哈工大《现代控制理论基础》第八章 线性系统的状态空间分析法
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自动控制原理课件8状态空间分析法
1 2 3
解析法
通过解状态方程和输出方程，得到系统的状态和 输出响应。
数值法
采用数值计算方法，如欧拉法、龙格-库塔法等， 对状态方程和输出方程进行离散化求解，得到系 统的离散时间响应。
线性时不变系统的性质
分析线性时不变系统的稳定性、可控性和可观测 性等性质，为系统设计和控制提供依据。
状态空间模型的求解方法
在处理高阶系统时，计算量较大，需要借助计算机进行数值计算。 在实际应用中，可能需要对系统进行适当的简化或近似处理，以降低
计算复杂度和提高计算效率。
状态空间分析法的优势与局限性
01 02 03 04
局限性
对于非线性系统和时变系统，建立状态空间模型可能较为复杂。
在处理高阶系统时，计算量较大，需要借助计算机进行数值计算。 在实际应用中，可能需要对系统进行适当的简化或近似处理，以降低
描述输入对状态变量的影响。
状态方程的建立
状态变量的选择
选择系统的状态变量，通常基于系统 的物理性质和动态特性进行选择。
建立状态方程
根据状态变量和系统的动态特性，建 立状态方程，描述系统内部状态的变
化规律。
确定系统矩阵
根据状态方程，确定系统矩阵A和B， 其中A描述状态变量的时间导数，B
描述输入对状态变量的影响。
计算复杂度和提高计算效率。
02 状态空间模型的建立
02 状态空间模型的建立
状态方程的建立
状态变量的选择
选择系统的状态变量，通常基于系统 的物理性质和动态特性进行选择。
建立状态方程
根据状态变量和系统的动态特性，建 立状态方程，描述系统内部状态的变
化规律。
确定系统矩阵
根据状态方程，确定系统矩阵A和B， 其中A描述状态变量的时间导数，B
《现代控制理论基础》第八章(1)
T
5
3. 状态空间
x1 (t ) x2 (t )
xn (t )
n 个坐标轴 n 维线性空间
x (t0 )
x (t )
状态轨线或状态轨迹
6
4. 状态方程
一阶线性常微分方程组
n 个状态变量
7
状态方程的列写举例
R
+
u (t )
-
i
L
图1 典型的
C
uC (t )
RLC
电路
R
+
u (t )
-
i
L
duc C i dt
K3 T3 1 T2 0
0 0 K2 x 0 u T2 K 1 1 T1 T1
y 1 0 0 x
[例2] 考虑一个含有零点的单输入单输出系统的方块图
u
-
sz s p
K s
1 sa
1 0 x u R 1 L LC
21
同一个系统的两个不同状态方程！
0 x 1 L
1 0 C x 1 u R L L
uc x i uc x uc
f12 (t ) 2 g h1 (t ) h2 (t )
dh1 (t ) 1 f1 (t ) f12 (t ) dt A dh2 (t ) 1 f12 (t ) f 2 (t ) dt A
f12 (t ) 2 g h1 (t ) h2 (t )
0 b 1 L
12
5. 输出方程 输出变量与状态变量间的函数关系式。
y uc
5
3. 状态空间
x1 (t ) x2 (t )
xn (t )
n 个坐标轴 n 维线性空间
x (t0 )
x (t )
状态轨线或状态轨迹
6
4. 状态方程
一阶线性常微分方程组
n 个状态变量
7
状态方程的列写举例
R
+
u (t )
-
i
L
图1 典型的
C
uC (t )
RLC
电路
R
+
u (t )
-
i
L
duc C i dt
K3 T3 1 T2 0
0 0 K2 x 0 u T2 K 1 1 T1 T1
y 1 0 0 x
[例2] 考虑一个含有零点的单输入单输出系统的方块图
u
-
sz s p
K s
1 sa
1 0 x u R 1 L LC
21
同一个系统的两个不同状态方程！
0 x 1 L
1 0 C x 1 u R L L
uc x i uc x uc
f12 (t ) 2 g h1 (t ) h2 (t )
dh1 (t ) 1 f1 (t ) f12 (t ) dt A dh2 (t ) 1 f12 (t ) f 2 (t ) dt A
f12 (t ) 2 g h1 (t ) h2 (t )
0 b 1 L
12
5. 输出方程 输出变量与状态变量间的函数关系式。
y uc
第8章 线性系统的状态空间分析PPT课件
x1k xx2k
xnk
u1k uu2k
unk
y1k yy2k
ynk
c11 c12 c1n
Cc21
c22
c2n
cn1 cn2 cqn
d11 d12 d1p
Dd21
d22
d2p
dq1 dq2 dqp
对于线性定常系统A、B 、G、H 、C、D为常系数矩阵， G、 H形式同A、B。
D D
DD
u
B
x
0
1J
u m1
y x2 0
1
x1 x2
若 y ,则 x1 i,x2 , x 3 且 x3 x2
二阶
结论： 同一系统 动态方程 的维数、 变量、系 数矩阵都
x1 x2
R L
Cm
x3
J
0
Ce L 0 1
不唯一。
y x3 0
00001xxx132xxx11200L1x2
输出方程：
y(t)g [x(t)u ,(t)t] ,
动态方程：
x(t) f[x(t),u(t),t] y(t)g[x(t),u(t),t]
x(tk1)f[x(tk),u(tk),tk]
y(tk)g[x(tk),u(tk),tk]
线性系统动态方程的一般形式
x(t)A(t)x(t)B(t)u(t) y(t)C(t)x(t)D(t)u(t)
结论：对同一系统，状态变量的选择不具有唯一性，动态方 程也不是惟一的。一般选择储能器件上的量做为状态变量。
例8-4 试列写图示系统的动态方程。
m x(x V )kxF 初速度≠0
y 1 x 1 x y 2 x x 2 y 3 x
x x12xx2 m 1[(x2V)kx1F]
第八章 现代控制理论基础
8 1 3 = 3 − 2 − 6 s +1 s + 2 s + 4 8 1 3 Y ( s ) = ( 3 − 2 − 6 )U ( s ) s +1 s + 2 s + 4
设
1 X1 ( s ) = U( s ) s +1 1 X2( s ) = U( s ) s+2 1 X3( s ) = U( s ) s+4
2
状态与状态变量 状态： 状态：时间域中运动信息的集合 状态变量：描述系统时域行为的独立、 状态变量：描述系统时域行为的独立、数目最少的变量 N阶微分方程、状态变量数N、独立储能元件的个数 阶微分方程、状态变量数 、 阶微分方程 状态变量选取不是唯一的、不一定是可测的量 状态变量选取不是唯一的、 状态向量
x1 3 1 8 y= − − x2 2 6 3 x3
20
MATLAB根轨迹、 MATLAB根轨迹、频域特性分析 根轨迹
主要内容 根轨迹 Bode图 Bode图 Nyquist图 Nyquist图
21
根轨迹
num D( S ) = 1 + K =0 den
14
2. 实现： 给定一个系统的传递函数，求系统的状态方程 实现： 给定一个系统的传递函数， 可实现的条件：传递函数为真有理函数（ 可实现的条件：传递函数为真有理函数（n≥m) 传递函数的实现不是唯一的。 传递函数的实现不是唯一的。 例：
Y( s ) S 2 + 8 S + 15 G( s ) = = 3 U ( s ) S + 7 S 2 + 14 S + 8
…
得
v + 7 v + 14 v + 8v = u
现代控制理论状态空间法
根据系统微分方程建立状态空间表达式.
