(参考资料)反射定律和折射定律的证明

R1
R2
而同时 sin i = x − x1 R1
z A
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sin i' = x2 − x R2
综合上三式 ，有：
i R1
n
O
n’
x-x1
i P
x2-x x
i’ R2 B
sin i' = n sin i n'
此即为折射定律第二条，折射角 的正弦与入射角的正弦之比与入 射角的大小无关，仅由两种介质 的折射率决定。
y R1
+
y R2
)
=
0
上式若成立，只有当y=0，这就意味着反射发生在垂直于反射面的平面内， 入射线、法线、反射线在同一平面内。 将R1+R2代入上页第二式，得：
z A
i1 R1
O x-x1
∂ ∂x
n(R1
+
R2 )
=
n(
x
− x1 R1
+
x
− x2 R2
)
=
0
B I’1 R2
x
x − x1 R1
根据勾股定理，光线AP和PB的几何长度为：
R1 =
z12 + (x − x1)2 + y2 , R2 =
z
2 2
+
(x
−
x2 )2
+
y2
光线APB的光程为：
S = nR1 + n' R2
根据费马原理，P点应在使光线APB的光程为极值的位置，即求：
z A(x1,0,z1)
∂ ∂y
(nR1
+
n'
R2
)
由费马原理证明光的折射定律和反射定律。
证明： 首先证明反射定律：设在下图中A为光源，B为接收器，其坐标分
别为A（x1,0,z1 ）、B（x2,0,z2）。设反射面放在z=0处，P（x,y,0）为光 线与反射面相接触的点。
A(x1,0,z1) z
B(x2,0,z2)
根据勾股定理，光线APB的总长度为： R1+R2=
= sin i1
x2 − R2
x
=
sin i1'
综合上式可得：
i1= i1’
即：入射角等于反射角。
x2-x
其次证明折射定律： 不失一般性，设在后图中A为光源，B为接收器，均位于y=0平面上，其
坐标分别为A（x1,0,z1）、B（x2,0,z2）。设折射面放在z=0处，将折射率 为n和n’的两种介质分开，P（x,y,0）为光线与折射面相接触的点。
R1 O 反射面
R2 yx
P(x,y,0)
z12 + (x − x1)2 + y2 +
z
2 2
+
(x
−
x2 )2
+
y2
根据费马原理，P点应在使光线的光程
为极值的位置，微积分上即是求：
∂ ∂y
n(R1
+
R2
)
=
0
∂ ∂x
n(
R1
+
R2
)
=
0
将R1+R2代入上面第一式，得：
∂ ∂y
n(R1
+
R2
)
=
n(
=
0
n 由前一式，得：
∂ ∂x
(nR1
+
n'
R2
)
=
0
R1
O
折射面
yx n’
P(x,y,0)
R2
B(x2,0,z2)
n y + n' y = 0
R1
R2
y=0
上式意味着折射发生在垂直于折射面的平面 内，入射线、法线、折射线在同一平面内。 再设入射角为i、折射角为i’，则由后一式， 可得：
n x − x1 + n' x − x2 = 0