哈工大《现代控制理论基础》第八章 线性系统的状态空间分析法
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将式（8－1）的第一个方程两边对时间
t
求导数，得
1 uc i C
故有
i Cuc
17
另外由式（8－1）的第一个方程可得
i ห้องสมุดไป่ตู้Cuc
将以上两式代入到式（8－1）的第二个方程得
1 RC 1 Cuc uc uc u L L L
稍作整理即得式（8－5）。
2
R 1 1 (s s )uc ( s ) u (s) L LC LC
2
稍作整理即得式（8－6）。
20
如果要将高阶微分方程或传递函数变换为状态方 程，即分解为多个一阶微分方程，那么此时的状态方 程可以有无穷多种形式，这是由于状态变量的选择可 以有无穷多种的缘故。这种状态变量的非唯一性，归 根到底是由于系统结构的不确定性造成的。 考虑上例的情况，按照式（8－5）或（8－6）， 如果另外选择状态变量，
29
多输入多输出系统的状态空间表达式用矩阵形 式表示就是：
式中
x
x Ax Bu （8－10） y Cx Du 和 A的意义及形式与单输入单输出系统相同，
u1 u 2 u u r
表示
r 维输入向量，
30
y1 y 2 表示 m 维输出向量。 y ym
n
n
n n
n
n
n
4
二．状态向量
x x 如果 n 个状态变量用 x1 (t ) ， 2 (t ) ，…， n (t ) 表示， x (t ) 并把这些状态变量看作是向量 的分量，则 就 称 x (t ) 为状态向量，记作
x(t ) x1(t ) x2 (t ) xn (t )
T
5
三．状态空间
（8－8）
这就是该系统的另一个状态方程，比较式（8－2）与 （8－8）可知，显然它们是不同的。
23
从理论上来说，并不要求状态变量在物理上一 定是可以测量的量，但是在工程实践中，仍然以选 取那些容易测量的量作为状态变量为宜，因为在最 优控制中，往往要求将状态变量作为反馈量。 下面介绍一般情况。设有一个单输入单输出定 常系统，其状态变量为 x1, x2 ,, xn ， 则状态方程的一般形式为：
24
x1 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1u x2 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2u xn an1 x1 an 2 x2 ann xn bnu
输出方程则有如下形式：
25
y c1x1 c2 x2 cn xn
K1 T1
-
1 T1
39
整个系统的模拟结构图为
u
-
K1 T1
-
1 T1
x3
K2 T2
-
1 T2
x2
K3 T3
x1 y
K4
40
第二步：根据模拟结构图写出状态方程
K3 x1 x2 T3 K2 1 x2 x2 x3 T2 T2 K1K 4 K1 1 x3 x3 x1 u T1 T1 T1
b11 b12 b b22 21 B bn1 bn 2
b1r b2 r 表示 n r 的输入矩阵， bnr
31
c11 c12 c c22 21 C cm1 cm 2
c1n c2 n 表示 cmn
x1 0 x 1 2 L 1 0 x1 C 1 u （8－2） R x2 L L
11
并写成矩阵形式， 则状态方程变为
或
x Ax bu
其中
x1 x x2
（8－3）
13
这个输出方程可以用矩阵形式表示为
x1 y 1 0 x2
或
yc x
T
（8－4）
式中
c 1 0
T
14
六．状态空间表达式
状态方程和输出方程总合起来，构成对一个系 统完整的动态描述，称为系统的状态空间表达式。 例如在上例中，式（8－2）、（8－4）合称为 一个状态空间表达式。
x x 以状态变量 x1 (t ) ， 2 (t ) ，…， n (t ) 为坐标轴所构 成的 n 维空间，称为状态空间。
在特定时刻 t ，状态向量 x(t ) 在状态空间中是 一点。已知初始时刻 t 0 的状态向量 x (t0 ) ，就得到 状态空间中的一个初始点。随着时间的推移，x(t ) 将 在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨线。
