专题三--函数---图像和性质

专题三 函数的图像、单调性、奇偶性

图像变换

1．平移变换：

（1）水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到； （2）竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到． 2．对称变换：（1）函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到；

（2）函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到； （3）函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到； （4）函数1()y f x -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到．

3．翻折变换：

（1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =

的x 轴上方部分即可得到；

（2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部

分即可得到．

函数单调性

1.求单调区间的方法：一般先根据图象判断，再利用定义证明，证明步骤：“五步走”：取值、作差、变形、断号、定论。

2.复合函数[]()y f g x =在公共定义域上的单调性：

①若f 与g 的单调性相同，则[]()f g x 为增函数；②若f 与g 的单调性相反，则[]()f g x 为减函数

注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集 3.一些有用的结论：

①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内：

增函数()f x +增函数()g x 是增函数；减函数()f x +减函数()g x 是减函数； 增函数()f x -减函数()g x 是增函数；减函数()f x -增函数()g x 是减函数

【典型例题】

1.y=(3x -1)/(x+2)的图象（ ） A 关于点(-2,3)对称 B 关于点(2,-3)对称 C 关于直线x= -2对称 D 关于直线y= -3对称

2.函数y=f(x)的图象如图，则y=f(1-x)的图象是 （

）

1

1-1

o y

x

A

1

1-1

o y

x

B

-21

-1

o

y

x

C

1

1

-1

o y

x

D 11

-1

o y

x

3.画出下列函数的图像： （1）.223y x x =+-

（2）.221y x x =--

（3）.2

21y x x =-- （4）. 223y x x =-- （5）.744

x

y x -=

+

4.讨论函数f （x ）=21

ax

x -（a ＞0）在x ∈（－1，1）上的单调性.

5.设函数f （x ）＝x a

x b

++（a ＞b ＞0），求f （x ）的单调区间，并证明f （x ）在其单调区间上的单调性.

6.判断函数f （x ）=12ax x ++（a ≠1

2

）在（－2，+∞）上的单调性.

7.函数中，在区间（0，2）上为增函数的是 （

）

A.y =－x +1

B.y

C.y =x 2－4x +5

D.y =

2x

8.若2()23f x x mx =-+，在[-2，+∞）上是增函数，在（-∞，-2]上是减函数，则(1)f =（ ）

A ．-3

B ．13

C ．7

D ．-13

9.如果函数f （x ）=x 2+2（a －1）x +2在区间（－∞，4］上是减函数，那么实数a 的取值范围是______________ .

10.已知函数21

()(,,)ax f x a b c Z bx c

+=

∈+对其定义域中的任意的x ，都有()()f x f x -=-成立.又(1)2,(2)3f f =<，且()f x

在[1,)+∞上是递增的。 (1)求a ，b ，c 的值 (2)当x<0时，讨论()f x 的单调性

11.已知函数f （x ）对任意实数x 、y 均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x >0时，f (x )>0，f (－1)＝ －2

(1)判断f(x)的单调性;

(2)求f (x )在区间[－2,1]上的值域.

12.已知函数f （x ）对任意实数x 、y 均有f （x ＋y ）＋2＝f （x ）＋f （y ），且当x >0时，f (x )>2，f (3)＝ 5，

(1)判断f(x)的单调性; (2)求发f(1)和f(2);

(3)求不等式 f （a 2－2a －2）<3的解.

函数的单调性

1.

所谓单调性，即指当函数自变量发生变化时，因变量的变化同自变量变化是同个方向还是相反方向。 （1）若是同一个方向，即12121212x x y y x x y y <⇒<>⇒>；y x 与同一个方向变化，为增函数

（2）若是相反方向，即12121212x x y y x x y y <⇒>>⇒<；y x 与相反方向变化，为减函数――可以简记为“同增异减” 2.

复合函数的单调性

（1）先求定义域，单调区间是定义域的一部分 （2）根据复合函数内外层“同增异减”，列表求解。求的过程也是两类，内层自身划分与外层单调区间要求内层解不等式的交集 （3）求复合函数单调区间：先用外层的单调区间解“要求“内层的不等式，再将内层的单调区间结合起来列表 3.

单调性的证明

（1）特征：一般函数

对策：定义法：设1212,x x A x x ∈<且；作差12()()f x f x -，结果分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出；判断正负号即可知单调性。

★常见技巧：将分式通分，将无理式有理化。 4.

单调性的性质

A. 若()y f x =是增函数，则()y f x =-减函数；若()y f x =是减函数，则()y f x =-增函数 ★即：单调函数前符号改变，其单调性与原函数相反

B ． 增函数()f x +增函数()g x 是增函数；减函数()f x +减函数()g x 是减函数； 增函数()f x -减函数()g x 是增函数；减函数()f x -增函数()g x 是减函数。 函数加负号，单调性相反，因此减去减函数即加上增函数，第二行实则就是第一行 ★即：同单调性的函数相加，单调性不变

C ． 函数()y f u =和()u g x =在其对应定义域上都是减函数,则复合函数[()]y f g x =是增函数； 函数()y f u =和()u g x =在其对应定义域上都是增函数,则复合函数[()]y f g x =是增函数；

函数()y f u =和()u g x =在其对应定义域上一个是减函数而另一个是增函数,则复合函数[()]y f g x =是减函数 ★即：同增异减

D ． 若()f x 是增函数，且在定义域内()f x 恒为正数（或负数），则1

()

f x 为减函数

若()f x 是减函数，且在定义域内()f x 恒为正数（或负数），则

1

()

f x 为增函数 ★即：对于确定符号的单调函数，其倒数单调性与原函数相反

E ． 奇函数在其对称的两个区间内具有相同的单调性，偶函数在其对称区间内具有相反的单调性。 ★即：奇同偶反

F ． 互为反函数的两个函数在各自定义域上具有相同的单调性

G ． 函数的单调性的等价关系 ①设[]1212,,,x x a b x x ∈≠那么

[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]1212()()

0(),f x f x f x a b x x ->⇔-在上是增函数；

[]1212()()()0x x f x f x --<⇔

[]1212

()()

0(),f x f x f x a b x x -<⇔-在上是减函数。

5. 函数单调性问题应当注意的问题

（1）单调性的证明具有普遍性，12x x 的假设是在区间上任意的，不能以特殊值来代替。

（2）函数的单调性具有区间性，即一个函数在不同区间具有不同的单调性 ★从基本函数的单调性引申到带参数的单调性： （1）紧盯特征量：一次函数的k ，二次函数的b x a =-

，一次分式函数cx d ax b ++的b

x a

=-

（2）将此带参数的特征量与固定区间一个固定，一个移动，以观察单调性是否满足条件

函数的奇偶性

1、奇偶性的判定：定义域先关于原点对称（指数轴上的一维图象）；再根据表达式()()()()f x f x f x f x -=-=-为偶函数为奇函数来判定

2、奇偶函数的图象特征： 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称；反之亦然。

3、多项式函数110()n

n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性

()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项的系数全为零； ()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项的系数全为零 4、若奇函数的定义域包含0x =则该函数必过原点（0,0）()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=