广东海洋大学高等数学往年试卷

广东海洋大学2006 ——2007学年第一学期

《高等数学》课程试题

课程号： 1920008

□ 考试

□ A 卷

□ 闭卷

一． 计算（20分，各4分）.

1.x x x x sin 2cos 1lim

0-→. 2.⎰+x dx

2cos 1.

3.⎰-++112

1sin 1dx x x . 4.x x x x )1232(lim ++∞→. 5.⎰26

2cos π

πxdx .

二.计算（20分，各5分）. 1.求)arcsin(tan x y =的导数。

2.求由方程0=-+e xy e y

所确定的隐函数y 的二阶导数22dx

y

d 。

3.已知⎩⎨⎧==t

e y t e x t

t cos sin ，求当3π=t 时dx dy

的值。 4.设x y y x z 3

3

-=，求x

y z

x z ∂∂∂∂∂2,.

三.计算.（25分，各5分）.

1. dx x x ⎰+9

23

2.dx e x ⎰

班级：

计科

1141 姓

名： 阿稻

学号：

2014xx

试题共2

页

加白纸4张

密

封

线

GDOU-B-11-302

3.dt

te

dt e x

t x

t x ⎰⎰→0

20

2

2

2

)(lim .

4.求]1

)1ln(1[lim 0

x

x x -+→. 5.dx x ⎰-202sin 1π

.

四.解答（14分，各7分）.

1.问12

+=

x x

y ()0≥x 在何处取得最小值？最小值为多少？ 2.证明x x x

x

<+<+)1ln(1.

五.解答（21分，各7分）.

1.求由2x y =与x y 2=围成图形的面积。

2.求由x x x y ),0(,sin π≤≤=轴围成的图形绕x 轴所产生的旋转体的体积。

3.计算σd y x D

⎰⎰+)(22，其中D 是矩形闭区域：1,1≤≤y x .

《高等数学》课程试题A 卷答案

一. 计算 （20分 各4分）

1.原式＝2sin sin 220

lim =→x x x x 2.原式＝c x xdx +=⎰tan 21

sec 212 3. 原式＝201arctan 211

1

1

2

π⎰-==+x dx x 4. 原式＝e x x x =++∞

→)1221(lim 5. 原式＝83

622cos 12

6

-=+⎰ππ

πdx x 二、计算 （20分 各5分） 1.x x

y 22sec tan 11'-=

2.两边对x 求导，得：0''=++xy y y e y

3.t

t t

t t e t e t e t e dx dy t t t t sin cos sin cos cos sin sin cos +-=+-=

4.3

23y y x x

z -=∂∂

222233y x y x z x y z -=∂∂∂=∂∂∂ 三、计算 （20分 各5分）

1.原式＝c x x dx x x x x ++-=+-+⎰)9ln(29219

99222

3 2. 原式＝c e e x c e te dt te x x

t t t +-=+-=⎰)(2)(22

3. 原式＝222

2

2

20

lim

=⎰

→x x

t x x xe

dt

e e

4. 原式＝2

1211

1)

1ln(lim lim

20

=+-

=+-→→x x x x x x x 5. 原式＝222)cos (sin )sin (cos cos sin 24

4020-=-+-=-⎰⎰⎰π

ππ

π

dx x x dx x x dx x x

四、解答 （14分 各7分）

1.解:0)x (1x 1'y 2

22

=+-= 1x ±= 1

x -=（舍）又 00x y 211x y ==== 故：函数在1x =取到最大值，最大值为2

1

。

2.证明：令)0(ln )(>=x x x f ，考虑区间]1,1[x +。显然，此函数在这个区间上满足（1）在闭区间上连续；（2）在开区间可导。由拉格朗日定理得：至少存在一点)1,1(x +∈ξ使得:ξ

ξ1

)('111ln )1ln(==-+-+f x x 。由ξ的范围可以知

道：

1111<<+ξx 。从而，我们可以得到1)1ln(11<+<+x

x x 。整理得：x x x

x

<+<+)1ln(1。

五、解答 （21分 各7分）

1.解：2x y =与x y 2=的交点为)4,2(),0,0(

利用元素法:取积分变量为x ，积分区间为[1,2]。（1）面积元素为

dx x x dA )2(2

-=（2）此面积为3

4

)2(2

2=

-=⎰dx x x A 。

2.解：利用元素法：取积分变量为x ，积分区间[0,π]。（1）体积元素为

xdx dV 2

sin π= （2）此旋转体的体积为2

sin 2

2

πππ

=

=⎰xdx V 。

3.解：3

8

)(4)(4)(1

022101

2

2

2

2

=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰dy y x dx d y x d y x D D

σσ

y