一．根据系统的方块图建立状态空间表达式
[例1] 给定单输入单输出系统的方块图如下
u
-
K1 T1s 1
K2 T2 s 1
K3 T3 s
y
K4
试写出其状态空间表达式。
37
[解] 第一步：将方块图改画成模拟结构图
首先考虑一个子模块
K1 T1s 1
改画为
K1 T1 1 s T1
38
该子模块的模拟结构图为
15
在经典控制理论中，用指定某个输出量的高阶 微分方程来描述系统的动态过程，这就可以进一步 得出系统的传递函数描述。 例如，在上例中，在以 uc 作为输出时，从式（8 －1）中消去变量 i ，得到二阶微分方程为
R 1 1 uc u c uc u L LC LC
（8－5）
16
其推导过程如下：
b1 b 2 表示 n 1的输入矩阵。 b bn
27
对于一个复杂系统，具有 此时状态方程变为
m r 个输入， 个输出，
x1 a11 x1 a12 x2 a1n xn b11u1 b12u2 b1r ur x2 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b21u1 b22u2 b2 r ur xn an1 x1 an 2 x2 ann xn bn1u1 bn 2u2 bnr ur
21
即选择
x1 uc
则
x2 uc
x1 uc x2
1 R 1 x2 uc uc u c u LC L LC
1 R 1 x1 x2 u LC L LC
（8－7）
22
即
0 x 1 LC
1 0 R x 1 u LC L
9
根据电路理论，很容易写出两个含有状态变量的 一阶微分方程组
duc C i dt
di L Ri uc u dt
亦即
1 uc C i i 1 u R i 1 u c L L L
（8－1）
10
式（8－1）就是图示系统的状态方程， 令
x1 uc x2 i
y 1 0 0 x
42
[例2] 考虑一个含有零点的单输入单输出系统的方块图
u
-
sz s p
K s
1 sa
y
试写出其状态空间表达式。
[解]
第一步：将方块图改画成模拟结构图
43
首先考虑含有零点的模块
sz s p
将其展开成部分分式得：
sz z p 1 s p s p
该模块可以改画为
u
b
+ +
x
x
c
y
A
图2 单输入单输出线性系统方块图
34
多输入多输出系统的方块图如图3所示。
D u B + +
x
A
x
C
+ +
y
图3 多输入多输出线性系统方块图
35
状态空间表达式是系统的一种完全描述，它既反 映了外部输入输出关系，也反映了内部状态变量与外 部信号的关系。
36
8.1.2 线性系统的状态空间表达式的建立
28
至于输出方程，不仅是状态变量的组合，而且在 特殊情况下，还可能包含输入向量的直接传递关系， 因而有如下的一般形式
y1 c11 x1 c12 x2 c1n xn d11u1 d12u2 d1r ur y2 c21 x1 c22 x2 c2 n xn d 21u1 d 22u2 d 2 r ur ym cm1 x1 cm 2 x2 cmn xn d m1u1 d m 2u2 d mr ur
8.6 线性离散系统的分析
3
8.1 线性系统的状态空间描述
8.1.1 线性系统的状态空间描述 一．状态变量 1．状态变量——足以完全表征系统运动状态的最小个 数的一组变量； 2．一个用阶 微分方程描述的系统，就有 个独立 变量； 3．系统状态变量就是 阶系统的 个独立变量； 4． 阶微分方程式要有唯一确定的解，必须知道 个 独立的初始条件； 5． 个独立的初始条件就是一组状态变量在初始时刻 t 0 时的值。
用矩阵形式表示，状态空间表达式则为
x Ax bu y cx
x1 x 2 x xn
（8－9）
式中
表示
n 维状态向量，
26
a11 a 21 A an1
a12 a22 an 2
a1n a2 n 表示 n n 的系统矩阵， ann
y x1
41
写成向量形式，即得状态空间表达式：
0 x 0 K1 K 4 T1
K3 T3 1 T2 0
0 0 K2 x 0 u T2 K 1 1 T1 T1
m n 的输出矩阵，
d11 d12 d d 22 21 D d m1 d m 2