1.输入项中不含输入导数项的线性系统空间状态 表达式
• 系统描述为:
y (n ) a1 y (n1) an1 y an y u
(1)
讨论:状态如何选择
y(t) C (t)x(t) D(t)u(t)
2)线性时不变系统: x Ax Bu y Cx Du
在通常情况下，大多数还是研究线性时不变 系 统，即线性定常系统，因此本课程的主要研究对 象是线性定常系统。
4.状态空间描述的结构图(或称状态变量图)
• 例:根据上例画出结构图. • 解:先将例子写成下述形式
现代控制理论
第一章 状态空间法
控制系统的状态空间描述
一.问题的引出 1 --古典控制理论的局限性 1、仅适用于SISO的线性定常系统(外部描述，
时不变系统) 2、古典控制理论本质上是复频域的方法.(理论) 3、设计是建立在试探的基础上的.(应用) 4、系统在初始条件为零,或初始松驰条件下,才
能采用传递函数.
定义2.状态变量
状态变量是确定系统状态的最小一组变量,如果以最
少的n个变量 x1 (t ), x2 (t ), , xn (t ) 可以完全描述系
统的行为 (即当t≥ 时输入和
t0
在t= t0初始状态给定后,系统的状态完全可以确定),那 么
x1 (t ), x2 (t ), 是一, xn组(t )状态变量.
(2)状态变量选取不唯一,有时选取状态变量仅为数 学描述所需,而非明确的物理意义。
(3)状态变量是系统的内部变量,一般情况下输出是 状态的函数,但输出总是希望可量测的。
(4)仅讨论有限个状态变量的系统。 (5)有限个数的状态变量的集合,称为状态向量。 (6)状态向量的取值空间称为状态空间。
现代控制理论控制系统的状态空间模型
方程 x：小车的水平位移
x l sin : 摆心瞬时位置
m
x l
在水平方向，利用牛顿第二定律，得到
2024/6/22
9
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
设： x1 i(t) x2 uC (t)
x
x1
x2
A -1RL
-
1 L
0
C
1
b
L 0
C 0 1
x Ax bu
则可以写成状态空间表达式：
y Cx
内部描述
2024/6/22
10
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
uc
u
传函表示形式：
图 R-L-C网络
Uc (s)
1
U (s) LCS 2 RCS 1
外部描述
2024/6/22
7
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
一阶微分方程表示形式：
C
d uc dt
i
L
di dt
Ri
uc
u
di(t) R i(t) uC (t) u(t)
dt L
x1 x2
ub
x
x
a
18
1.1 状态空间模型
1.1.1 状态空间模型表达式
线性定常多变量系统
状态变量图：
输入向量
r×1 维
u
+ B
Bu
输入矩阵 +
n ×r维
传递矩阵 m×r维
x Ax Bu
y
Cx
Du
D
状态向量
+
x
∫
nx×1
维
【正式版】线性系统的状态空间分析与综合PPT
由描述系统的 n个状态变量 x1(t)x ,1(t) , xn(t)构成 的向量称为 n维状态向量。X (t) [x 1 (t)x 1 (t) xn(t)]
3、状态空间 以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交线 性空间，称为状态空间。
4、状态轨线 系统状态向量在状态空间中随时间变化的轨迹。
5、状态方程 描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分 （差分）方程组。
1961年，庞特里亚金极大值原理。 1965年，R.Bellman提出了最优控制的动态规划方法。
线性系统的Байду номын сангаас态空间描述 4 线性定常系统的反馈结构及状态观测器
系统内部描述：状态空间描述，对系统的一种完全描述，表征系统所有动力学特征。
9.2 线性系统的可控性与可观测性 描述系统输出变量与状态变量和输入变量之间函数关系的代数方程组。
线性系统的状态空间分析 与综合
现代控制理论
研究对象：多输入、多输出系统，线性、非线性、 定常或时变、连续或离散系统。
解决方法：状态空间法（时域方法）。 数学工具：线性代数、微分方程组、矩阵理论。
1958年，R.E.Kalman采用状态空间法分析系统，提 出能控性、能观测性、Kalman滤波理论
x (t)f[x(t)u ,(t)t,]
x (tk 1 ) f[x (tk)u ,(tk)tk ,]
6、输出方程 描述系统输出变量与状态变量和输入变量之间函数 关系的代数方程组。
y(t)g[x(t)u ,(t)t,]
y (tk) g [x (tk)u ,(tk)tk ,]
7、状态空间表达式 状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式。
状态变量：确定系统状态的最小一组变量，如果知道这些变量在任意初始时刻 的值以及 的系统输入，便能够完整地确定系统在任 意时刻 的状态。
现代控制理论3-1线性系统的状态空间描述
第一步：选择状态变量，n阶系统，一般选择n个状态变量
x1 , x 2 , ⋯⋯, x n
x1 = y ɺ x2 = y x3 = ɺɺ y ⋮ xn = y ( n −1)
第二步：求各个状态一阶导数，并代入原微分方程，有
ɺ x1 = x2 x = x ɺ 3 2 ⋮ x = x ɺ n−1 n xn = −a0 x1 − a1 x2 − ⋯⋯ − an−1 xn + β 0u ɺ
di 1 + Ri(t ) + ∫ i (t )dt = u (t ) dt C 1 u c (t ) = ∫ i (t )dt C L
(1)取流过电感L的电流i(t)和电容C两端电压uc(t) 作为系统的两个状态变量，分别记作 x1=i1和x2=uc,则有
dx1 L dt + Rx1 + x 2 = u (t ) dx 2 = 1 x 1 dt C y = x2
电路如图1.1所示 系统的控制输入量为u(t)，系统输出为u 例1.2 RLC电路如图 所示 系统的控制输入量为 电路如图 所示,系统的控制输入量为 ，系统输出为 c(t) ，建立 系统的状态空间表达式。 系统的状态空间表达式。
