高等数学 格林公式及其应用

)dxdy

L
Pdx

Qdy
若区域不止由一条闭曲线
所围成.
对复连通区域D, 格林公式 右端应包括沿区域D的全部边界 的曲线积分, 且边界的方向对区 域D来说都是正向.
D L3
L2 L1
(Q P )dxdy ( )(Pdx Qdy)
D x y
L2 L3 L1
若区域D由按段光滑
的闭曲线围成. (如图) 将D分成三个既是 X 型
LD
D1
又是Y 型 的区域
L1
D1, D2 , D3 .
O
(Q P )dxdy
(Q P )dxdy
D x y
x y D1 D2 D3
D3 L3
D2 L2 x
积分区域的可加性
7
10.3 格林公式及其应用
(2xy 2 y)dx ( x2 4x)dy ( 18π ). L
解 设P 2xy 2 y, Q x2 4x
由格林公式 P 2x 2, Q 2x 4
y
x
(2xy 2 y)dx ( x2 4x)dy L
(2x 4 2x 2)dxdy 2 dxdy 18π.
D 单连通区域
D 复连通区域
2
10.3 格林公式及其应用
2. 格林公式
定理10.4(格林公式) 设闭区域D由分段光滑
的曲线L围成, 函数P(x, y)及Q(x, y)在D上具有一阶
连续偏导数, 则有

D
(Q x

P y
)dxdy

L
Pdx

Qdy
其中L是 D的取正向的边界曲线.
3
10.3 格林公式及其应用
规定 边界曲线L的正向. 记为 : D 当观察者沿边界行走时, 区域D总在他的 左边.
L
L
D
D
l
格林公式

D
(
Q x

P y
)dxdy

L Pdx Qdy
注
(1) P、Q在闭区域D上具有一阶连续偏导;
(2) 曲线L是封闭的, 并且取正向.
4
10.3 格林公式及其应用
证明

D
(Q x
补充的曲线要简单, 通常是补充与坐标轴平行的 直线段. 因而这里补加直线段 OA. y
解 由格林公式 Q P m
x y
(e
x
sin
y

my
)dx

(e x
cos
y

O
m)dy
AOOA
•
A(a,0) x


D
mdxdy

1 8
m πa 2
OA的方程为y 0, 0 x a 0
公式化为二重积分来计算.
14
10.3
格林公式及其应用
(2) 简化曲线积分的计算L Pdx Qdy
(Q P )dxdy D x y
例 计算 (3x y)dy ( x y)dx. L
L是圆周: ( x 1)2 ( y 4)2 9
分析 如把圆周写成参数方程:
D
15
10.3 格林公式及其应用
Pdx Qdy
(Q P )dxdy
L
D x y
计算I e ydxຫໍສະໝຸດ Baidu ( xy3 xe y 2 y)dy, L
其中L为圆周 x2 y2 2x 的正向.
解 P e y , Q xy3 xe y 2 y y
D
D
17
10.3 格林公式及其应用
例 计算 (ex sin y my )dx (ex cos y m)dy, AO
其中A⌒O是从点 A(a,0)到点O(0,0)的上半圆周
x2 y2 ax.
y
分析 此积分路径 A⌒O 不是闭曲线!
但由
P

ex
sin
y

my ,
Q

ex
cos
y
10.3 格林公式及其格应用林 Green.G. (1793—1841) 英国数学家、物理学家
10.3 格林公式及其应用
格林(Green)公式
平面上曲线积分与路径无关的 条件
全微分方程
小结 思考题 作业
第10章 曲线积分与曲面积分
1
10.3 格林公式及其应用
一、格林公式
1. 区域连通性的分类 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围 成的部分都属于D, 则称D为平面 单连通区域, 否则称为 复连通区域.

Pdx Qdy
L
(L1, L2, L3对D来说为正方向)
9
10.3 格林公式及其应用
(3) 对复连通区域证明:
对若复区连域通不区止域由D一, 格条林闭公曲式线
的右所曲端围线应成积 包.添分 括加,沿且直区边线域界段D的的A方全B向,部CE对边.区界 G D
域则DD来的说边都界是曲正线向由. AB, L2 , BA,
P e y , Q y3 e y
y
x
.D
O
1
2x
Q P y3 x y
对称性
由格林公式有 I y3dxdy 0.
D
16
10.3 格林公式及其应用
Pdx Qdy (Q P )dxdy
L
D x y
设L为取正向的圆周x2 y2 9,则曲线积分
)dxdy
D3 x y
Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy
L1
L2
L3
L Pdx Qdy
D3 L3
(L1, L2, L3对D来说为正方向)
L
D
D1
L1
D2 L2
8
10.3 格林公式及其应用
(3)
对复连通区域证明:

D
(
Q x

P y
例
计算
L
xdy x2

ydx y2
,
其中L为一条无重点,
分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L的方向为
逆时针方向.
解 记L所围成的闭区域为D,
令
P

y x2 y2
,
Q

x2
x
y2
则当 x2 y2 0时,
有
Q x

y2 x2 ( x2 y2 )2

P y
22
10.3 格林公式及其应用
DP Q
11
10.3 格林公式及其应用
3. 简单应用
(1) 计算平面的面积
y x
格林公式

D
(Q x

P y
)dxdy

L
Pdx

Qdy
得 2 dxdy L xdy ydx
D
闭区域D的面积 A 1 xdy ydx. 2L
12
10.3 格林公式及其应用
例 求椭圆 x acost, y bsin t, 0 t 2π

