自动控制原理(孟华)第3章习题解答
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3.1.已知系统的单位阶跃响应为
)0(2.1.0)(16≥-+=--t e e t c t
t 0021
试求:(1)系统的闭环传递函数Φ(s)=?
(2) 阻尼比ζ=?无自然振荡频率ωn =? 解:(1)由c (t )得系统的单位脉冲响应为t t
e e
t g 10601212)(--+-=
600
70600
6011210112
)]([)(2
++=+-+==Φs s s s t g L s (2)与标准2
22
2)(n
n n
s s ωζωω++=Φ对比得: 5.24600==n ω,429.1600
270=⨯=
ζ
3.2.设图3.36 (a )所示系统的单位阶跃响应如图3.36 (b )所示。试确定系统参数,1K 2
K 和a 。
(a) (b)
图3.36 习题3.2图
解:系统的传递函数为
2
221221211
2)
(1)
()(n
n n s K K as s K K K a s s K a s s K s W ωζωω++=++=++
+= 又由图可知:超调量 431
33
p M -=
= 峰值时间 ()0.1p t s =
代入得
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪
⎪⎨⎧==-==--2
2112
1.0131
2K K e
K n n ζωπωζζπ 解得:
213ln ζζπ
-=;33.0≈ζ,3.331102
≈-=
ζπωn ,89.11082
1≈=n
K ω, 98.213.3333.022≈⨯⨯≈=n a ζω,32==K K 。
3.3. 给定典型二阶系统的设计性能指标:超调量p σ5≤%,调节时间 s t 3
()()
2
2n
n G s s s ωξω=
+ 则满足上述设计性能指标:⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎨⎧<-=<=≤=--1133
05.02
12
ζωπζωσζζπn p n
s p t t e
得:69.0≥ζ,1>n ζωπζ
ω>-2
1n
由上述各不等式得系统极点配置的区域如下图阴影部分所示:
3.4.设一系统如图3.37所示。
(a )求闭环传递函数C (s )/R (s ),并在S 平面上画出零极点分布图; (b)当r (t )为单位阶跃函数时,求c (t )并做出c (t )与t 的关系曲线。
图3.37 习题3.4图
解: (a)系统框图化简之后有
)235)(235(225
.25.02)()(2j s j s s
s s s
s R s C -+
-=+--=
j s z 2
35,22,11±
== 零极点分布图如下:
(b) 若()r t 为单位阶跃函数,()1
L r t s
=
⎡⎤⎣⎦ ,则 2
2222222)
2
35(235
352)235(35813584351)435(3583584
351)4
35(2)
2
35)(235(21)(+⨯
-+⨯-⨯=+-+-=+
-
+
=
-+-⨯
=s s s s s s s s s s s j s j s s
s
s C t t t c 235
sin 35
2235cos 358358)(--=
大致曲线图略。
3.5.已知二阶系统的闭环传递函数为
2
22)()
(n
n n s s s R s C ωζωω++=2 分别在下述参数下确定闭环极点的位置,求系统的单位阶跃响应和调整时间。 (1) ζ =2,n ω=1-s 5; (2) ζ =1.2,n ω=1-s 5;
(3) 说明当ζ ≥1.5时,可忽略其中距原点较远的极点作用的理由。 解:(1)ζ
>1,闭环极点3510122,1±-=-±-=ζωζωn
n s
25
2025
)()()(2
++==
s s s R s C s W s
s s s R s W s C 1
252025)()()(2
⋅++=
= )
32(51
)
1(1
21-=
--=
ζζωn T )32(512+=T
3
463461111)()32(5)32(521122
1
++
-+=-+-+=+----
-t
t T t
T t e e T T e T T e t c
66.18,34.121-≈-≈s s 59.13|/|12>>≈s s
t t
e e t c 34.1)32(507735.113
461)(----≈-+≈
s t s 29.2≈
(2)ζ
1.2)>1,闭环极点44.056122,1±-=-±-=ζωζωn
n s
25
2025
)()()(2
++==
s s s R s C s W )44.02.1(511-=
T , )
44.02.1(51
2+=T
1
44
.02.144
.02.1144.02.144.02.11111)()44.02.1(5)44.02.1(521122
1
-+-+
--++=-+-+=+-----
t
t T t
T t e e T T e T T e t c 68.244.0561-≈+-=s ,32.92-≈s
s t n s 2.1)7.12.145.6(5
1
)7.145.6(1
≈-⨯=-≈
ζω (3)答: 1.5ξ≥时,25.155.7122,1±-=-±-=ζωζωn n s 。91.11-≈s ,
09.132-≈s ,585.6|/|12>≈s s ,两个闭环极点的绝对值相差5倍以上,离原点较远的极点
对应的暂态分量初值小、衰减快(是距离虚轴较近的极点暂态分量衰减速度的5倍以上),因
此可以忽略掉。
3.6.设控制系统闭环传递函数为2
222)(n
n n
s s s G ωζωω++=,试在S 平面上绘出满足下列各要求的系统特征方程式根可能位于的区域: (1) 1>ζ
≥0.707,n ω≥2 (2) 0.5≥ζ >0,4≥n ω≥2