解：该RLC电路有两个独立的储能元件L和C， 设回路电流为i(t)，根据基尔霍夫电压定律和R、 L、C元件的电压电流关系，可得下列方程
n
x1 = y − β 0 u ɺ xi = xi −1 − β i −1u， i = 2,3, ⋯ , n
其中 β 0 , β 1 , ⋯ , β n −1 是n个待定系数。
根据上述定义有
x1 = y − β 0 u ɺ x 2 = x1 − β1u ɺ xi = xi −1 − β i −1u ɺ x n −1 = x n − 2 − β n − 2 u ɺ x n = x n −1 − β n −1u
x1 , x 2 , ⋯⋯, x n
x1 = y ɺ x2 = y x3 = ɺɺ y ⋮ xn = y ( n −1)
第二步：求各个状态一阶导数，并代入原微分方程，有
ɺ x1 = x2 x = x ɺ 3 2 ⋮ x = x ɺ n−1 n xn = −a0 x1 − a1 x2 − ⋯⋯ − an−1 xn + β 0u ɺ
di 1 + Ri(t ) + ∫ i (t )dt = u (t ) dt C 1 u c (t ) = ∫ i (t )dt C L
(1)取流过电感L的电流i(t)和电容C两端电压uc(t) 作为系统的两个状态变量，分别记作 x1=i1和x2=uc,则有
dx1 L dt + Rx1 + x 2 = u (t ) dx 2 = 1 x 1 dt C y = x2
电路如图1.1所示 系统的控制输入量为u(t)，系统输出为u 例1.2 RLC电路如图 所示 系统的控制输入量为 电路如图 所示,系统的控制输入量为 ，系统输出为 c(t) ，建立 系统的状态空间表达式。 系统的状态空间表达式。
解：该RLC电路有两个独立的储能元件L和C， 设回路电流为i(t)，根据基尔霍夫电压定律和R、 L、C元件的电压电流关系，可得下列方程
n
x1 = y − β 0 u ɺ xi = xi −1 − β i −1u， i = 2,3, ⋯ , n
其中 β 0 , β 1 , ⋯ , β n −1 是n个待定系数。
根据上述定义有
x1 = y − β 0 u ɺ x 2 = x1 − β1u ɺ xi = xi −1 − β i −1u ɺ x n −1 = x n − 2 − β n − 2 u ɺ x n = x n −1 − β n −1u
自动控制原理课件8状态空间分析法
自动控制原理课件8状态空间分析 法
目录
• 状态空间分析法概述 • 线性系统的状态空间分析 • 非线性系统的状态空间分析 • 状态空间分析法的应用
01
状态空间分析法概述
Chapter
状态空间的概念
状态变量
描述系统动态行为的内部变量， 通常选取系统的输入、输出及内 部变量作为状态变量。
状态方程
描述系统内部状态变量之间关系 的数学模型，通常采用微分方程 或差分方程形式表示。
故障隔离和定位
结合状态空间方法和故障诊断算法，可以隔离和 定位故障源，提高故障处理的效率和准确性。
3
故障预测和预防
利用状态空间方法和数据挖掘技术，可以对控制 系统的故障进行预测和预防，降低故障发生的概 率。
THANKS
感谢观看
在控制系统仿真制系统的动态行为，验证 控制策略的有效性。
系统分析和调试
通过仿真实验，分析系统的性能指标，对系统进行调 试和优化。
多目标优化
利用状态空间方法，可以对多个性能指标进行优化， 实现多目标控制。
在控制系统故障诊断中的应用
1 2
故障检测和诊断
通过状态空间方法，可以检测和诊断控制系统的 故障，及时采取措施进行修复和维护。
状态方程定义
描述系统内部状态变量随时间变化的数学模型，通常表示为dx/dt = Ax + Bu，其中x是状态向量，u是输入向量，A 和B是系统矩阵。
建立状态方程
根据系统的物理特性和输入输出关系，通过适当的方法建立状态方程。
状态方程解法
通过求解状态方程，可以得到系统的状态响应。
线性系统的稳定性
稳定性的定义
极点配置的方法
通过求解线性矩阵不等式或优化问题，找到合适的 控制输入u(t)，使得系统的极点配置在期望的位置 上。
目录
• 状态空间分析法概述 • 线性系统的状态空间分析 • 非线性系统的状态空间分析 • 状态空间分析法的应用
01
状态空间分析法概述
Chapter
状态空间的概念
状态变量
描述系统动态行为的内部变量， 通常选取系统的输入、输出及内 部变量作为状态变量。
状态方程
描述系统内部状态变量之间关系 的数学模型，通常采用微分方程 或差分方程形式表示。
故障隔离和定位
结合状态空间方法和故障诊断算法，可以隔离和 定位故障源，提高故障处理的效率和准确性。
3
故障预测和预防
利用状态空间方法和数据挖掘技术，可以对控制 系统的故障进行预测和预防，降低故障发生的概 率。
THANKS
感谢观看
在控制系统仿真制系统的动态行为，验证 控制策略的有效性。
系统分析和调试
通过仿真实验，分析系统的性能指标，对系统进行调 试和优化。
多目标优化
利用状态空间方法，可以对多个性能指标进行优化， 实现多目标控制。
在控制系统故障诊断中的应用
1 2
故障检测和诊断
通过状态空间方法，可以检测和诊断控制系统的 故障，及时采取措施进行修复和维护。
状态方程定义
描述系统内部状态变量随时间变化的数学模型，通常表示为dx/dt = Ax + Bu，其中x是状态向量，u是输入向量，A 和B是系统矩阵。
建立状态方程
根据系统的物理特性和输入输出关系，通过适当的方法建立状态方程。
状态方程解法
通过求解状态方程，可以得到系统的状态响应。
线性系统的稳定性
稳定性的定义
极点配置的方法
通过求解线性矩阵不等式或优化问题，找到合适的 控制输入u(t)，使得系统的极点配置在期望的位置 上。
控制系统的状态空间分析与综合
（8.7）
8.1.2 线性定常连续系统状态空间表
达式的建立
(1)由系统结构图出发建立状态空间表达式 (2)由系统微分方程或传递函数出发建立状态空间表达式
1）传递函数中没有零点时的实现 由图8.3，容易列出系统的状态空间表达式为：
（8.8） （8.9）
图8.3 系统模拟结构图
写成矩阵形式，则为：
①输出量反馈至状态微分处的系统结构图如图8.12所示：
图8.12 输出量反馈至状态微分
设受控对象动态方程为： 输出反馈系统动态方程为： 式中G为n×1输出反馈阵。
（8.106） （8.107）
②输出量反馈至参考输入的系统的结构图如图8.13所示： 其中： 该输出反馈系统动态方程为：
设待实现的系统传递函数为：
（8.12）
图8.4 系统模拟结构图
（8.13）
（8.14）