D
(Q x

P y
)dxdy

L
Pdx

Qdy
(Q P )dxdy
(Q P )dxdy
D x y
x D1 D2 D3 y

D1

(
Q x (Q
P )dxdy y P )dxdy
(
D2
Q x

P y
积
CBE
EAC
分 LQ( x, y)dy
O
x
同理可证

D
(DQxPy dxdPyy)dxLdPy
(x,
y )Pddx x
L

Qdy
6
10.3 格林公式及其应用
(Q P )dxdy Pdx Qdy
D x y
L
(2) 再对一般区域证明:y
( 0, 0)
AB BA CE EC

Pdx Qdy
L
(L1, L2, L3对D来说为正方向)
10
10.3 格林公式及其应用

D
(Q x

P y
)dxdy

L
Pdx

Qdy
格林公式的实质
沟通了沿闭曲线的积分与二重积分
之间的联系.
便于记忆形式:

x y dxdy L Pdx Qdy.

P y
)dxdy

L
Pdx

Qdy
(1)先对简单区域证明: y
d
若区域D既是 X 型
x 1( y)
又是 Y 型
E y 2(x)
DB
即平行于坐标轴的直线
A
x 2( y)
和L至多交于两点.
c Oa
C y 1(x) bx
D {( x, y)1( x) y 2( x),a x b}
4
2
20
10.3 格林(公3式) 及二其应重用积分化D 为(Q线x 积分Py )计dx算dy
Pdx Qdy
L
例 计算 e y2dxdy,其中D是 y
D
1B
A
以O(0,0), A(1,1), B(0,1)为顶点的
D
三角形闭区域.
解 令 P 0, Q xe y2
L2
AFC , CE, L3 ,EC 及CGA构成.
B
由(2)知

D
(Q x

P y
)dxdy
L3
E
C
L1 F A
{ } (Pdx Qdy) AB L2 BA AFC CE L3 EC CGA
( )(Pdx Qdy) L2 L3 L1
c
1( y) x
y
d c
Q(
x,
y
)
2 1
( (
y) y)
dy
d x 1( y)
d
d
c Q( 2( y), y)dy c Q(1( y), y)dy
A
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
CBE
CAE
c
E
DB
C x 2( y)
线 Q( x, y)dy Q( x, y)dy
计算
xdy ydx L x2 y2 ,
Q P x y

D
(Q x

P y
)dxdy

L
Pdx

Qdy
(1)当(0,0) D时,
y
即L为不包围原点的任一闭曲线.
L
由格林公式
L
xdy x2

ydx y2

0
D
O
x
(2)当(0,0) D时, 即L为包围原点在内的任一
所围成的面积.
y
解 由公式
A

1 2
L
xdy

ydx
得 A 1 2π ab(cos2 t sin2 t )dt 20
D
O
x
abπ.
13
10.3 格林公式及其应用
L
Pdx

Qdy


D
(Q x

P y
)dxdy
对平面闭曲线上的对坐标曲线积分,
当Q P比较简单时, 常常考虑通过格林 x y
故
(ex sin 0y my0)dx (ex cos y m)dy

a
0dx 0
OA
0
所以, I
1 mπa2 0 1 mπa2 .
AO OA OA 8
8
19
10.3 格林公式及其应用
L
Pdx

Qdy


D
(Q x

P y
)dxdy
D {( x, y)1( y) x 2( y),c y d}
5
10.3 格林公式及其应用化为二次积分

D
(Q x

P y
)dxdy

L
Pdx

Qdy
Q dxdy
d
dy
2 ( y) Qdx

化
为
第
二
类

曲
D x
O
1x
则 Q P e y2 格林公式
x y
e y2dxdy
xe y2dy
D

OA AB BO
xe y2dy xe y2dy
0
0xe y2dy
OA
AB
BO
1 xex2dx 0 0 1 (1 e1 ).
0
2
21
10.3 格林公式及其应用
x 1 3cos , y 4 3sin (0 2π)
再将线积分化为定积分计算, 则过程较麻烦.
y
用格林公式易求.
解 设P ( x y), Q 3x y
D
由格林公式 P 1, Q 3
y
x
O
x
L (3x y)dy ( x y)dx 2dxdy 18π.
闭曲线. 作位于D内圆周 l : x2 y2 r 2 y
L
记D1由L和l所围成, 应用由格林公式, 得
l D1
P、Q在闭区域D上具有一阶连续偏导;
Or
x
曲线L是封闭的, 并且取正向.
23
10.3 格林公式及其应用
注意格林公式的条件
0 Q P dxdy D1 x y
O

m
•
A(a,0) x
Q ex cos y, P ex cos y m
x
y
可知 Q P m
x y
非常简单.
18
10.3 格林公式及其应用
为L应不用闭格合林+公边式L＊再, 使补L充+一L＊段曲线, 使之构成
闭闭曲合线, .再因用在格补林充公的式曲.线上还要算曲线积分, 所以
设L为正向圆周 x2 y2 2 在第一象限中的部分,
则曲线积分
xdy
L

2 ydx
的值为(
3π 2
).
解 xdy 2 ydx L
y
2
L


L L1 L2
L1
L2
3 dxdy 0 0 Q P 3 x y
L1
O
D
L2 2 x
D
3 ( 2)2 π 3 π.