贾哥数值分析
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1. 俺怎么是 1/40 2. Givens 的 QR 和 Householder 的 QR 确有不同，而且计算过程很不一样，但是结果不过只 是符 号的差别，元素算出来是一样的 3. 第 一 问 就 是 h_m+1,m=0=>h_m+1,m|e_m'y|=0=>||r_m||=0 第 二 问 是 方 法 中 断 v_1,v_2,...v_m-1 正交，但是 v_m 和前面不正交，找一个向量 w,schmit 正交化并归一化得到 w'=w-sigma_i=1^i=m(alpha_i*v_i)，用 v_1,v_2,...v_m-1,w'作为 V 执行下一步 Arnoldi 4. 这个确实没什么好说的，见讲义，不过偶背的还是不够清楚-__5. 第一问按照定义和变分原理的推导过程走一遍就好 第二问也可以利用 Galerkin 投影原理，题目中的方法都基于 Galerkin 投影原理，所以可 以统一的化成||r_m||的收敛性的问题加以说明 6. 幂法的迭代，真的就是一步就出来了
标 题: 研究生高等数值分析(贾仲孝)2003(zz) 1 证明不动点定理（存在唯一性） 2 第三章习题 8 3 共扼剃度法 ak 的选取，以及正交的证明 4 梯形法（迭代，相容，稳定区间） 具体为 dy/dt + y=0 y(0)=1? 5 求正交阵使 H*（2/3 1/3 2/3）'=e1 求 I－2ww' （w 的二范数为 1）的特征值 已知 H，问计算 Ha 的运算量 6 摄动原理 误差分析 7 拉各朗日插值（这里实际考的是代数基本定理的应用） 8 忘了 标 题: 2005 研究生高值考题（贾哥版） 下面是 B 卷内容，总共六道题 1.用 Givens 变换 QR 分解一个 3*2 的矩阵，并求解一个最小二乘 2.证明：对于 Minres 和 Gmres (1)A 有 k 个特征值时，至多 k 步收敛 (2)A 有 n 个不同的特征值，r0 由 k 个属于不同特征值的特征向量构成时，k 步收敛（这里没 有“至多”） 3.A 为 m*n 矩阵，m>n (1)用完全 QR 分解，不完全 QR 分解以及 SVD 表示 A+ (2)用完全 QR 分解以及 SVD 得到 min||Ax-b||问题的 xls 和 rls，并加以证明 4. (1)证明 Arnoldi 过程中断时找到准确解 (2)证明 Arnoldi 过程中断时不会发生方法中断 (3)当 A 为正定对称阵时，证明 Lanczos 方法不会发生方法中断（即 W'AV 非奇异，讲义上有 的） 5.A=uv'。u,v 均为向量，A 的秩为 1 (1)证明 u'v 为 A 的特征值 (2)A 还有哪些其他的特征值？（答案：0） (3)用幂法求 A 的主特征值，几步可收敛？为什么？（答案：1 步） 6.关于 CG 的问题 (1)类似于推导 alpha(k)，直接用书本上的方法就可以了 (2)当 A=I-BB'时，其中 B 的秩为 p，用 CG 求解 Ax=b 问题，最多几步可收敛？为什么？ （答案：min(p+1,n)） 感觉把讲义上的东东都看懂了就没问题了，贾哥还是很好的人哪~~~ ^_^d 标 题: [高等数值分析] 贾仲孝（A 卷）2006.1.10 1．A=[1，1，1，1；0，1，2，3]’，r 是最小化二乘问题||b-Ax||的残差，r 可能是下面那个 向量？给了 3 个向量。用法方程，根据 A'r=0 解。 2．A=[sqrt（2） ，1，1；0，1，1]’，b=（1，1，1）’
