连续时间系统的时域分析

说明这种情况下电路响应的求解方法。 例：如图所示
i R 1
us t
+ 4v 2v
ic t + +C 1F uc t
+ —
us t ic R uc t1
而 ic
C
duc (t) dt
2
将(2)式代入(1)式子得
u
s
t
C
duc t
dt
R
uc
t
uct
1 RC
uc t
1 RC
u s t
uct uc t us t
1 4 6 14 1 5 5
A
di0
dt
1 R1
d dt
e0
d dt
vc 0
1 R1
d dt
e0
1 C
i0 iL 0
1 1
0
1 1
14 5
4 5
2 A s
d.求 it 在 t 0 时的完全响应
将
i0
14 5
,
i0
2
代入（6）式得
i0 i0
A1 A2 2 A1
r k 0
r
0
,
d dt
r0
,,
d n1 dt n1
r0
这组状态称为初始条件（简称 0 状态）。
由此可见，用时域经典法求解系统的响应时，为确定自由响应部分常
数 Ai i 1,2,n ，还必须根据系统的 0 状态和激励情况求出 0 状态。
对于具体电路， 0 状态就是系统中储能元件的储能情况，一般情况
r0
,,
d n1 dt n1
r0
这组状态称为系统的起始状
态（ 0 状态）,它包含了为计算未来响应的全部“过去”信息。在 et 加入
之后，这组状态从 t 0 到 0 时刻可能发生变化。完全响应表达式
n
rt Aieit rp t 中常数 Ai i 1,2,n i 1
是由响应区间内 t 0 时刻的一组状态确定的。
识。
iR
R
+
—
uR
iR
uR R
uR iR R
iC t C
+
—
uc t
ic
t
C
duc
dt
t
uc t
t
i
c
d
iL t L
+
uL t
—
u L t
iL t
L diL t
dt
1
L
t
u L
d
例 2-1 ：如下图所示为 RLC 并联电路，求并联电路的端电压 ut 与激励
源 is t 间的关系。
满足的数学表达式。
数学模型的建立过程与应用系统的特性有关。例如，对于经典力学理论，
主要是依赖于牛顿定律；对于微波和电磁场而言，组要依赖于麦克斯韦方程； 本课程主要研究的是由电阻、电容、电感等器件构成的集总参数电系统，
它的数学模型的建立主要有依赖于 KCL 和 KVL 方程。在物理课程和《电路分 析》课程中已经提供了相应的理论和方法。
det
dt
4e2
t
（4）
.求齐次方程
it 7it 10it 0
特征方程： 2 7 10 0
1 2, 2 5
ih t A1e 2t A2e 5t
t 0
a) 求特解:
当 t 0 时， e2 t 4v 代入（4）式得
故方程 it 7it 10it 16
（5）
令 ip t B 代入（5）式得
时，由 1 转向 2，建立电流 it 的微分方程并求解 it 在 t 0 时的变化。
解： e2 t R1it c t
（1）
c
t
L
diL t
dt
iL
t
R2
（2）
it
ic
t
iL
t
c
dc t
dt
iL
t
（3）
消去c t， iL t 得
d2 dt 2
it
7
d dt
it 10it
d2 dt 2
e2
t
6
教学重点难点
重点掌握卷积积分的定义、代数运算规律和主要性质，并会用 卷积积分法求解线性时不变系统的零状态响应。
教学内容
§2.1 引言
线性连续时间系统的时域分析，就是一个建立和求解线性微分方程的过 程。 一、建立数学模型
建立数学模型就是根据力学、电学等物理学规律，得到输入和输出之间
本章共 8 学时， 其中，讲授 6 学 时，习题课 1 学 时，讨论课 1 学 时。
例 2-6 用冲激函数匹配法求解例 2-5 的完全响应 r(t)
it 7it 10it 2 t 12 t 8ut
已知： i0
4 5
A,
d dt
i0
0
A S
用冲激函数匹配法求
i 0
,
d dt
i0
?