从图8.5可以看出，输入函数的各阶导数 作适当的等效移动，就可以用图8.6(a) 表示，只要β0,β1,β2,β3系数选择
适当，从系统的输入输出看，二者是完全等效的。将综合点等效地移到前面， 得到等效模拟结构图如图8.6(b)所示。
8.3.3 能控标准型和能观标准型
(1) 当系统的传递函数如式（8.74），则可直接写出其能控标准型：
（8.75）
设系统的状态空间表达式为： 若系统是完全能控的，则存在线性非奇异变换：
（8.76）
（8.77）
8.4 对偶性原理
(1)
（8.90）
图8.9 对偶系统的模拟结构图
(2)对偶原理
第8章 控制系统的状态空间分析 与综合
8.1 控制系统的状态空间描述
8.1.1 状态空间的基本概念
(1) 表征系统运动的信息称为状态，足以完全表征系统运动状态的最小个数的一
8.1.2 线性定常连续系统状态空间表
达式的建立
(1)由系统结构图出发建立状态空间表达式 (2)由系统微分方程或传递函数出发建立状态空间表达式
1）传递函数中没有零点时的实现 由图8.3，容易列出系统的状态空间表达式为：
（8.8） （8.9）
图8.3 系统模拟结构图
写成矩阵形式，则为：
①输出量反馈至状态微分处的系统结构图如图8.12所示：
图8.12 输出量反馈至状态微分
设受控对象动态方程为： 输出反馈系统动态方程为： 式中G为n×1输出反馈阵。
（8.106） （8.107）
②输出量反馈至参考输入的系统的结构图如图8.13所示： 其中： 该输出反馈系统动态方程为：
设待实现的系统传递函数为：
（8.12）
图8.4 系统模拟结构图
（8.13）
（8.14）
从图8.5可以看出，输入函数的各阶导数 作适当的等效移动，就可以用图8.6(a) 表示，只要β0,β1,β2,β3系数选择
适当，从系统的输入输出看，二者是完全等效的。将综合点等效地移到前面， 得到等效模拟结构图如图8.6(b)所示。
8.3.3 能控标准型和能观标准型
(1) 当系统的传递函数如式（8.74），则可直接写出其能控标准型：
（8.75）
设系统的状态空间表达式为： 若系统是完全能控的，则存在线性非奇异变换：
（8.76）
（8.77）
8.4 对偶性原理
(1)
（8.90）
图8.9 对偶系统的模拟结构图
(2)对偶原理
第8章 控制系统的状态空间分析 与综合
8.1 控制系统的状态空间描述
8.1.1 状态空间的基本概念
(1) 表征系统运动的信息称为状态，足以完全表征系统运动状态的最小个数的一
自动控制原理ppt课件8状态空间分析法
将方程组改成矩阵微分方程的形式：
同理得输出方程
二、传递矩阵
零初始条件时,用拉氏变换的形式表示输出与输入关系如下:
用矩阵方程表示为：
可以写成：
G(s) 即为双输入双输出系统的传递矩阵
r 个输入量和 m个输出量的 系统传递矩阵 G(s)为：
三、系统状态空间表达式与传递矩阵的关系 设系统的状态空间表达式为 ： 对上式进行 拉氏变换： 若 X(0) = 0, 则 X(s)=(sI -A)-1BU(s)
状态方程是计算动态特性的线性定常系数矩阵 微分方程,输出方程是用来计算所观察参数的 线性代数方程。
表 8.1 经典和现代控制理论对比
时间 数学模型 数学工具 应用范围
应用情况
经典 1940-1960年
传递函数、微分方程
常微分方程、复变函 数、Laplace变换等 单输入单输出线性定 常连续、离散时变集 中参数系统
一、基本概念
1. 状态：系统的状态就是系统过去、现在和将来 的状况。系统的状态可以定义为信息的集合， 表征系统运动的信息。
2. 状态变量：指可以完全表征系统状态的最少个数的
一组变量 x1、x2、…、xn , 并且满足下列两个条件: (1)在任何时刻 t = t0 , 这组变量的值：
(2)
x1(t0)、x2(t0) 、…、xn(t0)
试判别该系统的可控性 解:
所以 因为rank M = 1, 所以该系统是不可控的
例 设系统为
试判别该系统的可控性 解:
所以 因为 rank M = 2 , 所以该系统是可控的
例 设系统为
试判别系统的可控性
解:
MM T 非奇异, 故 M 满秩 , 系统是
可控的
几点结论:
现代控制理论总结
1 根据系统机理建立状态空间表达式 2 根据传递函数(微分方程)建立状态空间表达式
2 根据传递函数（微分方程）建立状态空间表达式
考虑单入单出的线性定常系统：
相应的传递函数为：
G(s)
bmsm bm1sm1 sn an1sn1
b1s b0 a1s a0
相应的微分方程为：
c13
(s 1)
n i4
ci
s i
状态变量选取:
x1(s)
(s
1
1)3
U
(s)
(s
1
1)
(s
1
1)2
U
(s)
(s
1
1)
x2 (s)
x2
(s)
(s
1
1)2
U (s)
(s
1
1)
(s
1
1)
U
(s)
(s
1
x Ax bu y cx
x px
x Ax bu y cx
P变换， 变换矩阵： p p1 p2
pn
这里
A p1Ap
b p1b
y cx cpx cx c cp
对系统作线性非奇异变换，其特征值不变。
化A阵为对角阵
a) A阵具有不相同的实数特征值，即λi
1
xn1
0
an1 xn 1
y 0 1
x1
x2
n1
2 根据传递函数（微分方程）建立状态空间表达式
考虑单入单出的线性定常系统：
相应的传递函数为：
G(s)
bmsm bm1sm1 sn an1sn1
b1s b0 a1s a0
相应的微分方程为：
c13
(s 1)
n i4
ci
s i
状态变量选取:
x1(s)
(s
1
1)3
U
(s)
(s
1
1)
(s
1
1)2
U
(s)
(s
1
1)
x2 (s)
x2
(s)
(s
1
1)2
U (s)
(s
1
1)
(s
1
1)
U
(s)
(s
1
x Ax bu y cx
x px
x Ax bu y cx
P变换， 变换矩阵： p p1 p2
pn
这里
A p1Ap
b p1b
y cx cpx cx c cp
对系统作线性非奇异变换，其特征值不变。
化A阵为对角阵
a) A阵具有不相同的实数特征值，即λi
1
xn1
0
an1 xn 1
y 0 1
x1
x2
n1
现代控制理论-线性系统的状态空间描述
c11(t) c12 (t) c1n (t)
C
(t)
c21
(
t
)
c22 (t)
c2n (
t
)
,
m n维输出矩阵 表 征 输 出 和 每 个 状 态 量 变 的 关 系
cm1(t) cm2 (t) cmn (t)
d11(t)
D(t)