标 题: 高等数值分析 2009.1 贾哥版 题目见往年考题，基本相同，换汤不换药 关键是这汤换得也太让人 ft 了 第一题插值，f(x)=sqrt(1+x),取 x=0，0.6,0.9 这时告诉大家不让用计算器，我直接列完式子放弃计算了.. 然后用 Householder 把 A 矩阵 QR 了 经典的矩阵换成了一个十分变态的 [2 -1 -1; -1 2 -1; -1 -1 2 ] 算得时候根号套根号，Yd，我想拿放在一旁不让用的计算器砸人了，还好最近看《宽容》 ， 抑制了这种冲动。 所以建议后来者先做证明题，然后再回来算这种题。 补充一个 关于幂法的考题，除了以往的那种直接求主特征值和特征向量外 还让叙述幂法， 以及证明： 主特征向量和第 k 步得到的特征向量近似之间的夹角为 e_k 求证主特征值与 k 步得到的特征值之间的差为 O(e_k^2) 一共两问： 1）叙述幂法，证明特征值的差是 O(e_k) 2）全一矩阵求主特征对 标 题: Re: 高等数值分析 2009.1 贾哥版 1、(1)插值，f(x)=sqrt(1+x),给了 3 个点 0，0.6，0.9 (2)最小二乘，基函数为{1,x^2}，在区间[-1,1]，f(x)=|x| 2、证明 (1)A 只有 k 个不同特征值且能够对角化时，MINRES 和 GMRES 至多 k 步收敛 (2)A 有 n 个不同特征值但是 r0 只由 k 个特征向量线性组合， MINRES 和 GMRES 迭代 k 步收 敛 3、(1)x_(k+1)=x_k+alpha_k*d_k,求使得||x-x*||尽量小的 alpha_k，其中 x*=inv(A)*b (2)证明(x_k-x*)垂直于 d_k (3)f_k=A'*d_k，取 f_k=b-A*x_k 方法是否一定收敛 4、(1)叙述幂法 特征值 lambda_a 对应的特征向量为 x_1,sin∠(x1,vk)=epsilon_k, 证明|rho-lambda_1|=O(epsilon^2) (2)A={1,1,1;1,1,1;1,1,1},用幂法求主特征值和特征向量 5、A={2,-1,-1;-1,2,-1;-1,-1,2} (1)用 Givens 变换变成 3 对角 (2)用 Householder 变换作 QR 分解
（1）用 Givens 变换求 A 的 QR 分解 （2）用 QR 求最小化二乘问题||b-Ax|| 3.（1）证明对 Arnoldi 方法和 GMRES 方法，Arnoldi 过程中断，方法找到了精确解。 （2）证明如果 Arnoldi 方法中断，则 Arnoldi 过程一定不中断。 4.（1）证明对于 MINRES 和 GMRES，如果 A 只有 k 个不同的特征值，则 k 步收敛。 （2） 如果 A 的特征值互不相同， x0=0， b 由 A 的 k 个特征向量组成， 证明 MINRES 和 GMRES 方法 k 步收敛。 5． （1）推导 alpha（k） ，证明 r（k）与一个什么向量垂直（记不起了。很简单，就是几步数 学演绎） （2）为什么在绝对精确的计算下，CG，Lanczos，MINRES，Arnoldi，GMRES 方法至多 n 步 一定找到精确解。 6． （1）叙述 Rayleigh-Ritz 方法和精化的 Rayleigh-Ritz 方法的主要收敛结论。 （2）描述 Arnoldi 方法和精化的 Arnoldi 方法。 标 题: Re: [高等数值分析] 贾仲孝（A 卷）2006.1.10 1.备选项： (a) [1 1 1 1]'; (b) [1 -1 -1 1]'; (c) [-1 1 1 -1]'; 5(1).给定 phi(x_k) = (1/2)(x_k)'A(x_k)- (x_k)'b； 递推式 x_{k+1}= x_k + alpha * p_k，问 alpha 多少时使得 phi(x_k+1)最小，并证明 b - A(x_k+1)和 p_k 垂直。 标 题: 高等数值分析（2007/1/16）贾仲孝 1.(1) f ( x_0 ) = a， f ( x_1 ) = b， f ( x_2 ) = c ， x_k = ( k - 1 )/h, k = 0,1,2, 求 f ( x ) 的拉格朗日差 值多项式。 (2) 求 f(x) = |x| 在[-1 , 1] 上的最小平方逼近，基函数取{1， x^2} 2.