《自动控制原理》第九章 线性系统的状态空间分析与综合
自动控制原理第九章
9-1-3 可观测性的基本概念
考虑线性时变系统,u(t)=0：
x(t ) A(t )x(t ) y (t ) C(t )x(t )
设：初始时刻t0；初始状态x(t0)；时间定义区间：Tt=(t0，t)
在有限时间(t0→t1)内，能由输出y(t) (t↔Tt)唯一确定初态值x(t0), 则称系统在[t0，t1]内是完全可观测的。简称可观测。 若对所有 tf > t0，系统均可观测，则称系统在[t0 ,∞)内完全可观测， 简称系统完全可观测。 若不能由y(t)(t↔Tt)唯一确定所有状态x(t0),则称系统不完全可观测， 简称不可观测。
可观性——系统内部所有变量的运动能由y来反映，即y ~x的关系。
例9-1 x 1 0
y c 1 0 b1 x u 2 b 2
U(s) b1
sX1 1/s -λ1 b2 sX2 1/s -λ2 X1 c1 Y(s)
c 2 x
若系统在所有时刻可控，称为系统是一致可控的。
3）系统不完全可控 状态空间中存在一个或一些非零状态在t0时刻是不可控的。
4
几点说明: ①要求（t0，t1）是有限时间间隔；对转移的形式和路线没有要求， 即可控性表征系统运动的一个定性的特性； ②关于u(t)：对u(t)的幅值没有限制，但要求必须是容许控制，即：
当 R1 R 2 , 且C1 C2 时， rankS=2=n，系统可控 当R1 R 2 , 且C1 C2 时， rankS=1<n，系统不可控
x R 由电路图可知： 1 R 2 , C1 C2时， 1 x 2
i2 i1 C
1
x1
i4 i3 C2x =y 2
即不能通过u使x1,x2到达任意状态。
考研必备之自动化专业自控原理第九章状态空间分析法答案
F(t) k i (z y)m ,z935.1已知机械系统如图 9-7所示，m 「m 2为质量块，m ,受外力F(t)作用。
弹簧的弹性系数如图示,如不计摩擦，自选一定数目的状态变量，建立系统的状态空间描述。
提示：设中间变量质量块mi 的位移为Z ，根据牛顿定律有同理对质量块m 2有k 1(z y)k 2y m 2y②设状态变量X 1z x 2 z X 1 X 3y X 4 y X 3由式①x 2 zk 1 X 1k 1 F(t) X 3m 1m 1m 1由式②X 4 yk 1X 1 k 1k 2 X 3m 2m 2因此有0 10 1X 1 k 1k1X 1 X 1 X 2 X 3 叶0 0 m10 k ? 1 X 2X 3 m 1 F(t) y 0 00 X 2 1 0 2X 3 k 1 0k 1 0 X 4m 2m2X 4X 49.3.5.2 已知系统结构图 如图 9-8 所示。
试写出系统的状态方程和输出方程 (要求与成矢量形式)X 2 1 X 1 y—a ------------------------ r * s 22 10 XX u提示： 2 1 11 Ox图 9-7 题 9.3.5.1(1) y 5y 7y 3y u 6u 8u (2) y 5y 7y3y u 3u 2u0 1 00 提示: (1) x0 0 1 x0 u，状态结构图略3751y 8 6 1 x935.3 已知系统的微分方程，试建立其相应的状态空间描述，并画出相应的状态结构图。
构图略。
0 1 0 0⑵x0 01 x 0 u，状态结3 7 5 1y145 x u9.3.5.4判断下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的 A 阵。
1 0 0 (1)①(t) 0 sin t cost 0 cost sin t 提示：(1)不是状态转移矩阵，因为①(0) I 。
(2) 1 2t-(1 e ) 22te9.3.5.5 9.3.5.6 (2)是。
《自动控制原理》线性定常连续系统状态方程的解
2
k!
= P −1IP + P −1 APt + 1 P −1 A2 Pt 2 + + 1 P −1 Ak Pt k +
2
k!
= P −1 (I + At + 1 A2t 2 + + 1 Ak t k + )P = P −1e At P
2
k!
