p J p J C mR
2
mgR sin J C mR
2
28
简单多了！
§5.5 刚体定轴转动的角动量定理 和角动量守恒定律
讨论力矩对时间的积累效应。 质点系： t2 dL 对点： M 外 ， t M 外 d t L 2 L1
M O JO
M o l cos mg 2 1 ml 2 JO 3
3 g cos 2l
【思考】为什么不关于过质心轴列转动定理？
由 求 ：
3 g cos 2l
0
d , d dt , dt
d d t d
装置反向转动的双 旋翼产生反向角动 量而相互抵消
TV 角动量守恒定律 (注3)
31
滑冰运动员的旋转
猫的下落（A）
32 猫的下落（B）
[例] 如图示， 已知：h，R，M=2m， =60 y m (黏土块) h
P M R θ O 光滑轴 均质圆盘
求：碰撞后的瞬刻盘 0 ？
P 转到 x 轴时盘 ? ， ? 解： m下落： m 1 2
C O 为什么？
2
MC
l N t , JC 1 ml 2 12
N t 1 mg cos 4
【例】一长为L，质量为m的均匀细棒，水平放 置静止不动，受垂直向上的冲力F作用，冲量 为Ft（t很短），冲力的作用点距棒的质心l 远，求冲力作用后棒的运动状态。 解 （1）质心的运动
3
)
2
k
2 0
9
9I
M k I
2
d dt
k I
2
1 3
d dt
0
0
d
t
2
0
k I
dt
t
2I k 0
10
与一维质点动力学方法一致
【例】转轴光滑，初态静止，求下摆到
角时的角加速度，角速度，转轴受力。
解：刚体定轴转动
1、受力分析 2、关于O轴列 转动定理
§5.3 刚体转动的功和能 合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的 功，等于它的转动动能的增加
W E k 2 E k1 1 1 2 2 J 2 J 1 2 2
力矩的功： W
2
1
M d
C
不太大刚体的重力势能：E p mgh
机械能守恒定律：只有保守力做功时
E k E p 常数
aC R
纯滚动条件（运动学条件）
2
mgR sin J C mR
转动惯量小的滚得快！
【演示实验】不同质量分布的等质量柱体滚动
3、轴对称刚体无滑动滚动中的瞬时转轴
时刻t 接触点P 瞬 时静止；
B A C D
v
E F
在 时 间 (t~t+t) 内，以P点为原点 建立平动坐标系；
R
d
1 mR 2
2
xi
x
ri
Δmi
1 mR 2 4
常用的转动惯量
细杆：
1 2 J mL 过中点垂直于杆 12 1 2 J mL 过一端垂直于杆 3
圆柱体： J 薄球壳： 球体：
对称轴
1 mR 2
2
2 J 直径 mR 3
2
2 J 直径 mR 5
2
例2：证明球体对任意直径的转动惯量 为：
.
(h 4 3 R )
2
g 2R
( 60 )
34
§5.6 旋进 （进动，precession）
旋进：高速旋转的物体，其自转轴绕另一个 轴转动的现象。如玩具陀螺的运动：
35
刚体自转的角动量不一定都与自转轴平行。 zω m1 p 1 r1 例如，图示的情形：质量
m2>m1 对转轴不对称， 则对轴上O × r2 p2 点的 L 不平行于 。 L1
第5章 刚体的定轴转动
目 录 一、刚体的定轴转动定律
二、转动刚体的角动量守恒 三、刚体转动的功和能
