优选矩阵中的基础解系解法

,
xn
1
0
0
b1nr
,
nr
x1 x2
brn
r
0
,
xn
0
1
通解为
1 ,2 , ,nr是方程组的基础解系
x c11 c22 cnr nr
c1 , c2 , cnr 为任意常数
例1(P.99例12)求方程组的
基础解系和通解
x1 x2 2 x1 5x2
b21 xr1
b22 xr2
b2nr xn
0 （2）的通解
0
xr br1 xr1 br2 xr2
brnr xn

0
x1
x2
b11
b21
b12
b22
xr xr 1
c1
br1 1
c2
br 0
2
xr2 0 1
0
cnr
x1 b11c1
xx b1nr b2nr
r 21
x r 2
x brnr
r
c1b21c1
c2
br1c1
0 0
xxn r1cn1r
c1
b12c2 b22c2
br 2c2 0c2
b1nr cnr b2nr cn
brnr cnr 0 cn
x 0 c 1c 0 c
（2）的通解
组（2）的全部解向量的组记为S
x1
x2
b11
b21
b12
b22
xr xr 1
c1
br1 1
c2
br 0
2
xr2 0 1
xn 0 0
b1nr
b2nr
cnr
brnr 0
0
1
（无穷多个向量的组）
c1
br1 1
c2
br 0
2
xr2 0 1
xn 0 0
1 2
b1nr
b2nr
cnr
brnr 0
0
1
nr
3、求解方法
要求方程组(2)的全部解, 只需求出其一个基础解系
A (r<n)行变换 行最简形
求基础解系
x 11
b110xr
x3 3x3
x4 2x4
0 0
解 先求基础解系再写出通解 7 x1 7 x2 3x3 x4 0
A
1 2 7
1 5 7
1 3 3
121
1 0
0
0 1
0
2/7 5/7
0
430// 77
同解方程组为 得通解为
2 3
x1
2 7
x3
3 7
x4
x2
5 7
x3
4 7
x4
令
x3 c1 x4 c2
0 1 0
,
,
0 0 1
；
x1 x2 xr
b11 b21 br1
,
b12 b22 br 2
,
,
b1(nr )
b2(nr )
br(nr )
b11
b12
1
x1 x2
br1 1
,
xn
0
2
x1 x2
br 2 0
（2）的任意一个解可由 1 ,2, ,nr线性表组（ 示2）的解向量组的秩为0
1 ,2 , ,nr是组（2）的全部解向量组的最大无关组！
3、求解方法
求出方程组(2)的通解, 可求出其一个基础解系
A (r<n)行变换 行最简形
x1
x2
b11
b21
b12
b22
xr xr 1
x r 1 xr2
xn
100 ,
0 1 0
,
,
0 0 1
；
x1 x2 xr
b11 b21 br1
,
b12 b22 br 2
,
,
b12 b22 br 2
,
x r 1 xr2
xn
1 0
0
,
S的最大无关组S 0
称为组（2）的基础解系
1 ,2 , ,nr 是
组（2）的一个基础解系
组（2 ）的基础解系 含n-r个解向量(r=R(A))
组（2 ）的全部解向量
1 2
nr
组的秩为n-r(p97th7)
x c11 c22 cnrnr
1 ,2, ,nr线性无关
自由未知量的个数
R（A）=n时， 组（2）没有基础解系
证 A1 O, A2 O, A(1 2 ) A1 A2 O O O
性质2 若是（2）的解向量， k为实常数, 则k 也是（2）的解向量。
证
A O， A(k ) kA kO O
齐次线性方程组的解的线性组合仍是方程组的解
注意：是（2）的解向量 满足 A O
2、基础解系 Ax o
xn
方程组的解向量 i (1i ,2i , ,ni )T
x1 1i , x2 2i , , xn ni , 满足齐次线性方程组 Ai o 成立。 称 x i 是齐次线性方程组的一个解。
1、解的性质 Ax o
(2)
性质1 齐次线性方程组的两个解的和 仍是方程组的解. 即 若1,2是（2）的解向量， 则1 2也是（2）的解向量。
b11
1
b x b1,nr 12 r 2
b1nr
xn
令自由未知量取n-r维 基本单位向量的分量，
x 02
0
x 0r
b211xr b1 r1
00
br 10xr 10
b22 br 2
x r b2 r ,nr
0
xr 2
0
b2nr xn brnr xn
得n-r维基本单位向量组； 得出相应的非自由未知量 值，构成方程组的解向量。
(2)
否则，可调换
回顾方程组（2）的求解过程及解的表示
未知量先后顺序
R( A) r n, 不妨设A的前r个列向量线性无关,
1
0 A
则A的行最简形 0 b11 b12
1 br1 br 2
b1nr
brnr
（2）的同解方程组
x1 b11 xr1 b12 xr2 b1nr xn
x2
x1 x2 x3 x4
c1
7 5 7 1
0
c2
7 4 7 0
1
(c1 , c2 R)
得基础解系
2 3
7
7
1
5 7
,
2
4 7
1
0
0
1
先求基础解系再写出通解
x1 x2 2 x1 5x2
x3 3x3
x4 2x4
优选矩阵中的基础解系解法
一、齐次线性方程组解的结构 系数矩阵 ? 未知矩阵
a11x1 a12x2
a21x1
a22 x2
am1x1 am2x2
Ax o
a1nxn 0 a2nxn 0
amnxn 0
(2)
a11
(2)
A
a21
a12
a22
a1n a21
x1
x
x2
am1 am1 amn