d 21 ( t )
d12 (t)
d22 (t)
最小个数：意味着这组变量是互相独立的。一个用n阶微分方
程描述的含有n个独立变量的系统，当求得n个独立变量随时
间变化的规律时，系统状态可完全确定。若变量数目多于n，
必有变量不独立；若少于n，又不足以描述系统状态。
2021/8/24
电气信息学院《现代控制理论课程》
12
状态变量的选取具有非唯一性，即可 用某一组、也可用另一组数目最少的变量 （状态变量不唯一）。状态变量不一定要 象系统输出量那样，在物理上是可测量或 可观察的量，但在实用上毕竟还是选择容 易测量的一些量，以便满足实现状态反馈、 改善系统性能的需要。
常用符号： 积分器
比例器
ki
注：有几个状态变量，就建几个积分器
加法器
注:负反馈时为－
系统框图：
U
B
D
•
X
A
X C Y
X•
AX
BU
Y CX D U
2021/8/24
电气信息学院《现代控制理论课程》
22
线性时变系统状态空间描述：x A(t)x B(t)u y C(t)x D(t)u
t)
b11(t) b12 (t) b1r (t)
B(t)
b21 ( t )
自动控制原理课件8状态空间分析法
定义
状态方程描述了自动控制系统中各个元件之间的动态关系。
系统转换
通过将系统转换成状态空间形式，我们可以更好地描述和理解系统的行为。
状态矩阵与控制矩阵
状态矩阵和控制矩阵是描述系统状态和输入的重要工具。
系统传递函数
1 概念
传递函数表示系统的输入 和输出之间的关系。
2 输入输出方程
通过传递函数，我们可以 分析系统的稳定性和响应 特性。
自动控制原理课件8状态 空间分析法
在本课件中，我们将学习状态空间分析法在自动控制中的应用。通过简洁而 生动的文本和精美的图片，我们将探索这一方法的定义、优势以及设计过程。
引言
状态空间分析法是一种用于自动控制系统设计和分析的方法。它与传统的频 域和时域分析方法相比，具有更直观和全面的特点。
系统状态方程
总结与展望
1 优缺点
我们将总结状态空间分析法的优点和不足之 处。
2 未来发展方向
我们将探讨状态空间分析法未来的发展方向 和应用领域。
参考文献
在本课件中，我们引用了一些重要的参考文基于极点配置的控制器设计方法 可帮助我们实现期望的系统响应。
使用最优控制方法设计控制器可 以提高系统的性能。
实例分析
线性系统表示
我们将以一个实际的线性系统为例，展示如何进行状态空间分析。
控制器设计算法
我们将运用控制器设计算法，设计出最佳的控制器。
仿真实验结果展示
通过仿真实验，我们将验证设计的控制器的性能和稳定性。
3 稳定性分析
稳定性分析方法帮助我们 确定系统的稳定性。
状态转移矩阵
1
线性时不变系统
状态转移矩阵可以用于描述线性时不变
性质
2
系统的状态演变。
状态方程描述了自动控制系统中各个元件之间的动态关系。
系统转换
通过将系统转换成状态空间形式，我们可以更好地描述和理解系统的行为。
状态矩阵与控制矩阵
状态矩阵和控制矩阵是描述系统状态和输入的重要工具。
系统传递函数
1 概念
传递函数表示系统的输入 和输出之间的关系。
2 输入输出方程
通过传递函数，我们可以 分析系统的稳定性和响应 特性。
自动控制原理课件8状态 空间分析法
在本课件中，我们将学习状态空间分析法在自动控制中的应用。通过简洁而 生动的文本和精美的图片，我们将探索这一方法的定义、优势以及设计过程。
引言
状态空间分析法是一种用于自动控制系统设计和分析的方法。它与传统的频 域和时域分析方法相比，具有更直观和全面的特点。
系统状态方程
总结与展望
1 优缺点
我们将总结状态空间分析法的优点和不足之 处。
2 未来发展方向
我们将探讨状态空间分析法未来的发展方向 和应用领域。
参考文献
在本课件中，我们引用了一些重要的参考文基于极点配置的控制器设计方法 可帮助我们实现期望的系统响应。
使用最优控制方法设计控制器可 以提高系统的性能。
实例分析
线性系统表示
我们将以一个实际的线性系统为例，展示如何进行状态空间分析。
控制器设计算法
我们将运用控制器设计算法，设计出最佳的控制器。
仿真实验结果展示
通过仿真实验，我们将验证设计的控制器的性能和稳定性。
3 稳定性分析
稳定性分析方法帮助我们 确定系统的稳定性。
状态转移矩阵
1
线性时不变系统
状态转移矩阵可以用于描述线性时不变
性质
2
系统的状态演变。
线性系统的状态空间分析
线性系统的状态空间分析及单极倒立摆摘要：线性系统的状态空间分析在20世纪50年代蓬勃兴起的航天技术的推动下,现代控制理论在上世纪60年代开始形成并得到了迅速的发展。
现代控制理论的重要标志和基础就是状态空间方法。
现代控制理论用状态空间法描述输入、状态、输出等各种变量间的因果关系。
不但反映系统输入与输出的外部特性，而且揭示了系统的内部结构特性，可以研究更复杂而优良的控制方法。
现代控制理论既适用与单变量控制系统，又适用于多变量控制系统，既可以用于线性定常系统，又可用于线性时变系统，还可以用于复杂的非线性系统。
倒立摆控制系统虽然作为热门研究课题之一，但见于资料上的大多采用现代控制方法，本课题的目的就是要用经典的方法对单级倒立摆设计控制器进行探索。
本文以经典控制理论为基础，建立小车倒立摆系统的数学模型，使用PID控制法设计出确定参数(摆长和摆杆质量)下的控制器使系统稳定，并利用MATLAB软件进行仿真。
一．系统状态空间描述常用的基本概念1. 状态和状态变量系统在时间域中的行为或运动信息的集合称为状态。
确定系统状态的一组独立（数目最小）的变量称为状态变量。
只要知道某一初始时刻t0时的一组状态变量的值，并且知道从这一初始时刻起（t≥t0）的输入变量，则系统中的所有状态（或变量）在此刻及以后的数值或变化情况都能惟一确定，这就是“确定系统状态”的含义。
在输入已知时，为了确定系统未来的运动状态，一组状态变量的初值是必要而且是充分的。
或者说，状态变量是既足以完全确定系统运动状态而个数又最小的一组变量。
用n阶微分方程描述的n阶系统，状态变量的个数是n。
对于物理系统，状态变量的个数就是系统中独立储能元件的个数。
一个系统中选取哪些变量作为状态变量并不是惟一的。
状态不一定是可测量的物理量，有时也可能是只具有数学意义而没有物理意义。
对于n阶系统，找到n 个相互独立的变量就可以构成一组状态变量。
但在工程实践中应当优先选取容易测量的物理量作为状态变量，因为在系统设计中要用状态变量作反馈量。
线性系统的状态空间分析法
e(t)
1/L
x1
x1 x2
x2
e0 (t )
1/C
-R/L -1/LC
解法2.