因而式（9-39）成立。
性质10: 两种常见的状态转移矩阵。设 A = diag[1, 2 ,,n ]，
2. 拉普拉斯变换法。将式（9-22）取拉氏变换有
sX (s) = AX (s) + x(0)
则
(sI − A) X (s) = x(0)
X (s) = (sI − A)−1 x(0)
（9-27）
进行拉氏反变换有
x(t) = −1[(sI − A)−1]x(0)
（9-28）
与（9-25）相比有
e At = −1[(sI − A)−1 ]
进行拉氏反变换有 x(t) = −1(sI − A)−1 x(0) + −1[(sI − A)−1 BU (s)]
由拉氏变换卷积定理
−1[F1(s)F2 (s)] =
t
0 f1 (t − ) f2 ( )d
=
t
0 f1 ( ) f2 (t − )d
在此将(sI − A)−1 视为F1 (s)，将BU (s) 视为 F2 (s) ，则有
x(t) = eA(t) x(0) + t eA(t− )Bu( )d 0 t = (t)x(0) + 0 (t − )Bu( )d
结果与式（9－43）相同。上式又可表示为
自动控制原理第9章
t
x (t ) = e x (0) + ∫ e A( t −τ ) Bu (τ )dτ
0
从式(9.7)可以看出, 系统的动态响应由两部分组成: 一部分 由状态初始值x(0)引起, 叫做零输入响应; 另一部分由输入信号 u(t)引起, 叫做零状态响应。
第九章 状态空间系统响应、可控性与可观性
(9.4)
状态方程是一阶微分方程组, 它的求解方法和解的形式都与 标量一阶微分方程相似。标量一阶微分方程的齐次方程为
x(t)=ax(t), x(0)=x0
第九章 状态空间系统响应、可控性与可观性 其解为
x(t)=eatx(0)
其中, 指数函数eat可以展成如下无穷级数形式:
∞ 1 22 1 k k 1 k k at e = 1 + at + a t + ⋯ + a t + ⋯ = ∑ a t 2! k! k = 0 k!
−t
−t
第九章 状态空间系统响应、可控性与可观性 9.1.2 状态方程的解 通过求解系统的状态方程, 可以获取系统中状态变量随时 间的变化情况, 即系统的状态响应。 已知线性定常连续系统状态方程的一般形式为
ɺ x (t ) = Ax (t ) + Bu(t ), x (0) = x0
状态变量的初始值为x0, 控制作用为u(t)。
ɺ x (t ) = Ax (t ), x (0) = x0
对上式进行拉氏变换, 则有
(9.9)
sX ( s ) − x (0) = AX ( s )
从而有
X ( s ) = ( sI − A) −1 x (0)
(9.10)
第九章 状态空间系统响应、可控性与可观性 对式(9.10)求拉氏反变换, 得
自动控制原理第九章状态空间分析方法资料
xn an1x1 an2 x2 ann xn bn1u1 bnpu p
x1 , x2 , , xn 为状态变量；
u1 , u 2 , , u p
y1 , y2 , , yq
为输入量； 为输出变量。
矩阵形式：
x Ax Βu
1 C
i(t)dt
图9-2 RLC网络
选择状态变量
x1(t) i(t) x2 (t) i(t)dt
则有
x1
R L
x1
1 LC
x2
1 L
e
x2 x1
写成 输出
R
x
L
1 CL
x
1 L
u
1 0 0
y (t )
c(t )
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一、状态空间的基本概念
状态：动力学系统的状态可以定义为信息的集合。
已知 t0 时状态，t t0 时的输入，可确定 t t0
时任一变量的运动状况。
： 状态变量 确定动力学系统状态的最小一组变
量
x。1(t),, xn (t)
状态向量：
x1 t
x2
t
如果完全描述一个给定系统的动 态行为需要n个状态变量，那么状态 向量定义为X(t)
式中
a11 a12 a1n
b11 b12 b1p
A a21
a22
a2n
B b21
b22
b2
p
石群自动控制原理(第9章)完整版
第九章线性系统的状态空间分析与综合9-1 线性系统的状态空间描述9-2 线性系统的可控性与可观性9-3 线性定常系统的反馈结构及状态观测器9-4 李雅普诺夫稳定性分析9-5 控制系统状态空间设计9凯莱-哈密顿定理设n 阶矩阵A 的特征多项式：则A 满足其特征方程，即推论1 矩阵A 的次幂可表示为A 的n-1阶多项式：式中与A 阵的元素有关。
1110()n n n f I A a a a λλλλλ−−=−=++++ 1110()n n n f A A a A a A a I−−=++++ ()k k n ≥10 , n k mm m A A k n α−==≥∑m α9秩判据线性定常连续系统：其状态完全可控的充分必要条件是：其中，A 为n 维方阵；称为系统的可控性判别阵。
0()()(), (0), 0xt Ax t Bu t x x t =+=≥ 1n rank B AB A B n −⎡⎤=⎣⎦1 n S B AB A B −⎡⎤=⎣⎦9PBH 秩判据线性定常连续系统：其状态完全可控的充分必要条件是：式中，是矩阵A 的所有特征值。
另一种等价描述为：说明：因为这个判据是由波波夫(Popov ) 和贝尔维奇(Belevitch ) 首先提出，并由豪塔斯(Hautus ) 最先指出其可广泛应用性，故称为PBH 秩判据。