(1) 若 A 可对角化，则当 A 仅有 k 个不同特征值时， 证明对于 A x = b MINRES 方法与 GMRES 方法至多 k 步找到精确解。 (2) 若 A 的特征值各不相同，对 A x = b 而言，取 x_0 = 0，b 可以表示成由 k 个特征向量，证 明 MINRES 方法与 GMRES 方法 k 步找到准确解。 3. A = |034| |300| |401| (1) 用 Givens 变换实现 A 的相思变换使得 A 化成对称三对角矩阵 T ; (2) 用 Householder 变换实现 A 的 QR 分解。 4.取 G = [-1 1] , x = g(x) = (x^2 - 1)/3 , 求证上述变换在 G 内有唯一不动点。 5.取 x_k+1 = x_k + a_k d_k，其中 d_k 为迭代方向 (1)若选取 a_k 使得|| r_k+1 || = min || b - A x_k ||，给出 a_k 的算式； (2)求证 r_k+1 与 A d_k 垂直；
(3)若取 d_k = r_k，证明对于任意的 x_0，则上述方法均收敛。 6.取 A = u v'，其中 u 与 v 不正交。 (1)证明 v' u 为 A 特征值； (2)证明 A 的其余特征值均为 0； (3)若对上述 A 使用幂法，则迭代几步之后收敛，收敛向量是什么？ 标 题: 08 年 1 月数值分析试题 贾哥版： 1、算一个 2 阶拉格朗日插值，f（x）=1/x，插值点，2、2.5、4，写出插值函数，分析在 3 点的偏差。1/60 我记得。然后 f（x）=sqrt（x） ，权函数=1，问一阶最佳平方估计的插值函 数是多少？大概是 4/5x+2/15？这题其实用 chebyshev 和拉格朗日都一样，一阶情况下一样 的。 2、用 givens 和 householder 变换把 A QR 了。A=[0，3，4；3，0，0；4，0，1]。 答案应该是 G 变化下，忘记了，H 变换下，R=[5，0，0.8；0，3，4；0，0，-3]，只记得两 个 R 不一样，QR 向来不唯一吧。 3、证明 Arnoldi 过程中断时 Arnoldi 方法找到了精确解，证明 Arnoldi 方法在第 k 步中断，则 Arnoldi 过程必不中断，证明 A=A'〉0 时 lanczos 方法一定不中断。比较简单 4、简述算部分特征值的 arnoldi 一般方法和精细方法。略 5、phi（x）=1/2（x，Ax）-（x，b） ，phi(x_k+a*p_k)在 a 取什么值时得到最小，其中 x_k 是 Ax=b 的目前近似，p_k 是搜索方向，并且证明，b-Ax_k+1 垂直于 p_k。这题目课件的 CG 中 都 有类似的证明，第一问求导，第二问直接算内积，把 x_k+1=x_k+a_k*p_k 的关系以及上面 求导的 a 的值代入即可。 这里没有提到 CG， 所以不能用 CG 的一些假设前提， 比如 Pk’*p_k=0 就好，实际上更简单了。第二问是在精确求解情况下，证明 CG，lanczos，MINRES、Arnoldi， GMRES 五种方法在 k=n 时都一定找到准确解。CG、M、G 都是最优，有限步算法，比较简 单，L、A 主要是在 k=n 的条件下，AQ=Q’T 成立，没有那个小尾巴了，证明 T 的非奇异后， 算 y 算 z 算 x，Ax 一算等于 b 于是精确解。 6、给了一个三阶矩阵 A=[-3，1，0；3，-2，3；0，1，-3]，给了一个初始向量 v0=1/sqrt（ 3） （1，1，1） ，用幂法求主特征值和主特征向量。一部就收敛了，然后 v1’Av1 得到这特 征值-5。