e2 t
4 2
t
解：考虑方程右端冲激函数项最高次是 t 因而设
it a t b t cut it a t but it aut
下，先求出电容上的起始电压和电感中的起始电流，Vc 0 ， iL 0 。
当电路中没有冲激电流（或阶跃电压）强迫作用于电容及没有冲激电 压（或阶跃电流）作用于电感，则换路期间电容两端电压和流过电感中的电
流不会发生突变，即Vc 0 Vc 0 ，iL 0 iL 0 ，然后根据元件特性
约束和网络拓扑约束求得 0 时刻的其他电流或电压值，下面以具体例子，
例 3 求 rt 7rt 16rt rt et 的齐次解
3 7 2 16 12 0
解其特征方程为 22 3 0 rn t A1t A0 e2t A3e3t
t 0
特解 rp t 的函数形式与激励函数形式有关
求解方法是将激励 et 代入方程（2）右端，化简右端函数式称为“自
（4）
方程（4）称为方程（2）的特征方程，对应的 n 个根1, 2 , n
称为微分方程的特征根。
n
若特征根无重根，则 rh t Ai eit i 1
若1 是 K 阶重根，则 rn t n Ait Ki e1t nk B j e jt
i1
j 1
例 1 求 rt 3rt 2rt 0 的齐次解
r(0 ) r(0 )或r(0 ) r(0 )等等.此时为确定 r0 , r0 等，可以用冲
激函数匹配法。其原理根据 t=0 时刻微分方程左右两端的(t)及其各阶导数 应该平衡相等。
下面举一例子说明：
已知 rt 3rt 3 t若0- 2V ,求r0 ？
解：由分析可知：方程右边含 t,可以断定rt含3 t ，由此可推断
0 t 0
将其代入原方程得
a t b t cut 7a t but10aut 2 t 12 t 8ut
样对应的一组条件称为初始条件。
微分方程的齐次解称为系统的自由响应，特征方程i i 1,2,3,n称
为系统的“固有频率”（自由频率，自然频率）；特解称为系统的强迫响应， 强迫响应只与激励函数的形式有关，完全响应由系统的自身特性决定的自由
响应 rh t 和与外加激励信号 et 有关的强迫响应 rp t 组成的。
对于复杂系统，设激励信号为 et ，响应为 rt ，则可用一高阶的微分方
程表示
C0
d
n r
t
dt n
C1
d
n r
1
t
dt n1
Cn r t
E0
d met
dt m
E1
d m1e t
dt m1
Em et
（2）
复习“高等数 学”微分方程的 解法相关知识。
若方程（2）的 et 及其各阶导数都为零，则方程称为齐次方程
连续时间系统处理连续时间信号，通常用微分方程描述，若输入输出只 用一个高阶的微分方程相连系，而且不研究系统内部其他信号的变化，这种 描述系统的方法称为输入——输出或端口描述法。
et □S rt
系统分析的任务就是对给定系统模型求系统的输出。系统时域分析包含 两方面内容，一方面是微分方程的求解，另一方面是已知系统单位冲激响应， 将冲激响应与激励信号进行卷积，求出系统的响应；同时引入近代系统时域 分析方法，将建立零输入响应和零状态响应两个重要的基本概念。
由项”，根据自由项选特解函数式，代入方程后，求得特解的待定系数，即
可求出特解 rp t
激励函数 et 与特解的对应关系，见 P46 表 2-2。
例：2-4 给定方程 rt 2rt 3rt et et
若（1） et t 2 ，（2） et et 分别求两种情况下此方程的特解
解：（1）将 et t 2 代入方程得：自由项为 t 2 2t
ucn t Ae t
令 ucp t B 则代入方程得
ucp t 4
uc t Aetut 4 而 uc 0 2V uc t 的电压不能突变，故 uc 0 2V 将 uc 0 2V 代入
uc t Aetut 4 ，得
A=-2
uc t 2et 4 t 0
2-5 例如图所示电路， t 0 开关 S 处 1 位置且已达到稳定，当 t=0
10B 16 B 8
5
故系统的完全解为
i t
A1e 2t
A2e 5t
8 5
t 0 （6）
c．确定待定系数 A1, A2
由于无冲激电压，故电容电压不能突变