0()()(), (0), 0xt Ax t Bu t x x t =+=≥ (1,2,,)i i n λ= [] ; 1,2,,i rank I A B n i nλ−== [] ; rank sI A B n s C−=∀∈9对角线规范型判据线性定常连续系统：矩阵A 的特征值两两相异，变为对角线规范型：系统完全可控的充要条件不包含元素全为零的行12,,,n λλλ 12 0 0 n x x Bu λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 0()()(), (0), 0xt Ax t Bu t x x t =+=≥ B4. 输出可控性如果系统需要控制的是输出量，而不是状态，则需要研究系统的输出可控性。
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第九章 状态空间系统响应、可控性与可观性 图 9-3 电路系统
第九章 状态空间系统响应、可控性与可观性
解 根据基尔霍夫电流定律，可以得到a、b和c三个节点 处的电流关系分别为
第九章 状态空间系统响应、可控性与可观性
可把上式表示为如下两个一阶微分方程:
u2
(t)
1 C
i(t)i(t )来自1 Lu2 (t)
R L
i(t)
1 L
u1 (t )
取状态变量x1=u2(t)，x2=i(t)，则系统的状态方程为
输出方程
x1
1 C
x2
描x述2 系 统 L1输x出1 量RL与x状2 态 变L1 量u1 间的函数关系式，
通常，对于单变量系统，状态方程习惯写成如下形式:
x1 a11x1 a12x2 a1n xn b1u x2 a21x1 a22x2 a2n xn b2u xn an1x1 an2 x2 ann xn bnu
(9.1)
输出方程为
y=c1x1+c2x2+…+cnxn+du 写成矩阵向量形式为
x1 x2
1
L
0
u
第九章 状态空间系统响应、可控性与可观性
若指定角速度ω为输出，则系统的输出方程为
y x2 0
1
x1 x2
若指定机械旋转部分转角θ为输出，则系统需增加一个
状态量x3=θ，并且有
x3 x2
(9.2)
x Ax Bu
y
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则系统约当型状态方程为
9-8 已知矩阵
试求 A 的特征方程、特征值、特征向量，并求出变换矩阵将 A 对角化。 解：A 的特征方程为 则 A 的特征值为 特征向量为
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使 A 对角化矩阵为
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9-12 已知线性系统状态转移矩阵
试求该系统的状态阵 A 。
解：该系统的状态阵 A 为
9-13 已知系统状态方程 试求系统传递函数 G（s）。
解：由式 G s c sI A1 b 可得系统传递函数为
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第 9 章 线性系统的状态空间分析与综合 9-1 已知电枢控制的直流伺服电机的微分方程组及传递函数为
（1）设状态变量
输出量 y=θm，试建立其动态方程；
（2）设状态变量
试建立其动态方程；
确定两组状态变量间的变换矩阵 T。
6S 4S
8 3
1
2S 5 S2 4S
3
1
3 2
1 1 S 1 2
1 S 3
其可控标准型为
由对偶原理知其可观标准型为
对角型为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
9-7 已知系统传递函数
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试求约当型（A 为约当阵）动态方程。 解：设传递函数分解为部分分式
解：由系统结构图可知
图 9-3 系统结构图
整理得系统动态方程为
变换形式可得系统动态方程为
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自动控制原理第9章 习题及解析
第9章 习题参考答案9-1 设一阶非线性系统的微分方程为3x x x =-+试确定系统有几个平衡状态，分析各平衡状态的稳定性，并作出系统的相轨迹。
解 3x x x =-+由30x x -+=解得1230, 1, 1e e e x x x ===-。
作出系统的相轨迹图如下：平衡状态(0, 0)稳定，平衡状态(1, 0), (1, 0)-不稳定。
9-2 已知非线性系统的微分方程为(1) 320x x x ++= (2) 0x xx x ++= (3) 0x x x ++= (4) 2(1)0x x x x --+= 试确定系统的奇点及其类型，并概略绘制系统的相轨迹图。
解 (1) 奇点(0, 0)。
特征方程为2320λλ++=两个特征根为1,21, 2λ=--平衡点(0, 0)为稳定节点。
在奇点附近的概略相轨迹图：x(2) 奇点(0, 0)。
在平衡点(0, 0)的邻域内线性化，得到的线性化模型为0x x +=其特征方程为210λ+=两个特征根为1,2j λ=±平衡点(0, 0)为中心点。
在奇点附近的概略相轨迹图：x(3) 奇点(0, 0)。