标 题: 高等数值分析_贾仲孝 自由空间 (Thu Jan 15 22:05:35 2009), 站内 第四题和第五题记得不是特别清楚。 1. 1.) f(x)=sqrt(1+x),x_0=0,x_1=0.6,x_2=0.9,求二次插值多项式。 并计算 f(0.44),计算在该点准确值 与估计值的误差； 2.) f(x)=abs(x),积分区间[-1,1],phi(x)={1,x*x},权函数为 1，求最佳逼近 2. 矩阵 A 可以对角化，A*x=b，取 x_0=0.对于 MINRES 和 GMRES 方法； 1.) 当 A 仅有 k 个不同特征值时，证明至多 k 步即可收敛 2.) 若 A 的特征值各不相同， b 可以表示成 k 个特征向量的线性组合， 证明 k 步找到准确解； 3.矩阵 A=[2 -1 -1; -1 2 -1; -1 -1 2] 1.) 利用 givens 变换把 A 转化成对称三对角矩阵 2.) 利用 householder 变化实现 A 的 QR 分解 4.Ax=b,x_*为方程的精确解，x_*=(A-1)*b, x_k+1=x_k + alpha_k * d_k,其中 d_k 为搜索方向， d_k= A'*f，f 为非零向量， 1.) 确定 alpha 的表达式使得范数||x_* - x_k+1||尽可能小 2.) 证明 x_* - x_k+1 与 d_k 正交，(alpha 的表达式中不要显示 x_*) 3.) 若取 d_k = r_k= b - A*x_k,问算法是否收敛，说明理由 5. 1.) A 为 实 数 矩 阵 ，且 特 征值 满足 lamda_1>lamda_2>=...>=lamda_n 陈述 幂 法， 并 证明 sin (v1,x1)=O(dieta), p 为第 k 步幂法得到的特征值， 证明|p-lamda|=O(dieta^k),就是说精度是 dieta 的 k 次方量级。 2.) 利用幂法求下列矩阵的主特征值和特征向量 A= [1 1 1; 1 1 1; 1 1 1] 一步收敛，特征值是 3，特征向量是 1/sqrt(3)* [1 1 1]' 发信人: AlexPiero (我心黑白), 信区: Pretest 标 题: 高等数值分析 贾哥 2010.01.20 今年贾哥很厚道啊，几乎拿得是 06 年的卷子。 。 。我就不抄写了，和以前的题是一样的 按着 pretest 上的年号-题号看就可以了。 06-3 06-2 06-4 06-5 07-1 06-6
re 上文
1. 俺怎么是 1/40 2. Givens 的 QR 和 Householder 的 QR 确有不同，而且计算过程很不一样，但是结果不过只 是符 号的差别，元素算出来是一样的 3. 第 一 问 就 是 h_m+1,m=0=>h_m+1,m|e_m'y|=0=>||r_m||=0 第 二 问 是 方 法 中 断 v_1,v_2,...v_m-1 正交，但是 v_m 和前面不正交，找一个向量 w,schmit 正交化并归一化得到 w'=w-sigma_i=1^i=m(alpha_i*v_i)，用 v_1,v_2,...v_m-1,w'作为 V 执行下一步 Arnoldi 4. 这个确实没什么好说的，见讲义，不过偶背的还是不够清楚-__5. 第一问按照定义和变分原理的推导过程走一遍就好 第二问也可以利用 Galerkin 投影原理，题目中的方法都基于 Galerkin 投影原理，所以可 以统一的化成||r_m||的收敛性的问题加以说明 6. 幂法的迭代，真的就是一步就出来了
标 题: 研究生高等数值分析(贾仲孝)2003(zz) 1 证明不动点定理（存在唯一性） 2 第三章习题 8 3 共扼剃度法 ak 的选取，以及正交的证明 4 梯形法（迭代，相容，稳定区间） 具体为 dy/dt + y=0 y(0)=1? 5 求正交阵使 H*（2/3 1/3 2/3）'=e1 求 I－2ww' （w 的二范数为 1）的特征值 已知 H，问计算 Ha 的运算量 6 摄动原理 误差分析 7 拉各朗日插值（这里实际考的是代数基本定理的应用） 8 忘了 标 题: 2005 研究生高值考题（贾哥版） 下面是 B 卷内容，总共六道题 1.用 Givens 变换 QR 分解一个 3*2 的矩阵，并求解一个最小二乘 2.