d1r d 2 r 表示 m r 的直接传递矩阵， d mr
32
除特殊申明外，一般情况下均令 D
0。
33
七．状态空间表达式的系统方块图 单输入单输出系统的方块图如图2所示。
6
四．状态方程 由系统的状态变量所构成的一阶常微分方程组称 为系统的状态方程。 举例说明状态方程的列写过程。 图1是一个 R L C 网络，此系统有两个独立的储能元 件，即电容 C 和电感 L ，所以应该有两个状态变量。
7
R u + 图1
i L
典型的
C
uc
RLC 电路
8
状态变量的选取，原则上是任意的，但是考虑到 电容的储能与其两端的电压 uc 有关，电感的储能与 流经它的电流 i 直接相关，故通常就以 uc 和 i 作 为此系统的两个状态变量。
0 A 1 L
1 C R L
0 b 1 L
12
五．输出方程
在系统指定输出的情况下，该输出与状态变量间 的函数关系式，称为系统的输出方程。
在上例中，如果系统指定 则（输出一般用
x1 uc 作为输出，
y
表示）有
y uc
或
y x1
44
z p s p
+
画出原系统的等价方块图如下：
45
u
-
z p x3 s p
+
K s
x2
1 sa
x1 y
画出原系统的模拟结构图如下：
46
u
-
z p
-
p
x3
+
K
x2
-
a
x1 y
47
第二步：根据模拟结构图写出状态方程
1 0 a 0 x K u K x 0 K ( z p) 0 p z p
18
根据式（8－5）可以写出其相应的传递函数为
1 uc ( s ) LC u ( s) s 2 R s 1 L LC
其相应的推导过程如下： 对式（8－5）两边取Laplace变换得
（8－6）
19
R 1 1 s uc ( s ) suc ( s) uc ( s ) u ( s) L LC LC
《自动控制原理》 （下册）
现代控制理论基础
1
哈尔滨工业大学 控制与仿真中心
史小平
2006年12月
2
第八章 线性系统的状态空间分析法
目 录
8.1 线性系统的状态空间描述 8.2 线性系统的运动分析——状态转移矩阵 8.3 线性系统的能控性、能观性及对偶原理 8.4 线性系统的能控规范型和能观规范型 8.5 线性系统的实现
t
求导数，得
1 uc i C
故有
i Cuc
17
另外由式（8－1）的第一个方程可得
i ห้องสมุดไป่ตู้Cuc
将以上两式代入到式（8－1）的第二个方程得
1 RC 1 Cuc uc uc u L L L
稍作整理即得式（8－5）。
2
R 1 1 (s s )uc ( s ) u (s) L LC LC
2
稍作整理即得式（8－6）。
20
如果要将高阶微分方程或传递函数变换为状态方 程，即分解为多个一阶微分方程，那么此时的状态方 程可以有无穷多种形式，这是由于状态变量的选择可 以有无穷多种的缘故。这种状态变量的非唯一性，归 根到底是由于系统结构的不确定性造成的。 考虑上例的情况，按照式（8－5）或（8－6）， 如果另外选择状态变量，
29
多输入多输出系统的状态空间表达式用矩阵形 式表示就是：
式中
x
x Ax Bu （8－10） y Cx Du 和 A的意义及形式与单输入单输出系统相同，
u1 u 2 u u r
表示
r 维输入向量，
30
y1 y 2 表示 m 维输出向量。 y ym
n
n
n n
n
n
n
4
二．状态向量
x x 如果 n 个状态变量用 x1 (t ) ， 2 (t ) ，…， n (t ) 表示， x (t ) 并把这些状态变量看作是向量 的分量，则 就 称 x (t ) 为状态向量，记作
x(t ) x1(t ) x2 (t ) xn (t )
T
5
三．状态空间
（8－8）
这就是该系统的另一个状态方程，比较式（8－2）与 （8－8）可知，显然它们是不同的。
23
从理论上来说，并不要求状态变量在物理上一 定是可以测量的量，但是在工程实践中，仍然以选 取那些容易测量的量作为状态变量为宜，因为在最 优控制中，往往要求将状态变量作为反馈量。 下面介绍一般情况。设有一个单输入单输出定 常系统，其状态变量为 x1, x2 ,, xn ， 则状态方程的一般形式为：
24