选取 则有
x1 i
x2 idt
x 1
R L
x1
1 LC
x2
1 L
e(t)
x 2 x1
x 1
x
2
1RL
1
LC 0
b0 - an
- an-1
-a2
x1
-
a1
x
2
xn
x1
b0u bn
bn-1
b1
x2
xn
在 一 般 情 况 下b0 0则 得 到
x1
y bn
bn-1
b1
x2
xn
y cx
输出方程
0 1 0 0
A
0
0 1 0
- a n
an1
a1
0
B
0
1
系统矩阵
输入矩阵
C [1 00] 输出矩阵
状态变量图
u
+
Xn
Xn-1
-a1 -a2
-an-1
X2
X1=y
-an
例1.设控制系统的运动方程为 y(2) 3 y 2 y u
试写出该系统的状态空间表达式。方框图如下：
现代控制理论：CH2 线性系统的状态空间描述(完整版)
2．线性系统的状态空间描述
u1 u2
x1
系统动力学部件
x2
系统输出部件
y1 y2
up
xn
yq
图2.4 系统的状态空间描述
动态系统的状态空间描述由两个过程来描述：
(1)由动力学部件决定的“输入引起状态变化的过程” (2)由输出部件决定的“状态与输入导致输出变化的过程”
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第2章 线性系统的状态空间描述
连续系统：
x(t) f [ x(t), u(t),t ]
y(t)
g
[
x(t),
u(t ), t
]
离散系统：
x(tk1) y(tk )
f [ x(tk ), u(tk ),tk ] g[ x(tk ), u(tk ),tk ]
或
x(k 1) y(k) g
➢ 结论4： 对于多变量线性定常系统，有
G(t, ) G(t - )
对初始条件为零的线性定常因果系统，有
t
t
y (t) G(t )u( )d G( )u(t )d ，t t0
t0
t0
其中：t0为系统的初始时刻。 19
第2章 线性系统的状态空间描述
三. 线性系统的状态空间描述
1．状态和状态空间的定义 （1）状态、状态变量和状态向量
状态向量：是由状态变量所构成的向量，即向量
x(t) x1(t), x2(t), , xn (t)称T 为n维状态向量。给定t = t0
时的初始状态向量x(t0)及t≥t0的输入向量u(t)，则t≥t0 的状态由状态向量x(t)唯一确定。
关于状态的几点说明：
1）状态变量组可完全地表征系统行为的属性体现
u1 u2
x1
系统动力学部件
x2
系统输出部件
y1 y2
up
xn
yq
图2.4 系统的状态空间描述
动态系统的状态空间描述由两个过程来描述：
(1)由动力学部件决定的“输入引起状态变化的过程” (2)由输出部件决定的“状态与输入导致输出变化的过程”
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第2章 线性系统的状态空间描述
连续系统：
x(t) f [ x(t), u(t),t ]
y(t)
g
[
x(t),
u(t ), t
]
离散系统：
x(tk1) y(tk )
f [ x(tk ), u(tk ),tk ] g[ x(tk ), u(tk ),tk ]
或
x(k 1) y(k) g
➢ 结论4： 对于多变量线性定常系统，有
G(t, ) G(t - )
对初始条件为零的线性定常因果系统，有
t
t
y (t) G(t )u( )d G( )u(t )d ，t t0
t0
t0
其中：t0为系统的初始时刻。 19
第2章 线性系统的状态空间描述
三. 线性系统的状态空间描述
1．状态和状态空间的定义 （1）状态、状态变量和状态向量
状态向量：是由状态变量所构成的向量，即向量
x(t) x1(t), x2(t), , xn (t)称T 为n维状态向量。给定t = t0
时的初始状态向量x(t0)及t≥t0的输入向量u(t)，则t≥t0 的状态由状态向量x(t)唯一确定。
关于状态的几点说明：
1）状态变量组可完全地表征系统行为的属性体现
现代控制理论状态空间分析法
(2-3)
方程(2-3)的向量－矩阵形式为
x&t Axt bu
(2-4)
式中u为p维列向量，B为 n p 输入矩阵，或称控制系数矩阵，
有
a11 a12 L a1n
A a21 a22 L
a2
M M L M
an1 an2 L
ann
b11 b12 L b1p
B b21 b22 L
b2
M
yq
cq1 cq2 L
cqn
d11 d12 L D d21 d22 L
M M dq1 dq11 L
d1p
d
2
p
M
d
qp
u1
u
u2
M
up
C为 (q n) 输出矩阵，D为 (q p) 前馈矩阵。
六 状态空间表达式
状态方程、输出方程的组合称为状态空间表达式，简称动态 方程。状态空间法用状态方程、输出方程来表达输入－输出关 系，提示了系统内部状态对系统性能的影响。
y1 c11x1 L c1n xn d11u1 L d1pup
M
yq cq1x1 L
cqn xn dq1u1 L
d
qpu
p
(2-7)
其向量－矩阵形式为
y Cx Du
(2-8)
式中
y1
yHale Waihona Puke y2Mc11 c12 L C c21 c22 L
M M
c11
c2
n
利用状态分析法，对系统进 行一系列特性分析，来设计状态 反馈和输出反馈。
电机内部工作原理 点击观看
线性系统理论的主要内容： ➢状态空间分析法 ➢线性系统内部特性 ➢线性系统状态空间 的综合设计
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2
R 1 1 (s s )uc ( s ) u (s) L LC LC
2
稍作整理即得式（8－6）。
20
如果要将高阶微分方程或传递函数变换为状态方 程，即分解为多个一阶微分方程，那么此时的状态方 程可以有无穷多种形式，这是由于状态变量的选择可 以有无穷多种的缘故。这种状态变量的非唯一性，归 根到底是由于系统结构的不确定性造成的。 考虑上例的情况，按照式（8－5）或（8－6）， 如果另外选择状态变量，
18
根据式（8－5）可以写出其相应的传递函数为
1 uc ( s ) LC u ( s) s 2 R s 1 L LC
其相应的推导过程如下： 对式（8－5）两边取Laplace变换得
（8－6）
19
R 1 1 s uc ( s ) suc ( s) uc ( s ) u ( s) L LC LC
n
n
n n
n
n
n
4
二．状态向量
x x 如果 n 个状态变量用 x1 (t ) ， 2 (t ) ，…， n (t ) 表示， x (t ) 并把这些状态变量看作是向量 的分量，则 就 称 x (t ) 为状态向量，记作
x(t ) x1(t ) x2 (t ) xn (t )
T
5
三．状态空间
15
在经典控制理论中，用指定某个输出量的高阶 微分方程来描述系统的动态过程，这就可以进一步 得出系统的传递函数描述。 例如，在上例中，在以 uc 作为输出时，从式（8 －1）中消去变量 i ，得到二阶微分方程为
R 1 1 uc u c uc u L LC LC
（8－5）
16
其推导过程如下：
（8－3）
13
这个输出方程可以用矩阵形式表示为
x1 y 1 0 x2
或
yc x
T
（8－4）
式中
c 1 0
T
14
六．状态空间表达式
状态方程和输出方程总合起来，构成对一个系 统完整的动态描述，称为系统的状态空间表达式。 例如在上例中，式（8－2）、（8－4）合称为 一个状态空间表达式。
28
至于输出方程，不仅是状态变量的组合，而且在 特殊情况下，还可能包含输入向量的直接传递关系， 因而有如下的一般形式
y1 c11 x1 c12 x2 c1n xn d11u1 d12u2 d1r ur y2 c21 x1 c22 x2 c2 n xn d 21u1 d 22u2 d 2 r ur ym cm1 x1 cm 2 x2 cmn xn d m1u1 d m 2u2 d mr ur