原方程可改写为0000x x x x x x x x ++=≥⎧⎨+-=<⎩其特征方程、特征根和类型为21,221,2100.50.866 10 1.618, 0.618 j λλλλλλ⎧++==-±⎪⎨+-==-⎪⎩稳定焦点鞍点 在奇点附近的概略相轨迹图：(4) 奇点(0, 0)。
在平衡点(0, 0)的邻域内线性化，得到的线性化模型为x x x-+=其特征方程为210λλ-+=两个特征根为1,20.50.866jλ=±平衡点(0, 0)为不稳定焦点。
在奇点附近的概略相轨迹图：xx9-3 非线性系统的结构图如图9-48所示。
系统开始是静止的，输入信号r(t)＝4·1(t)，试写出开关线方程，确定奇点的位置和类型，在e-e平面上画出该系统的相平面图，并分析系统的运动特点。
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具有非正（负或零）实部，且具有零实部的特征值为 A 的最小多项式单根。
（2）系统的唯一平衡状态 xe＝0 是渐近稳定的充分必要条件：A 的所有特征根均具有
3．线性定常连续系统状态方程的解 （1）齐次方程求解方法：幂级数法；拉普拉斯变换法。 （2）非齐次方程求解方法：积分法；拉普拉斯变换法。
4．传递函数矩阵 表达式：G（s）＝C（sI－A）－1B＋D
二、线性系统的可控性与可观测性 1．可控性 如果系统的每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制，而由任意的始点达到原点， 则该系统是完全可控系统，简称为系统可控。 （1）可控标准形
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的任意初始态 x0 出发的运动轨迹 x（t；x0，t0），在 t→∞都满足：||x（t；x0，t0）－xe||≤ε，
t≥t0，则称 xe 是李雅普诺夫意义下稳定的。
（3）渐近稳定
系统不仅满足李氏意义下的稳定，且
（2）可观测性判据
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胡寿松《自动控制原理》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解2
6-2 设单位反馈 统 开环 函 为
试设计 联 前校正装置， 统满
（1） 角裕度r≥45°；
（2） 单位
入下 态 差
下 标：
（3）截止频率ωc≥7.5rad／s。
解： 开环
取
则开环 函 为：
令
，解得校正前
rad/s
则校正前 角裕度为：
不 合题 要求，
前校正。
取
rad/s，可得：
，可得：
则 前校正环节 校正后 统开环 其 角裕度为
统性能得：
3．某 反馈 统开环 函
合要求。
（1）求 统 角裕度 幅 裕度。
（2） 角裕度
联 前校正 联滞后校正 主要特点。为 统
，试分 统应
联 前校正还 联滞后校正?
[
技 2009 ]
解：（1）求截止频率与
裕度：
求幅 裕度：
（2）要 节 校正。
统 角裕度
，
前校正，则需要校正环
不合
前校正，可以
联滞后
为 习重点， 此，本 分也就没
考 题。
第二部分 课后习题
第6章 线性系统的校正方法
6-1 设 单位反馈 火炮
统，其开环 函 为
若要求 统最 2°，试求：
出速度为12°/s， 出位置
许 差小
（1） 满 上 幅 裕度；
标 最小K ，计 该K 下 统
角裕度
（2） 前
前校正网络
计 校正后 统 能影。
角裕度 幅 裕度，
解：（1） 题可
则 统 特征表 式为
统特征 为：
令
，则
则
可得：
所以 统 状态 应为
（2）求 统 出范 最小 刻t
线性定常系统的状态空间分析与综合2
从系统的机理出发
例 建立如右图所示机械系统的状
态空间表达式，并画出系统的状态图。
k F
根据牛顿第二定理有
m
或表示成
F ky f dy m d 2 y
dt
dt 2
d 2 y dy m dt2 f dt ky F
y f
机械位移系统
选择位移 y 和速度dy / dt为状态变量，令 x1 y, x2 dy / dt
同一个系统，状态变量的选取不是惟一的。 对于一般的物理系统，状态变量的个数应等于储能元 件的个数。
基本概念
用状态变量来表征系统时，还有如下基本概念：
状态向量 把描述系统的 n个状态变量 x1(t), x2 (t), , xn (t) 看作向
量x(t) 的分量，则x(t) 称为 n 维状态向量，记作
状态空间
x1(t)
x1
x(t
)
x2
(t
),
简记为
x
x2
xn
(t
)
xn
以状态变量 x1, x2, , xn为坐标轴所张成的n维空间，
称为状态空间。系统在任意时刻的状态，在状态空间中是一个
点，随时间推移，状态在变化，在状态空间中绘出一条轨迹，
称为状态轨线。
基本概念
状态方程 由系统的状态变量构成的一阶微分方程组，
则
x&1
x2
,
x&2
k m
x1
f m
x2
1 m
F,
y
x1
从系统的机理出发
用向量—矩阵表示的状态空间表达式为
x&1 x&2
0
k
m
1 f
《自动控制原理》系统数学描述的两种基本类型
线性定常系统 在线性系统的状态空间表达式中，若系数矩阵 A(t), B(t),C(t), D(t)或 G(k), H (k),C(k), D(k) 的各元素都是常数，则称该系 统为线性定常系统，否则为线性时变系统。线性定常系统状态空间 表达式的一般形式为
.