证明：对于 Minres 和 Gmres (1)A 有 k 个特征值时，至多 k 步收敛 (2)A 有 n 个不同的特征值，r0 由 k 个属于不同特征值的特征向量构成时，k 步收敛（这里没 有“至多”） 3.A 为 m*n 矩阵，m>n (1)用完全 QR 分解，不完全 QR 分解以及 SVD 表示 A+ (2)用完全 QR 分解以及 SVD 得到 min||Ax-b||问题的 xls 和 rls，并加以证明 4. (1)证明 Arnoldi 过程中断时找到准确解 (2)证明 Arnoldi 过程中断时不会发生方法中断 (3)当 A 为正定对称阵时，证明 Lanczos 方法不会发生方法中断（即 W'AV 非奇异，讲义上有 的） 5.A=uv'。u,v 均为向量，A 的秩为 1 (1)证明 u'v 为 A 的特征值 (2)A 还有哪些其他的特征值？（答案：0） (3)用幂法求 A 的主特征值，几步可收敛？为什么？（答案：1 步） 6.关于 CG 的问题 (1)类似于推导 alpha(k)，直接用书本上的方法就可以了 (2)当 A=I-BB'时，其中 B 的秩为 p，用 CG 求解 Ax=b 问题，最多几步可收敛？为什么？ （答案：min(p+1,n)） 感觉把讲义上的东东都看懂了就没问题了，贾哥还是很好的人哪~~~ ^_^d 标 题: [高等数值分析] 贾仲孝（A 卷）2006.1.10 1．A=[1，1，1，1；0，1，2，3]’，r 是最小化二乘问题||b-Ax||的残差，r 可能是下面那个 向量？给了 3 个向量。用法方程，根据 A'r=0 解。 2．A=[sqrt（2） ，1，1；0，1，1]’，b=（1，1，1）’
标 题: 高等数值分析 2009.1 贾哥版 题目见往年考题，基本相同，换汤不换药 关键是这汤换得也太让人 ft 了 第一题插值，f(x)=sqrt(1+x),取 x=0，0.6,0.9 这时告诉大家不让用计算器，我直接列完式子放弃计算了.. 然后用 Householder 把 A 矩阵 QR 了 经典的矩阵换成了一个十分变态的 [2 -1 -1; -1 2 -1; -1 -1 2 ] 算得时候根号套根号，Yd，我想拿放在一旁不让用的计算器砸人了，还好最近看《宽容》 ， 抑制了这种冲动。 所以建议后来者先做证明题，然后再回来算这种题。 补充一个 关于幂法的考题，除了以往的那种直接求主特征值和特征向量外 还让叙述幂法， 以及证明： 主特征向量和第 k 步得到的特征向量近似之间的夹角为 e_k 求证主特征值与 k 步得到的特征值之间的差为 O(e_k^2) 一共两问： 1）叙述幂法，证明特征值的差是 O(e_k) 2）全一矩阵求主特征对 标 题: Re: 高等数值分析 2009.1 贾哥版 1、(1)插值，f(x)=sqrt(1+x),给了 3 个点 0，0.6，0.9 (2)最小二乘，基函数为{1,x^2}，在区间[-1,1]，f(x)=|x| 2、证明 (1)A 只有 k 个不同特征值且能够对角化时，MINRES 和 GMRES 至多 k 步收敛 (2)A 有 n 个不同特征值但是 r0 只由 k 个特征向量线性组合， MINRES 和 GMRES 迭代 k 步收 敛 3、(1)x_(k+1)=x_k+alpha_k*d_k,求使得||x-x*||尽量小的 alpha_k，其中 x*=inv(A)*b (2)证明(x_k-x*)垂直于 d_k (3)f_k=A'*d_k，取 f_k=b-A*x_k 方法是否一定收敛 4、(1)叙述幂法 特征值 lambda_a 对应的特征向量为 x_1,sin∠(x1,vk)=epsilon_k, 证明|rho-lambda_1|=O(epsilon^2) (2)A={1,1,1;1,1,1;1,1,1},用幂法求主特征值和特征向量 5、A={2,-1,-1;-1,2,-1;-1,-1,2} (1)用 Givens 变换变成 3 对角 (2)用 Householder 变换作 QR 分解