vc 0 vc 0 ，
而
vc
0
2
R2 R1 R
2
6 V
5
i0
2V R1 R2
4 A
5
i0
1 R1
e2 0 vc (0 )
C0
d
n r
t
dt n
C1
d n1 r
t
dt n1
Cn1
drt
dt
Cn r t
0
（3）
由经典法可知，方程（2）的解由齐次方程和特解两部分组成。 齐次解是齐次方程的解。
齐次方程解的形式为 Aet 函数的线性组合，将 rt Aet 代入方程（3）得
C0 n C1 n1 Cn1 Cn 0
将 rt, rt代入原方程 rt 3rt 3 t 得
a t b t cut 3a t but 3 t
a 3
a 3
解得： b 3a 0 b 9
c 3b 0 c 27
ut 表示从 0-到 0+相对单位发生跳变函数
r0 a 0 bu0 b
r0 r0 b 即 r0 9 2 7
故设特解 yp t B1t2 B2t B3 代入方程得
3B1t 2 4B1 3B2 2B1 2B2 3B3 t 2 2t
3B1 对比系数得： 4B1
2B1
3B2 2B2
2 3B3
0
B1 B2 B3
1 3
2 9
10 27
rp
t
1t2 3
2 9
t
10 27
（2）当 et et ，可选 rp t Bet ，代入方程后得
讲解本部分知 识不应快，应先 易后难，循序渐 进。
§2.3 起始点的跳变——从 0 到 0 的转换
在系统分析中，把响应区间确定为激励信号 et 加入后，系统变化区间，
一般 et 在 t=0 时刻加入，这样系统的响应时间为 0 t ，若系统在激
励信号加入之前瞬间有一组状态，
r k
0
r
0
,
d dt
Bet 2Bet 3Bet et et
B1 3
于是特解
rp
t
1 3
et
n
于是完全解 rt Aieit rp t i 1
若给定微分方程和激励信号 et ，在给出一组求解区间内的边界条件，
便可确定待定系数 Ai 。
若 et 是在 t=0 时刻加入，则把求解区间定为 0 t ，通常取 t 0 这
+
iR
iL
ic
is t
u t
—
iR
t
ut
R
,
iL
t
1 L
t u
d ,ic t
C
dut
dt
由 KCL 得：
iR t iL t ic t is t
（1）
将以上三式代入上方程（1）得：
C
d 2ut
dt 2
1 R
Hale Waihona Puke Baidu
dut
dt
1 L
ut
d dt
is
t
若组成系统的文件都是参数恒定的线性元件（且无储能），则构成的系统 是线性时不变系统。
rt包含3 t ，而方程右端无 t 项，故 rt中还应包含 9 t，由于
rt中含 9 t，得出 r(t)在 t=0 时刻有 9ut 存在，若 ut 表示 0 到
0 相对单位跳变函数，即 r0 r0 9 7
上述方程可用数学方法描述
设 rt a t b t cut
积分一次有： rt a t but
本章还将说明微分方程的算子符号表示法，它使微分方程的表示及运算 简化。
最后，简单介绍“分配函数”的概念。
§2.2 微分方程的建立与求解
为建立线性系统的数学模型，需列出描述系统特性的微分方程表达式， 上 课 前 应 复 习
现举例说明微分方程的建立方法。
“电路分析”知
一、复习 R,L, C ,的电压电流关系。
8 5
5 A2
14 5
2
A1 A2
4 3 2
15
it
4 3
e2t
2 15
e5t
8 A, 5
t
0
当系统已经用微分方程表示时，系统的 0-状态到 0+状态有无跳变，取决 定于微分方程在右端自由项中是否包含(t)及其各阶导数.若包含有(t)及 其 各 阶 导 数 , 说 明 相 应 的 变 量 从 0- 到 0+ 状 态 发 生 了 跳 变 , 即
第二章 连续时间系统的时域分析
学习目标
1.理解 0_和 0+时刻系统状态的含义，并掌握冲激函数匹配法 2.理解冲激响应、阶跃响应的意义，掌握其求解方法 3.掌握系统全响应的两种求解方法：自由响应和强迫响应 4.熟练掌握零输入响应和零状态响应的定义和求法； 5.会分辨全响应中的瞬态响应分量和稳态响应分量；