演示实验 1、茹科夫斯基 转椅（和车轮） 2、陀螺仪 3、质心运动 （杠杆）
四、无滑动滚动 瞬时转轴（补充） 4 、 不 同 质 量 分 布的等质量柱体 五、进动 滚动 5、车轮进动
§5.1 刚体的定轴转动定律
用机械能守恒重解：
转轴光滑，初态静止，求下摆到θ角 时的角加速度，角速度。
解：杆机械能守恒
势能零点
l 1 2 0 mg sin J 2 2 绕固定轴 1 J ml 2 转动动能 3
3 g sin d dt l 3 g cos 2l
【思考】下一时刻P点位置？
C
ac
无滑动滚动条件：
R p
vc
vC R aC R
【例】两个质量和半径 都相同，但转动惯量不 同的柱体，在斜面上作 无滑动滚动，哪个滚得 快？
C R f
mg
y
x
mg sin f ma C 质心运动定理
Rf JC 过质心轴转动定理
( R 2 R z z ) dz
4 2 2 4 R R
z r
1 2 1 2
[ R
dz 2 R
R 5 2
R
z dz
2 3 1 5
R
z dz ]
5
4
(2 R 2 R
m 4 R / 3
3
1 3
2R R
5
2R )
2
dz o
R
1 2
mgh mv 2
（水平 ）h
x
v
P 对（m +盘），碰撞中重力对O 轴力矩可忽略， 系统角动量守恒： m v R cos J 0 (2) 33
v
2 gh
(1)
（m +盘）角动量
J
1 2
MR
2
mR
2
2 mR
2
(3)
由(1)(2)(3)得：
M
O
,
0
2 gh 2R
cos
(4)
· R
mg
gh
对（m + M +地球）系统， 只有重力作功，E守恒。 令P、x 重合时 EP = 0，则：
mgR sin
2
m
1 2
由(3)(4)(5)得：
2R M mgR J 2 mR
2
J
1 2R
2 0
g 2
1 2
J
2
(5)
cos
g R
sin
d Mz Jz Jz dt dt d Lz
z
ri mi
O
M z :外力矩沿z轴分量的代数和
L z : 刚体沿z轴的角动量
L z Jz
J z : 刚体对z轴的转动惯量
Jz
i
m i ri , J z
2
r
2
dm
d Mz Jz Jz dt dt d Lz
2
l C F
在上抛过程中，棒以恒定角 速度绕过质心轴转动。
【演示实验】 质心运动（杠杆）
§5.2 转动刚体的角动量守恒
1、绕定轴转动 若合外力矩为零，则刚体角动量守恒。 2、几个刚体绕同一定轴转动 若合外力矩为零，则刚体总角动量守恒，角 动量可在这几部分间传递。
3、关于过质心轴 若对过质心轴合外力矩为零，则对该轴刚体 角动量守恒。无论质心轴是否是惯性系。 【演示实验】茹科夫斯基转椅(和车轮)、陀螺仪
d d
0
1
3 g sin 2 2l
2
3 g sin l
3、求转轴受力
（1）N n 平动：质心运动定理
N n mg sin ma
1 a n l 2
2
n
l 2
Nn
5 2
mg sin
N （2） t 转动：关于质心轴列转动定理
M L
L
dL L
只改变方向而不改变大小，
16 15
2 5
mR
8
例：一飞轮的转动惯量为J，在t=0时 的角速度为0，此后飞轮经历制动过 程，阻力矩M的大小与角速度的平方 成正比，比例系数为k，当=0/3时， 飞轮的角加速度=？从开始制动到 =0/3所经历的时间t=?