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
应注意到在向量、矩阵的乘法运算中，相乘顺序不允许任意颠倒。
状态空间分析法 在状态空间中以状态向量或状态变量描述系 统的方法称为状态空间分析法或状态变量法。
状态空间分析法的优点是便于采用向量、矩阵记号简化数学描 述，便于在数字机上求解，容易考虑初始条件，能了解系统内部状 态的变化特性，适用于描述时变、非线性、连续、离散、随机、多 变量等各类系统，便于应用现代设计方法实现最优控制、自适应控 制等。
这里所谓的系统是指由一些相互制约的部分构成的整体，它可 能是一个由反馈闭合的整体，也可能是某一控制装置或受控对象。 本章中所研究的系统均假定具有若干输入端和输出端，如图9-1所 示。图中方块以外的部分为系统环境，环境对系统的作用为系统输
T
入，系统对环境的作用为系统输出；二者分别用向量u = [u1,u2 ,...,u p ] 和y = [ y1, y2 ,..., yq ] T表示 ，它们均为系统的外部变量。描述系统内部 每个时刻所处状况的变量为系统的内部变量，以向量 x = [x1, x2 ,..., xn ] T 表示。系统的数学描述是反映系统变量间因果关系和变换关系的一 种数学模型。
《自动控制原理》线性系统的状态空间描述
s
s
0 +
1
=
Gc11 (s) Gc21 (s)
5s
Gc12 (s) Gc22 (s)
式中 Gcij (s) 表示U j (s) 至 Yi (s)(i, j = 1,2) 通道的串联补偿器传递函数。可
以验证这种解耦系统的开环传递矩阵Gp (s)Gc (s) 为对角阵：
1
Gp
(s)Gc
(s)
=
=
1+
(s + 1) 1
U2 (s)
(s + 1)
+ 1+1
1 (s
+ 1)
• 1+1
1 (2s
+ 1) U1 (s)
1
2s +1
= s + 2 U 2 (s) + 2(s + 2) U1 (s)
其向量－矩阵形式为
1
Y
(s)
=
Y1 (s) Y2 (s)
=
2(s 2s
+ +
1) 1
2(s + 2)
0 1
U U
1 2
(s) (s)
=
＇(s)U
(s)
s + 2
原系统闭环传递函数矩阵为
1
'
(s)
=
2(s 2s
+ +
1) 1
2(s + 2)
0
1
s + 2
串联补偿器 Gc (s) 的设计：由式（9－60）并考虑 H (s) = I 有
Gc
(s)
=
G
−1 p
(s)(s)[I
《自动控制原理》线性定常离散系统状态方程的建立及求解
向量－矩阵形式为
x1 (k + 1) 0 1 0 0 x1 (k) 0
x2 (k
+ 1)
0
0
1
0
x2 (k)
0
= 0 0 0 0 + u(k)
xn−1
(k
+
1)
0
0
0
1
x
n−1
(k
)
0
xn (k + 1) − a0 − a1 − a2 − an−1 xn (k) 1
量和输入量：ai ,bi (i = 0,1,2,, n且an = 1) 为表征系统特性的常系
数。考虑初始条件为零时的z变换关系有
[ y(k)] = Y (z), [ y(k + i)] = ziY (z)
对式(9—87)两端取z变换并加以整理可得
G(z)
=
Y (z) U (z)
=
bn z n + bn−1 z n−1 + + b1 z + b0 z n + an−1 z n−1 + + a1 z + a0
（9－95）
三、线性定常离散动态方程的解
求解离散动态方程的方法友递推法和z变换法，这里只介绍常
用的递推法，对z变换法感兴趣的读者可参阅有关书籍。下面以解
离散化状态方程为例来说明如何使用递推法求解。令式（9－93）
中的k = 0,1,, k −1可得到 T,2T,, kT 时刻的状态，即
k = 0 : x(1) = (T )x(0) + G(T )u(0)
=
bn
+
z n−1 n−1
+
线性系统的状态空间分析与综合
线性系统的状态空间分析与综合第九章线性系统的状态空间分析与综合⼀、教学⽬的与要求：通过本章内容的学习，使学⽣建⽴起状态变量和状态空间的概念，掌握线性定常系统状态空间模型的建⽴⽅法，状态空间表达式的线性变换，状态完全能控或状态完全能观测的定义，及其多种判据⽅法，状态转移矩阵的求法，传递函数矩阵与状态空间表达式的关系。
⼆、授课主要内容：1．线性系统的状态空间描述2．线性系统的可控性与可观测性3．线性定常系统的状态反馈与状态观测器（详细内容见讲稿）三、重点、难点及对学⽣的要求（掌握、熟悉、了解、⾃学）1.重点掌握线性定常系统状态空间模型的建⽴⽅法与其他数学描述（微分⽅程、传递函数矩阵）之间的关系。
2.掌握采⽤状态空间表述的系统运动分析⽅法，状态转移矩阵的概念和求解。
