离散时间信号的傅里叶变换

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调制信号的过程可见动画7
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5.7 对偶性 一.DFS的对偶性
，
由于 本身也是以N为周期的序列,当然也可以将其展开成DFS 形式
即：
或
这表明 序列的DFS系数就是
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即：
利用对偶性可以很方便的将DFS在时域得到的性质对偶到频域得 到相应的性质.
例1:从时移到频移
，
利用时移性质有:
例：
不一定是周期的,当
时， 才是周期的.
的频谱如图所示：
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5.3 离散时间傅立叶变换的性质
通过对DTFT性质的讨论,目的在于揭示信号时域和频域特性之 间的关系。
一. 周期性:
若
，则
。
二. 线性
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三. 时移与频移
若
，
则：
四. 时间反转
若
，则
。
五.共轭对称性
。
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5.2 周期信号的DTFT
对连续时间信号,有
由此推断对离散时间信号
或许有相似的情况.但由于DTFT一定是以 为周期的,因此,频域
的冲激应该是周期性的冲激串:
对其作反变换有:
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可见：
由DFS，有
，
因此,周期信号 可表示为DTFT
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从上式可以看出与连续时间傅立叶变换中的形式是完全一致的.
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由对偶性有:
∴ ∵ ∴
即是频移特性。
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二.DTFT与CFS间的对偶
由
知
是一个以 为周期的连续函数。
若在时域构造一个以 表示为CFS:
为周期的连续时间信号
则可将其
，
比较 和 的表达式可以看出
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，这表明：
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若
则
利用这一对偶关系,可以将DTFT的若干特性对偶到CFS中去;或 者反之。 例:从CFS的时域微分到DTFT的频域微分
∵若
————CFS的时域微分特性
，则
∴
————DTFT的频域微分特性
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例:从CFS的卷积特性到DTFT的相乘特性
由CFS的卷积特性：
由对偶性：
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如图所示对偶关系示意图 可参看动画5-8 5-9
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例：求
∵
，
∴
的
。
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5.8 由LCCDE表征的系统
信号的幅频特性如下：
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由图可以得到: 时,信号表现为低通特性,
为单调指数衰减;
时,信号表现为高通特性,
为摆动指数衰减。
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8
2、
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9
三、DTFT的收敛问题
当序列是无限长序列时,由于 存在收敛问题.
表达式是无穷项级数,当然会
，则
存在，且级数一致收敛于
。
，则级数以均方误差最小准则收敛于
工程中使用相当广泛的一类离散时间LTI系统可以由一个线性常 系数差分方程LCCDE来表征:
一. 系统的频域响应
对LCCDE描述的系统，有以下的方法可求得系统的频域响应。
方法一: 可以从求解
将 变换而求得
。
时的差分方程得到 ,而
方法二: 可以通过求出
时方程的解而得到
为 是LTI系统的特征函数, 此时的
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5.4 卷积特性
若
，则
。
即是系统的频率特性。
说明:该特性提供了对LTI系统进行频域分析的理论基础。 例:求和特性的证明
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5.5 相乘性质 如果:
则:
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由于
和
期卷积。
都是以 为周期的，因此上述卷积称为周
例：y(n) = x(n)·c(n)，其中
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于是：当
时， 。
，
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，
，
5
当k在一个周期范围内变化时， 积分区间是 。表明:
在 范围内变化，所以
离散时间序列可以分解为频率在
区间上连续分布的、幅度
为
的复指数分量的线性组合。
结论：离散时间非周期信号的傅立叶变换对为：
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6
二.常用信号的离散时间傅立叶变换
1.
,通常
是复函数。
的模和相位：
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1
5.1 非周期信号的表示：离散时间傅里叶变换
一、从DFS到DTFT 让我们先来观察周期性矩形脉冲信号，取其周期N=10、20与 40时，其频谱的变化情况如下图所示。
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2
在讨论离散时间周期性矩形脉冲信号的频谱时,我们看到:当 信号周期N增大时,频谱的包络形状不变,幅度减小,而频谱的 谱线变密。
当
时,有
,而从时域看,当周期信号
的周期
时,就变成了一个非周期的有限长序列.可以预
见,对一个非周期的有限长序列,它的频谱应该是一个连续的频
谱.（如动画5-1所示）
对周期信号
由DFS有
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3
当
时，
，令
有
————DTFT
显然， 对 是以 为周期的。 参看动画5-2
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4
将其与 表达式比较有：
第五章 离散时间傅立叶变换
本章内容： 离散时间傅立叶变换的表示；常用信号的傅立叶变换；傅立 叶变换的性质；傅立叶变换的收敛；周期信号的傅立叶变换； 对偶性；卷积性与相乘性；LTI系统的频域响应与系统的频域 分析；
通过对离散时间傅立叶变换的学习，掌握信号在频域的分 析思想、物理含义及系统在频域分析的方法，理解信号通 过系统传输的不失真条件。
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因 。
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方法三: 对方程两边进行DTFT变换,可得到:
通过反变换求得
。
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例：
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本章与第4章平行的讨论了DTFT,讨论的基本思路和方法与第4章 完全对应,许多结论也很类似通过对DTFT性质的讨论揭示了离散 时间信号时域与频域特性的关系.不仅看到许多性质与特性在 CTFT中都有相对应的结论,而且它们也存在一些差别,例如DTFT 总是以2π为周期的.通过卷积的讨论,对LTI系统建立了频域分析 的方法.同样地,相乘特性的存在则为离散时间信号的传输技术提 供了理论基础。 对偶性的讨论为我们进一步认识连续时间信号、
若
，则
。
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六.时域差分与求和
例：
，
∴
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七.时域内插 定义：
∴
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信号时频域的约束关系可参见动画6
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八.频域微分
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九.Parseval定理: 对非周期离散时间信号：
称为 的能量谱密度函数。 对周期离散时间信号：
称为周期信号的功率谱。
离散时间信号、周期信号与非周期信号频域描述之间存在的重要 内在联系,提供了重要的理论根据.深入理解并恰当运用对偶性,对 深刻掌握CFS,DFS,CTFT,DTFT的本质关系有很大帮助。 与连续 时间LTI系统一样,由LCCDE描述的LTI系统可以很方便的由方程 得到系统的频率响应函数 ，实现系统的频域分析,其基本过程及 涉及到的问题与连续时间LTI系统的情况也完全类似.