解：
M k
M I
k( I
2
0
( F mg ) t mv
F mg t m
C0
l C F
vC 0
质心以vC0的初速做上抛运动。
（2）在上抛过程中棒的转动 绕过质心转轴，列转动定理：
d JC JC Fl J C JC t t dt
Fl t JC
12 Fl t mL
p
时间(t ~t+t)内，刚体的运动（质心平动、 绕质心轴转动）可以看成：绕过 P 点且垂直于 固定平面的转轴的无滑动滚动。 接触点P ：瞬时转动中心 瞬时转轴
绕瞬时转轴的转动定理的形式？ 虽然p点瞬时静止，但有加速度，所以除了 力矩Mp外，还应考虑惯性力矩。
惯性力作用在质心上，方向与p点的加速度 方向相反。 下面证明：对于无滑动滚动的轴对称刚体， 接触点p的加速度沿过p点的半径方向，因此， 关于过p点的转轴，惯性力矩等于零。 轴对称刚体，绕瞬时转轴的转动定理：
转动平面内的分 力对转轴的力矩
M 0 M 0
转动 平面 o r
r
f
：沿转轴方向 ：沿转轴反方向
计算转动惯量的几条规律：
1、对同一轴可叠加：J J i
i
Jc
J
2、平行轴定理： Jc md J
2
m
C 质心
3、对薄平板刚体，有垂直轴定理：
z yi
Jz J x J y
y
对刚体系， M外z = 0 时， J iz i const . ， 此时角动量可在系统内部各刚体间传递， 而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。 演示 角动量守恒：茹科夫斯基转椅(KL016)
转台车轮 (KL017)
陀螺仪（KL029）
30
克服直升飞机机身反转的措施：
装置尾浆推动大 气产生克服机身 反转的力矩
pn
按切、法向分解：a p a pt a pn
a p : p点相对惯性系的加速度 a p : p点相对质心的加速度
a p a C a p
Ra p p
p点加速度沿半径方向 vc
过p点转轴惯性力矩等于零 27
【例】两个质量和半径 都相同，但转动惯量不 同的柱体，在斜面上作 无滑动滚动，哪个滚得 快？
M p Jp
J p : 关于过p点转轴的转动惯量
证明：
无滑动滚动：v pt v C , a pt a C a p a C a pt a pn a C a C a pn ac C a
dt
1
对轴： t M 外 z d t L 2 z L1 z t 刚体： L z J z
2 1
t M 外 z d t J z 2 J z 1
1
t2
——刚体定轴转动的角动量定理
29
刚体定轴转动的角动量守恒定律：
M 外z
大小不变 0 ，则 J z const . 正、负不变
1、由关于定点的质点系角动量定理，向过该点 的固定转轴投影得到。 2、适用于转轴固定于惯性系中的情况。
3、对于转轴通过质心的情况，如果质心有加速 度，上式也成立。（惯性力对质心的力矩和 为零）
外力对固定转轴力矩的计算：
ˆ M (r f ) z
ˆ z
f //
f
r f
比用转动定律简单！
杆动能的另一种表达：科尼西定理
势能零点
2 l 1 l 0 mg sin m 2 2 2 质心动能 1 2 Jc ml 12
Fra Baidu bibliotek
1 2
Jc
2
绕过质心轴 转动动能
§5.4 刚体的无滑动滚动 瞬时转轴（补充） 1、平面平行运动 质心做平面运动＋绕过质心垂直轴做转动 只考虑圆柱，球等轴对称刚体的滚动。 2、无滑动滚动：任意时刻接触点P 瞬时静止
O
·
L2
L
若质量对转轴分布对称，
则： L ∥ ∥ 轴 L （对点） L z k （对轴） J z
下面我们就讨论这种质量对转轴分布对称
的刚体的旋进问题。
36
ω∥L
×
玩具陀螺的旋进：
M dL
dL
M
θ
O
·
mg
dt d L M dt∥ M 。
mR dm r dz , dI
2 1 2
I
2 5
2
证明：如图所示，在坐标z处取高为dz的小圆柱作为质元，
r dm
2 1 2
r dz
4
1 2
( R z ) dz
2 2 2
R
R 2 2 2 1 2
I
1 2
( R z ) dz
R R R 2 4
C R f p mg
关于瞬转轴列转动定理重解：
mgR sin J p J p J C mR
2
mgR sin J C mR
2
28
简单多了！
§5.5 刚体定轴转动的角动量定理 和角动量守恒定律
讨论力矩对时间的积累效应。 质点系： t2 dL 对点： M 外 ， t M 外 d t L 2 L1
M O JO
M o l cos mg 2 1 ml 2 JO 3
3 g cos 2l
【思考】为什么不关于过质心轴列转动定理？
由 求 ：
3 g cos 2l
0
d , d dt , dt
d d t d
装置反向转动的双 旋翼产生反向角动 量而相互抵消
TV 角动量守恒定律 (注3)
31
滑冰运动员的旋转
猫的下落（A）
32 猫的下落（B）
[例] 如图示， 已知：h，R，M=2m， =60 y m (黏土块) h
P M R θ O 光滑轴 均质圆盘
求：碰撞后的瞬刻盘 0 ？
P 转到 x 轴时盘 ? ， ? 解： m下落： m 1 2