x1 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1u x2 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2u xn an1 x1 an 2 x2 ann xn bnu
输出方程则有如下形式：
25
y c1x1 c2 x2 cn xn
K1 T1
-
1 T1
39
整个系统的模拟结构图为
u
-
K1 T1
-
1 T1
x3
K2 T2
-
1 T2
x2
K3 T3
x1 y
K4
40
第二步：根据模拟结构图写出状态方程
K3 x1 x2 T3 K2 1 x2 x2 x3 T2 T2 K1K 4 K1 1 x3 x3 x1 u T1 T1 T1
b11 b12 b b22 21 B bn1 bn 2
b1r b2 r 表示 n r 的输入矩阵， bnr
31
c11 c12 c c22 21 C cm1 cm 2
c1n c2 n 表示 cmn
x1 0 x 1 2 L 1 0 x1 C 1 u （8－2） R x2 L L
11
并写成矩阵形式， 则状态方程变为
或
x Ax bu
其中
x1 x x2
（8－3）
13
这个输出方程可以用矩阵形式表示为
x1 y 1 0 x2
或
yc x
T
（8－4）
式中
c 1 0
T
14
六．状态空间表达式
状态方程和输出方程总合起来，构成对一个系 统完整的动态描述，称为系统的状态空间表达式。 例如在上例中，式（8－2）、（8－4）合称为 一个状态空间表达式。
x x 以状态变量 x1 (t ) ， 2 (t ) ，…， n (t ) 为坐标轴所构 成的 n 维空间，称为状态空间。
在特定时刻 t ，状态向量 x(t ) 在状态空间中是 一点。已知初始时刻 t 0 的状态向量 x (t0 ) ，就得到 状态空间中的一个初始点。随着时间的推移，x(t ) 将 在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨线。
一．根据系统的方块图建立状态空间表达式
[例1] 给定单输入单输出系统的方块图如下
u
-
K1 T1s 1
K2 T2 s 1
K3 T3 s
y
K4
试写出其状态空间表达式。
37
[解] 第一步：将方块图改画成模拟结构图
首先考虑一个子模块
K1 T1s 1
改画为
K1 T1 1 s T1
38
该子模块的模拟结构图为
15
在经典控制理论中，用指定某个输出量的高阶 微分方程来描述系统的动态过程，这就可以进一步 得出系统的传递函数描述。 例如，在上例中，在以 uc 作为输出时，从式（8 －1）中消去变量 i ，得到二阶微分方程为
R 1 1 uc u c uc u L LC LC
（8－5）
16
其推导过程如下：
b1 b 2 表示 n 1的输入矩阵。 b bn
27
对于一个复杂系统，具有 此时状态方程变为
m r 个输入， 个输出，
x1 a11 x1 a12 x2 a1n xn b11u1 b12u2 b1r ur x2 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b21u1 b22u2 b2 r ur xn an1 x1 an 2 x2 ann xn bn1u1 bn 2u2 bnr ur
21
即选择
x1 uc
则
x2 uc
x1 uc x2
1 R 1 x2 uc uc u c u LC L LC
1 R 1 x1 x2 u LC L LC
（8－7）
22
即
0 x 1 LC
1 0 R x 1 u LC L
9
根据电路理论，很容易写出两个含有状态变量的 一阶微分方程组
duc C i dt
di L Ri uc u dt
亦即
1 uc C i i 1 u R i 1 u c L L L
（8－1）
10
式（8－1）就是图示系统的状态方程， 令
x1 uc x2 i
y 1 0 0 x
42
[例2] 考虑一个含有零点的单输入单输出系统的方块图
u
-
sz s p
K s
1 sa
y
试写出其状态空间表达式。
[解]
第一步：将方块图改画成模拟结构图
43
首先考虑含有零点的模块
sz s p
将其展开成部分分式得：