（1）用 Givens 变换求 A 的 QR 分解 （2）用 QR 求最小化二乘问题||b-Ax|| 3.（1）证明对 Arnoldi 方法和 GMRES 方法，Arnoldi 过程中断，方法找到了精确解。 （2）证明如果 Arnoldi 方法中断，则 Arnoldi 过程一定不中断。 4.（1）证明对于 MINRES 和 GMRES，如果 A 只有 k 个不同的特征值，则 k 步收敛。 （2） 如果 A 的特征值互不相同， x0=0， b 由 A 的 k 个特征向量组成， 证明 MINRES 和 GMRES 方法 k 步收敛。 5． （1）推导 alpha（k） ，证明 r（k）与一个什么向量垂直（记不起了。很简单，就是几步数 学演绎） （2）为什么在绝对精确的计算下，CG，Lanczos，MINRES，Arnoldi，GMRES 方法至多 n 步 一定找到精确解。 6． （1）叙述 Rayleigh-Ritz 方法和精化的 Rayleigh-Ritz 方法的主要收敛结论。 （2）描述 Arnoldi 方法和精化的 Arnoldi 方法。 标 题: Re: [高等数值分析] 贾仲孝（A 卷）2006.1.10 1.备选项： (a) [1 1 1 1]'; (b) [1 -1 -1 1]'; (c) [-1 1 1 -1]'; 5(1).给定 phi(x_k) = (1/2)(x_k)'A(x_k)- (x_k)'b； 递推式 x_{k+1}= x_k + alpha * p_k，问 alpha 多少时使得 phi(x_k+1)最小，并证明 b - A(x_k+1)和 p_k 垂直。 标 题: 高等数值分析（2007/1/16）贾仲孝 1.(1) f ( x_0 ) = a， f ( x_1 ) = b， f ( x_2 ) = c ， x_k = ( k - 1 )/h, k = 0,1,2, 求 f ( x ) 的拉格朗日差 值多项式。 (2) 求 f(x) = |x| 在[-1 , 1] 上的最小平方逼近，基函数取{1， x^2} 2.(1) 若 A 可对角化，则当 A 仅有 k 个不同特征值时， 证明对于 A x = b MINRES 方法与 GMRES 方法至多 k 步找到精确解。 (2) 若 A 的特征值各不相同，对 A x = b 而言，取 x_0 = 0，b 可以表示成由 k 个特征向量，证 明 MINRES 方法与 GMRES 方法 k 步找到准确解。 3. A = |034| |300| |401| (1) 用 Givens 变换实现 A 的相思变换使得 A 化成对称三对角矩阵 T ; (2) 用 Householder 变换实现 A 的 QR 分解。 4.取 G = [-1 1] , x = g(x) = (x^2 - 1)/3 , 求证上述变换在 G 内有唯一不动点。 5.取 x_k+1 = x_k + a_k d_k，其中 d_k 为迭代方向 (1)若选取 a_k 使得|| r_k+1 || = min || b - A x_k ||，给出 a_k 的算式； (2)求证 r_k+1 与 A d_k 垂直；
(3)若取 d_k = r_k，证明对于任意的 x_0，则上述方法均收敛。 6.取 A = u v'，其中 u 与 v 不正交。 (1)证明 v' u 为 A 特征值； (2)证明 A 的其余特征值均为 0； (3)若对上述 A 使用幂法，则迭代几步之后收敛，收敛向量是什么？ 标 题: 08 年 1 月数值分析试题 贾哥版： 1、算一个 2 阶拉格朗日插值，f（x）=1/x，插值点，2、2.5、4，写出插值函数，分析在 3 点的偏差。1/60 我记得。然后 f（x）=sqrt（x） ，权函数=1，问一阶最佳平方估计的插值函 数是多少？大概是 4/5x+2/15？这题其实用 chebyshev 和拉格朗日都一样，一阶情况下一样 的。 2、用 givens 和 householder 变换把 A QR 了。A=[0，3，4；3，0，0；4，0，1]。 答案应该是 G 变化下，忘记了，H 变换下，R=[5，0，0.8；0，3，4；0，0，-3]，只记得两 个 R 不一样，QR 向来不唯一吧。 