m n 的输出矩阵，
d11 d12 d d 22 21 D d m1 d m 2
d1r d 2 r 表示 m r 的直接传递矩阵， d mr
32
除特殊申明外，一般情况下均令 D
0。
33
七．状态空间表达式的系统方块图 单输入单输出系统的方块图如图2所示。
用矩阵形式表示，状态空间表达式则为
x Ax bu y cx
x1 x 2 x xn
（8－9）
式中
表示
n 维状态向量，
26
a11 a 21 A an1
a12 a22 an 2
a1n a2 n 表示 n n 的系统矩阵， ann
《自动控制原理》 （下册）
现代控制理论基础
1
哈尔滨工业大学 控制与仿真中心
史小平
2006年12月
2
第八章 线性系统的状态空间分析法
目 录
8.1 线性系统的状态空间描述 8.2 线性系统的运动分析——状态转移矩阵 8.3 线性系统的能控性、能观性及对偶原理 8.4 线性系统的能控规范型和能观规范型 8.5 线性系统的实现
6
四．状态方程 由系统的状态变量所构成的一阶常微分方程组称 为系统的状态方程。 举例说明状态方程的列写过程。 图1是一个 R L C 网络，此系统有两个独立的储能元 件，即电容 C 和电感 L ，所以应该有两个状态变量。
7
R u + 图1
i L
典型的
C
uc
RLC 电路
8
状态变量的选取，原则上是任意的，但是考虑到 电容的储能与其两端的电压 uc 有关，电感的储能与 流经它的电流 i 直接相关，故通常就以 uc 和 i 作 为此系统的两个状态变量。
u
b
+ +
x
x
c
y
A
图2 单输入单输出线性系统方块图
34
多输入多输出系统的方块图如图3所示。
D u B + +
x
A
x
C
+ +
y
图3 多输入多输出线性系统方块图
35
状态空间表达式是系统的一种完全描述，它既反 映了外部输入输出关系，也反映了内部状态变量与外 部信号的关系。
36
8.1.2 线性系统的状态空间表达式的建立
y x1
41
写成向量形式，即得状态空间表达式：
0 x 0 K1 K 4 T1
K3 T3 1 T2 0
0 0 K2 x 0 u T2 K 1 1 T1 T1
21
即选择
x1 uc
则
x2 uc
x1 uc x2
1 R 1 x2 uc uc u c u LC L LC
1 R 1 x1 x2 u LC L LC
（8－7）
22
即
0 x 1 LC
1 0 R x 1 u LC L
24
x1 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1u x2 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2u xn an1 x1 an 2 x2 ann xn bnu
输出方程则有如下形式：
25
y c1x1 c2 x2 cn xn
b11 b12 b b22 21 B bn1 bn 2
b1r b2 r 表示 n r 的输入矩阵， bnr
31
c11 c12 c c22 21 C cm1 cm 2
c1n c2 n 表示 cmn
一．根据系统的方块图建立状态空间表达式
[例1] 给定单输入单输出系统的方块图如下
u
-
K1 T1s 1
K2 T2 s 1
K3 T3 s
y
K4
试写出其状态空间表达式。
37
[解] 第一步：将方块图改画成模拟结构图
首先考虑一个子模块
K1 T1s 1
改画为
K1 T1 1 s T1
38
该子模块的模拟结构图为
x1 0 x 1 2 L 1 0 x1 C 1 u （8－2） R x2 L L
11
并写成矩阵形式， 则状态方程变为
或
x Ax bu
其中
x1 x x2
44
z p s p
+
画出原系统的等价方块图如下：
45
u
-
z p x3 s p
+
K s
x2
1 sa
x1 y
画出原系统的模拟结构图如下：
46
u
-
z p
-
p
x3
+
K
x2
-
a
x1 y
47
第二步：根据模拟结构图写出状态方程
1 0 a 0 x K u K x 0 K ( z p) 0 p z p
y 1 0 0 x
42
[例2] 考虑一个含有零点的单输入单输出系统的方块图
u
-
sz s p
K s
1 sa
y
试写出其状态空间表达式。
[解]
第一步：将方块图改画成模拟结构图
43
首先考虑含有零点的模块
sz s p
将其展开成部分分式得：
sz z p 1 s p s p
该模块可以改画为
8.6 线性离散系统的分析
3
8.1 线性系统的状态空间描述
8.1.1 线性系统的状态空间描述 一．状态变量 1．状态变量——足以完全表征系统运动状态的最小个 数的一组变量； 2．一个用阶 微分方程描述的系统，就有 个独立 变量； 3．系统状态变量就是 阶系统的 个独立变量； 4． 阶微分方程式要有唯一确定的解，必须知道 个 独立的初始条件； 5． 个独立的初始条件就是一组状态变量在初始时刻 t 0 时的值。
（8－8）
这就是该系统的另一个状态方程，比较式（8－2）与 （8－8）可知，显然它们是不同的。
23
从理论上来说，并不要求状态变量在物理上一 定是可以测量的量，但是在工程实践中，仍然以选 取那些容易测量的量作为状态变量为宜，因为在最 优控制中，往往要求将状态变量作为反馈量。 下面介绍一般情况。设有一个单输入单输出定 常系统，其状态变量为 x1, x2 ,, xn ， 则状态方程的一般形式为：
29
多输入多输出系统的状态空间表达式用矩阵形 式表示就是：
式中
x
x Ax Bu （8－10） y Cx Du 和 A的意义及形式与单输入单输出系统相同，
R 1 1 (s s )uc ( s ) u (s) L LC LC
2
稍作整理即得式（8－6）。
20
如果要将高阶微分方程或传递函数变换为状态方 程，即分解为多个一阶微分方程，那么此时的状态方 程可以有无穷多种形式，这是由于状态变量的选择可 以有无穷多种的缘故。这种状态变量的非唯一性，归 根到底是由于系统结构的不确定性造成的。 考虑上例的情况，按照式（8－5）或（8－6）， 如果另外选择状态变量，
18
根据式（8－5）可以写出其相应的传递函数为
1 uc ( s ) LC u ( s) s 2 R s 1 L LC
其相应的推导过程如下： 对式（8－5）两边取Laplace变换得
（8－6）
19
R 1 1 s uc ( s ) suc ( s) uc ( s ) u ( s) L LC LC
n
n
n n
n
n
n
4
二．状态向量
x x 如果 n 个状态变量用 x1 (t ) ， 2 (t ) ，…， n (t ) 表示， x (t ) 并把这些状态变量看作是向量 的分量，则 就 称 x (t ) 为状态向量，记作
x(t ) x1(t ) x2 (t ) xn (t )
T
5
三．状态空间
15
在经典控制理论中，用指定某个输出量的高阶 微分方程来描述系统的动态过程，这就可以进一步 得出系统的传递函数描述。 例如，在上例中，在以 uc 作为输出时，从式（8 －1）中消去变量 i ，得到二阶微分方程为
R 1 1 uc u c uc u L LC LC
（8－5）
16
其推导过程如下：
（8－3）
13
这个输出方程可以用矩阵形式表示为
x1 y 1 0 x2
或
yc x
T
（8－4）
式中
c 1 0
T
14
六．状态空间表达式
状态方程和输出方程总合起来，构成对一个系 统完整的动态描述，称为系统的状态空间表达式。 例如在上例中，式（8－2）、（8－4）合称为 一个状态空间表达式。
28
至于输出方程，不仅是状态变量的组合，而且在 特殊情况下，还可能包含输入向量的直接传递关系， 因而有如下的一般形式
y1 c11 x1 c12 x2 c1n xn d11u1 d12u2 d1r ur y2 c21 x1 c22 x2 c2 n xn d 21u1 d 22u2 d 2 r ur ym cm1 x1 cm 2 x2 cmn xn d m1u1 d m 2u2 d mr ur