sz z p 1 s p s p
该模块可以改画为
u
b
+ +
x
x
c
y
A
图2 单输入单输出线性系统方块图
34
多输入多输出系统的方块图如图3所示。
D u B + +
x
A
x
C
+ +
y
图3 多输入多输出线性系统方块图
35
状态空间表达式是系统的一种完全描述，它既反 映了外部输入输出关系，也反映了内部状态变量与外 部信号的关系。
36
8.1.2 线性系统的状态空间表达式的建立
28
至于输出方程，不仅是状态变量的组合，而且在 特殊情况下，还可能包含输入向量的直接传递关系， 因而有如下的一般形式
y1 c11 x1 c12 x2 c1n xn d11u1 d12u2 d1r ur y2 c21 x1 c22 x2 c2 n xn d 21u1 d 22u2 d 2 r ur ym cm1 x1 cm 2 x2 cmn xn d m1u1 d m 2u2 d mr ur
8.6 线性离散系统的分析
3
8.1 线性系统的状态空间描述
8.1.1 线性系统的状态空间描述 一．状态变量 1．状态变量——足以完全表征系统运动状态的最小个 数的一组变量； 2．一个用阶 微分方程描述的系统，就有 个独立 变量； 3．系统状态变量就是 阶系统的 个独立变量； 4． 阶微分方程式要有唯一确定的解，必须知道 个 独立的初始条件； 5． 个独立的初始条件就是一组状态变量在初始时刻 t 0 时的值。
用矩阵形式表示，状态空间表达式则为
x Ax bu y cx
x1 x 2 x xn
（8－9）
式中
表示
n 维状态向量，
26
a11 a 21 A an1
a12 a22 an 2
a1n a2 n 表示 n n 的系统矩阵， ann
y x1
41
写成向量形式，即得状态空间表达式：
0 x 0 K1 K 4 T1
K3 T3 1 T2 0
0 0 K2 x 0 u T2 K 1 1 T1 T1
m n 的输出矩阵，
d11 d12 d d 22 21 D d m1 d m 2
d1r d 2 r 表示 m r 的直接传递矩阵， d mr
32
除特殊申明外，一般情况下均令 D
0。
33
七．状态空间表达式的系统方块图 单输入单输出系统的方块图如图2所示。
6
四．状态方程 由系统的状态变量所构成的一阶常微分方程组称 为系统的状态方程。 举例说明状态方程的列写过程。 图1是一个 R L C 网络，此系统有两个独立的储能元 件，即电容 C 和电感 L ，所以应该有两个状态变量。
7
R u + 图1
i L
典型的
C
uc
RLC 电路
8
状态变量的选取，原则上是任意的，但是考虑到 电容的储能与其两端的电压 uc 有关，电感的储能与 流经它的电流 i 直接相关，故通常就以 uc 和 i 作 为此系统的两个状态变量。
0 A 1 L
1 C R L
0 b 1 L
12
五．输出方程
在系统指定输出的情况下，该输出与状态变量间 的函数关系式，称为系统的输出方程。
在上例中，如果系统指定 则（输出一般用
x1 uc 作为输出，
y
表示）有
y uc
或
y x1
44
z p s p
+
画出原系统的等价方块图如下：
45
u
-
z p x3 s p
+
K s
x2
1 sa
x1 y
画出原系统的模拟结构图如下：
46
u
-
z p
-
p
x3
+
K
x2
-
a
x1 y
47
第二步：根据模拟结构图写出状态方程
1 0 a 0 x K u K x 0 K ( z p) 0 p z p
18
根据式（8－5）可以写出其相应的传递函数为
1 uc ( s ) LC u ( s) s 2 R s 1 L LC
其相应的推导过程如下： 对式（8－5）两边取Laplace变换得
（8－6）
19
R 1 1 s uc ( s ) suc ( s) uc ( s ) u ( s) L LC LC
《自动控制原理》 （下册）
现代控制理论基础
1
哈尔滨工业大学 控制与仿真中心
史小平
2006年12月
2
第八章 线性系统的状态空间分析法
目 录
8.1 线性系统的状态空间描述 8.2 线性系统的运动分析——状态转移矩阵 8.3 线性系统的能控性、能观性及对偶原理 8.4 线性系统的能控规范型和能观规范型 8.5 线性系统的实现