3.掌握系统基本性质——能控性和能观测性的定义、有关判据及两种性质之间的对偶性。
4.理解状态空间表达式在线性变换下的性质，对于完全能控或能观测系统，构造能控、能观测标准形的线性变换⽅法，对于不完全能控或不完全能观测系统，基于能控性或能观测性的结构分解⽅法。
5.掌握单变量系统的状态反馈极点配置和全维状态观测器设计⽅法，理解分离定理，带状态观测器的状态反馈控制系统的设计。
重点掌握线性系统的状态空间描述和求解，线性系统的可控性与可观测性及状态反馈与状态观测器。
四、主要外语词汇线性系统 linear system状态空间 state space状态⽅程 state equation状态向量 state vector传递函数矩阵 translation function matrix状态转换矩阵 state-transition matrix可观测标准形 observational standard model可控标准形 manipulative standard model李亚普诺夫⽅程Lyaponov equation状态观测器 state observation machine对偶原理 principle of duality五、辅助教学情况（见课件）六、复习思考题1．什么是系统的状态空间模型？状态空间模型中的状态变量、输⼊变量、输出变量各指什么？2．通过机理分析法建⽴系统状态空间模型的主要步骤有哪些？3．何为多变量系统？如何⽤传递矩阵来描述多变量系统的动态特性？在多变量系统中，环节串联、并联、反馈连接时，如何求取总的传递矩阵？4．试简述数学模型各种表达式之间的对应关系。
《自动控制原理》线性定常连续系统状态空间表达式的建立
+ (b0 − an−1hn−1 − an−2hn−2 −− a1h1 − a0h0 )u
选择 h0 , h1, hn−1 ，使得上式中u的各阶导
的次数n。为了避免在状态方程中出现u的导
数项，可以选择如下的一组状态变量。
设
bn
0
，选取： x1 = y − h0u
xi = xi−1 − hi−1u， i = 2,3,, n
其中h0, h1, , hn−1是n个待定系数
x• • •
xi = xi−1 − hi−1u • • •
x1
+
1 L
u ( t)
x2 0
y=0
x1
1
x2
令 x=x 1x2T 为状态向量
则： x • =−
R−
L
1 L
x+
1
L u ( t)
1 c
0
0
y=0 1 x
补充：
• 由（A,B,C,D) 画状态变量图 • 由电路→基本方程→状态变量图→(A,B,C,D) • 状态变量选取不唯一 • D0的解释 • 充放电过程的解释 • 状态方程的稳态求解
（1）求其状态空间表达式 （2）画出其状态变量图
解：选 x1 = y
.
x2 = y
..
x3 = y
则： x1 = x2 x2 = x3
x3 = −6x1 − 8x2 − 5x3 + 3u
y = x1
状态空间表达式为
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第九章 线性系统的状态空间分析与综合在第一章至第七章中，我们曾详细讲解了经典线性系统理论以及用其设计控制系统的方法。
可以看到，经典线性理论的数学基础是拉普拉斯变换和z 变换，系统的基本数学模型是线性定常高阶微分方程、线性常系数差分方程、传递函数和脉冲传递函数，主要的分析和综合方法是时域法、根轨迹法和频域法，分析的主要内容是系统运动的稳定性。
经典线性系统理论对于单输入-单输出线性定常系统的分析和综合是比较有效的，但其显著的缺点是只能揭示输入-输出间的外部特性，难以揭示系统内部的结构特性，也难以有效处理多输入-多输出系统。
在50年代蓬勃兴起的航天技术的推动下，在1960年前后开始了从经典控制理论到现代控制理论的过渡，其中一个重要标志就是卡尔曼系统地将状态空间概念引入到控制理论中来。
现代控制理论正是在引入状态和状态空间概念的基础上发展起来的。
在现代控制理论的发展中，线性系统理论首先得到研究和发展，已形成较为完整成熟的理论。
现代控制理论中的许多分支，如最优控制、最优估计与滤波、系统辨识、随机控制、自适应控制等，均以线性系统理论为基础；非线性系统理论、大系统理论等，也都不同程度地受到了线性系统理论的概念、方法和结果的影响和推动。
现代控制理论中的线性系统理论运用状态空间法描述输入-状态-输出诸变量间的因果关系，不但反映了系统的输入—输出外部特性，而且揭示了系统内部的结构特性，是一种既适用于单输入--单输出系统又适用于多输入—多输出系统，既可用于线性定常系统又可用于线性时变系统的有效分析和综合方法。
在线性系统理论中，根据所采用的数学工具及系统描述方法的不同，又出现了一些平行的分支，目前主要有线性系统的状态空间法、线性系统的几何理论、线性系统的代数理论、线性系统的多变量频域方法等。