3、证明 Arnoldi 过程中断时 Arnoldi 方法找到了精确解，证明 Arnoldi 方法在第 k 步中断，则 Arnoldi 过程必不中断，证明 A=A'〉0 时 lanczos 方法一定不中断。比较简单 4、简述算部分特征值的 arnoldi 一般方法和精细方法。略 5、phi（x）=1/2（x，Ax）-（x，b） ，phi(x_k+a*p_k)在 a 取什么值时得到最小，其中 x_k 是 Ax=b 的目前近似，p_k 是搜索方向，并且证明，b-Ax_k+1 垂直于 p_k。这题目课件的 CG 中 都 有类似的证明，第一问求导，第二问直接算内积，把 x_k+1=x_k+a_k*p_k 的关系以及上面 求导的 a 的值代入即可。 这里没有提到 CG， 所以不能用 CG 的一些假设前提， 比如 Pk’*p_k=0 就好，实际上更简单了。第二问是在精确求解情况下，证明 CG，lanczos，MINRES、Arnoldi， GMRES 五种方法在 k=n 时都一定找到准确解。CG、M、G 都是最优，有限步算法，比较简 单，L、A 主要是在 k=n 的条件下，AQ=Q’T 成立，没有那个小尾巴了，证明 T 的非奇异后， 算 y 算 z 算 x，Ax 一算等于 b 于是精确解。 6、给了一个三阶矩阵 A=[-3，1，0；3，-2，3；0，1，-3]，给了一个初始向量 v0=1/sqrt（ 3） （1，1，1） ，用幂法求主特征值和主特征向量。一部就收敛了，然后 v1’Av1 得到这特 征值-5。
标 题: 高等数值分析_贾仲孝 自由空间 (Thu Jan 15 22:05:35 2009), 站内 第四题和第五题记得不是特别清楚。 1. 1.) f(x)=sqrt(1+x),x_0=0,x_1=0.6,x_2=0.9,求二次插值多项式。 并计算 f(0.44),计算在该点准确值 与估计值的误差； 2.) f(x)=abs(x),积分区间[-1,1],phi(x)={1,x*x},权函数为 1，求最佳逼近 2. 矩阵 A 可以对角化，A*x=b，取 x_0=0.对于 MINRES 和 GMRES 方法； 1.) 当 A 仅有 k 个不同特征值时，证明至多 k 步即可收敛 2.) 若 A 的特征值各不相同， b 可以表示成 k 个特征向量的线性组合， 证明 k 步找到准确解； 3.矩阵 A=[2 -1 -1; -1 2 -1; -1 -1 2] 1.) 利用 givens 变换把 A 转化成对称三对角矩阵 2.) 利用 householder 变化实现 A 的 QR 分解 4.Ax=b,x_*为方程的精确解，x_*=(A-1)*b, x_k+1=x_k + alpha_k * d_k,其中 d_k 为搜索方向， d_k= A'*f，f 为非零向量， 1.) 确定 alpha 的表达式使得范数||x_* - x_k+1||尽可能小 2.) 证明 x_* - x_k+1 与 d_k 正交，(alpha 的表达式中不要显示 x_*) 3.) 若取 d_k = r_k= b - A*x_k,问算法是否收敛，说明理由 5. 1.) A 为 实 数 矩 阵 ，且 特 征值 满足 lamda_1>lamda_2>=...>=lamda_n 陈述 幂 法， 并 证明 sin (v1,x1)=O(dieta), p 为第 k 步幂法得到的特征值， 证明|p-lamda|=O(dieta^k),就是说精度是 dieta 的 k 次方量级。 2.) 利用幂法求下列矩阵的主特征值和特征向量 A= [1 1 1; 1 1 1; 1 1 1] 一步收敛，特征值是 3，特征向量是 1/sqrt(3)* [1 1 1]' 发信人: AlexPiero (我心黑白), 信区: Pretest 标 题: 高等数值分析 贾哥 2010.01.20 今年贾哥很厚道啊，几乎拿得是 06 年的卷子。 。 。我就不抄写了，和以前的题是一样的 按着 pretest 上的年号-题号看就可以了。 06-3 06-2 06-4 06-5 07-1 06-6