m n 的输出矩阵，
d11 d12 d d 22 21 D d m1 d m 2
d1r d 2 r 表示 m r 的直接传递矩阵， d mr
32
除特殊申明外，一般情况下均令 D
0。
33
七．状态空间表达式的系统方块图 单输入单输出系统的方块图如图2所示。
用矩阵形式表示，状态空间表达式则为
x Ax bu y cx
x1 x 2 x xn
（8－9）
式中
表示
n 维状态向量，
26
a11 a 21 A an1
a12 a22 an 2
a1n a2 n 表示 n n 的系统矩阵， ann
《自动控制原理》 （下册）
现代控制理论基础
1
哈尔滨工业大学 控制与仿真中心
史小平
2006年12月
2
第八章 线性系统的状态空间分析法
目 录
8.1 线性系统的状态空间描述 8.2 线性系统的运动分析——状态转移矩阵 8.3 线性系统的能控性、能观性及对偶原理 8.4 线性系统的能控规范型和能观规范型 8.5 线性系统的实现
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四．状态方程 由系统的状态变量所构成的一阶常微分方程组称 为系统的状态方程。 举例说明状态方程的列写过程。 图1是一个 R L C 网络，此系统有两个独立的储能元 件，即电容 C 和电感 L ，所以应该有两个状态变量。
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R u + 图1
i L
典型的
C
uc
RLC 电路
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状态变量的选取，原则上是任意的，但是考虑到 电容的储能与其两端的电压 uc 有关，电感的储能与 流经它的电流 i 直接相关，故通常就以 uc 和 i 作 为此系统的两个状态变量。
u
b
+ +
x
x
c
y
A
图2 单输入单输出线性系统方块图
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多输入多输出系统的方块图如图3所示。
D u B + +
x
A
x
C
+ +
y
图3 多输入多输出线性系统方块图
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状态空间表达式是系统的一种完全描述，它既反 映了外部输入输出关系，也反映了内部状态变量与外 部信号的关系。
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8.1.2 线性系统的状态空间表达式的建立
y x1
41
写成向量形式，即得状态空间表达式：
0 x 0 K1 K 4 T1
K3 T3 1 T2 0
0 0 K2 x 0 u T2 K 1 1 T1 T1
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即选择
x1 uc
则
x2 uc
x1 uc x2
1 R 1 x2 uc uc u c u LC L LC
1 R 1 x1 x2 u LC L LC
（8－7）
22
即
0 x 1 LC
1 0 R x 1 u LC L
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x1 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1u x2 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2u xn an1 x1 an 2 x2 ann xn bnu
输出方程则有如下形式：
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y c1x1 c2 x2 cn xn
b11 b12 b b22 21 B bn1 bn 2
b1r b2 r 表示 n r 的输入矩阵， bnr
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c11 c12 c c22 21 C cm1 cm 2
c1n c2 n 表示 cmn
一．根据系统的方块图建立状态空间表达式
[例1] 给定单输入单输出系统的方块图如下
u
-
K1 T1s 1
K2 T2 s 1
K3 T3 s
y
K4
试写出其状态空间表达式。
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[解] 第一步：将方块图改画成模拟结构图
首先考虑一个子模块
K1 T1s 1
改画为
K1 T1 1 s T1
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该子模块的模拟结构图为
x1 0 x 1 2 L 1 0 x1 C 1 u （8－2） R x2 L L
11
并写成矩阵形式， 则状态方程变为
或
x Ax bu
其中
x1 x x2
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z p s p
+
画出原系统的等价方块图如下：
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u
-
z p x3 s p
+
K s
x2
1 sa
x1 y
画出原系统的模拟结构图如下：
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u
-
z p
-
p
x3
+
K
x2
-
a
x1 y
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第二步：根据模拟结构图写出状态方程
1 0 a 0 x K u K x 0 K ( z p) 0 p z p
y 1 0 0 x
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[例2] 考虑一个含有零点的单输入单输出系统的方块图
u
-
sz s p
K s
1 sa
y
试写出其状态空间表达式。
[解]
第一步：将方块图改画成模拟结构图
43
首先考虑含有零点的模块
sz s p
将其展开成部分分式得：
sz z p 1 s p s p
该模块可以改画为
8.6 线性离散系统的分析
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8.1 线性系统的状态空间描述
8.1.1 线性系统的状态空间描述 一．状态变量 1．状态变量——足以完全表征系统运动状态的最小个 数的一组变量； 2．一个用阶 微分方程描述的系统，就有 个独立 变量； 3．系统状态变量就是 阶系统的 个独立变量； 4． 阶微分方程式要有唯一确定的解，必须知道 个 独立的初始条件； 5． 个独立的初始条件就是一组状态变量在初始时刻 t 0 时的值。
（8－8）
这就是该系统的另一个状态方程，比较式（8－2）与 （8－8）可知，显然它们是不同的。
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从理论上来说，并不要求状态变量在物理上一 定是可以测量的量，但是在工程实践中，仍然以选 取那些容易测量的量作为状态变量为宜，因为在最 优控制中，往往要求将状态变量作为反馈量。 下面介绍一般情况。设有一个单输入单输出定 常系统，其状态变量为 x1, x2 ,, xn ， 则状态方程的一般形式为：
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多输入多输出系统的状态空间表达式用矩阵形 式表示就是：
式中
x
x Ax Bu （8－10） y Cx Du 和 A的意义及形式与单输入单输出系统相同，