由于状态空间法是线性系统理论中最重要和影响最广的分支，加之受篇幅限制，所以本章只介绍线性系统的状态空间法。
9-1 线性系统的状态空间描述1. 系统数学描述的两种基本类型这里所谓的系统是指由一些相互制约的部分构成的整体，它可能是一个由反馈闭合的整体，也可能是某一控制装置或受控对象。
本章中所研究的系统均假定具有若干输入端和输出端，如图9-1所示。
图中方块以外的部分为系统环境，环境对系统的作用为系统输入，系统对环境的作用为系统输出；二者分别用向量12[,,...,]T p u u u u =和12[,,...,]T q y y y y =表示，它们均为系统的外部变量。
描述系统内部每个时刻所处状况的变量为系统的内部变量，以向量12[,,...,]T n x x x x =表示。
系统的数学描述是反映系统变量间因果关系和变换关系的一种数学模型。
系统的数学描述通常由两种基本类型。
一种是系统的外部描述，即输入-输出描述。
这种描述将系统看成为一个“黑箱”，只是反映系统外部变量间即输入-输出间的因果关系，而不去表征系统的内部结构和内部变量。
如第一章至第六章所研究的单输入-单输出线性定常连续系统，其外部数学描述就是一个n 阶微分方程及对应的传递函数。
系统描述的另一种类型是内部描述，即状态空间描述。
这种描述是基于系统内部结构分析的一类数学模型，通常由两个数学方程组成。
一个是反映系统内部变量12[,,...,]T n x x x x =和输入变量12[,,...,]T p u u u u =间因果关系的数学表达式，常具有微分方程或差分方程的形式，称为状态方程。
另一个是表征系统内部变量12[,,...,]T n x x x x =，及输入变量12[,,...,]T p u u u u =12[,,...,]T p u u u u =和输出变量12[,,...,]T q y y y y =间转换关系的数学表达式，具有代数方程的形式，称为输出方程。
在以后的研究中可以看到，外部描述仅描述系统的外部特性，不能反映系统的内部结构特性，而具有完全不同内部结构的两个系统也可能具有相同的外部特性，因而外部描述通常只是对系统的一种不完全的描述。
内部描述则是对系统的一种完全的描述，它能完全表征系统的所有动力学特征。
仅当在系统具有一定属性的条件下，两种描述才具有等价关系。
2. 系统描述中常用的基本概念无论是系统的外部描述还是系统的内部描述，下列的一些概念是常用的，现给出其定义，以便读者在学习本章和阅读国内外有关文献时更清楚地理解系统的性质和分类。
输入和输出 由外部施加到系统上的全部激励称为输入，能从外部量测到的来自系统的信息称为输出。
松弛性 若系统的输出y [t 0,∞]由输入u [t 0,∞]唯一确定，则称系统在t 0时刻是松弛的。
从能量的观点看，系统在t 0时刻是松弛的意味着系统在时刻不存贮能量。
例如一个RLC 网络，若所有电容两端的电压和流过电感的电流在t 0时刻均为零(即初始条件为零)，则称网络在t 0时刻是松弛的。
若网络不是松弛的，则其输出不仅由输入决定，而且与初始条件有关。
对于一个松弛系统，其输入—输出描述为y Hu = (9-1)式中H 为某一算子，例如传递函数就是一种算子。
因果性 若系统在t 时他刻的输出仅取决于在t 时刻和t 之前的输入，而与t 时刻之后的输入无关，则称系统具有因果性或因果关系(Causal)。
本书中所研究的实际物理系统均具有因果性，并称为因果系统。
若系统在t 时刻的输出尚与t 时刻之后的输入有关，则称系统不具有因果性。
不具有因果性的系统能够预测t 时刻之后的输入并施加于系统而影响其输出。
线性 一个松弛系统当且仅当对于任何输入u 1和u 2。
以及任何实数α均有1212()H u u Hu Hu +=+ (9-2)11()()H u H u αα= (9-3)则该系统称为线性的，否则称为非线性的。
式(9-2)称为可加性，式(9-3)称为齐次性。
若松弛系统具有这两种特性，则称该系统满足叠加原理。
时不变性（定常性） 一个松弛系统当且仅当对于任何输入u 和任何实数α，均有HQ u Q Hu αα= (9—4)则该系统称为时不变的或定常的，否则称为时变的。
式中Q α为位移算子，Q u α表示对于所有t 均有 ()()Q u t u t αα=- (9—5)式(9—4)又可写为HQ u Q y αα= (9—6)线性时不变(定常)系统数学方程中各项的系数必为常数，只要有一项的系数是时间的函数，则系统是时变的。
3. 系统状态空间描述常用的基本概念下面所介绍的是在系统状态空间描述中常用的一些基本概念。
状态和状态变量 系统在时间域中的行为或运动信息的集合称为状态。
确定系统状态的一组独立(数目最小)的变量称为状态变量。
一个用n 阶微分方程描述的系统，当n 个初始条件x(t 0)，ẋ(t 0)，…，x n−1(t 0)及t ≥t 0的输入u(t)给定时，可惟一确定方程的解，即系统将来的状态，故工x(t)，ẋ(t)，… ，x n−1(t)这n 个独立变量可选作状态变量。
状态变量对于确定系统的行为既是必要的，也是充分的。
n 阶系统状态变量所含独立变量的个数为n 。
显然，当变量个数小于n 时，便不能完全确定n 阶系统的状态，而当变量个数大于n 时，对于确定系统的状态有的变量则是多余的。
状态变量的选取不具有惟一性，同一个系统可能有多种不同的状态变量选取方法。
状态变量也不一定在物理上可量测，有时只具有数学意义，而无任何物理意义。
但在具体工程问题中，应尽可能选取容易量测的量作为状态变量，以便实现状态的前馈和反馈等设计要求。
例如，机械系统中常选取线(角)位移和线(角)速度作为变量，RLC 网络中则常选取流经电感的电流和电容的端电压作为状态变量。
状态变量常用符号12(),(),...,()n x t x t x t 表示。
状态向量 把描述系统状态的n 个状态变量12(),(),...,()n x t x t x t 看作向量x(t)的分量，即 12()[(),(),...,()]T n x t x t x t x t =则向量x(t)称为n 维状态向量。
给定t ＝t 0时的初始状态向量X(to)及t ≥t 0的输入向量u(t),t ≥t 0的状态由状态向量x(t 0)惟一确定。
状态空间 以n 个状态变量作为基底所组成的n 维空间称为状态空间。
状态轨迹 系统在任一时刻的状态，在状态空间中用一点来表示。
随着时间的推移，系统状态在变化，并在状态空间中描绘出一条轨迹。
这种系统状态向量在状态空间中随时间变化的轨迹称为状态轨迹或状态轨线。
状态方程 描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组(连续时间系统)或一阶差分方程组(离散时间系统)称为系统的状态方程。
状态方程表征了系统由输入所引起的内部状态变化，其一般形式为.()[(),(),]x t f x t u t t = （9-7）或1()[(),(),]k k k k x t f x t u t t += （9-8）输出方程 描述系统输出变量与系统状态变量和输入变量之间函数关系的代数方程称为输出方程，其一般形式为()[(),(),]y t g x t u t t = （9-9）或()[(),(),]k k k k y t g x t u t t = （9-10）输出方程表征了系统内部状态变化和输入所引起的系统输出变化，它是一个变换过程。
状态空间表达式 状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，又称动态方程，其一般形式为.()[(),(),]()[(),(),]==x t f x t u t t y t g x t u t t （9-11）或1()[(),(),]()[(),(),]k k k k k k k k x t f x t u t t y t g x t u t t +== （9-12）自治系统 若在系统的状态空间表达式中，函数f 和g 均不显含时间t 或k t 则称该系统为自治系统，其状态空间表达式的一般形式为.()[(),()]()[(),()]x t f x t u t y t g x t u t == (9-13)或1()[(),()]()[(),()]k k k k k k x t f x t u t y t g x t u t +== (9-14)线性系统 若在系统的状态空间表达式中，f 和g 均是线性函数，则称系统为线性系统，否则为非线性系统。
线性系统的状态空间表达式 线性系统的状态方程是一阶向量线性微分方程或一阶向量线性差分方程，输出方程是向量代数方程。
线性连续时间系统状态空间表达式的一般形式为.()()()()()()()()()()x t A t x t B t u t y t C t x t D t u t =+=+ （9-15）对于线性离散时间系统，由于在实践中常取t k =kT (T 为采样周期)，其状态空间表达式的一般形式可写为(1)()()()()()()()()()x k G k x k H k u k y k C k x k D k u k +=+=+ （9-16） 通常，若状态x 、输入u 、输出y 的维数分别为n,p,q ,则称n n ⨯矩阵A(c)及G(k)为系统矩阵或状态矩阵或系数矩阵，称n ×p 矩阵B(t)及H(k)为控制矩阵或输入矩阵，称q ×n 矩阵C(t)及C(k)为观测矩阵或输出矩阵，称q ×p 矩阵D(t)及D(k)为前馈矩阵或输入输出矩阵。