人口增长实验报告

实验题目：用matlab 进行人口模型函数求解。 实验目的

[1] 学习由实际问题去建立数学模型的全过程；

[2] 训练综合应用数学模型、微分方程、函数拟合和预测的知识分析和解决实际问题； 实验内容

从1790—1980年间美国每隔10年的人口记录如表综2.1所示： 表综2.1

用以上数据检验马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，根据检验结果进一步讨论马尔萨斯人口模型的改进，并利用至少两种模型来预测美国2010年的人口数量。 二、问题分析

1：Malthus 模型的基本假设是：人口的增长率为常数，记为r 。记时刻t 的人口为x(t ），（即x(t ）为模型的状态变量）且初始时刻的人口为x0，于是得到如下微分方程：

?????==0)0(d d x x rx t x

2：阻滞增长模型（或Logistic 模型） 由于资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用，人口增长到一定数量后，增长率会下降，假设人口的增长率为x 的减函数，如设r(x)=r(1-x/xm)，其中r 为固有增长率(x 很小时)，xm 为人口容量（资源、环境能容纳的最大数量），于是得到如下微分方程：

?????=-=0)0()1(d d x

x x x rx t x

m

三、数学模型的建立与求解

根据Malthus 模型的基本假设，和Logistic 模型，我们可以分别求得微分方程的解析解， y1=x0*exp(r*x);

y2=xm/(1+x0*exp(-r*x))

对于1790—1980年间美国每隔10年的人口记录，分别用matlab 工具箱中非线性拟合函数的命令作一般的最小二乘曲线拟合，可利用已有程序lsqcurvefit 进行拟合，检验结果进一步讨论模型的改进，预测美国2010年的人口数量。 四、实验结果及分析

对于Malthus 模型作一般的最小二乘曲线拟合，可利用已有程序lsqcurvefit

得到拟合函数为y=(3.54e-011)*exp(0.0149*x), 当x=2010时，预测的人口为359.4916 由于资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用，人口增长到一定数量后，增长率会下降，运

用Logistic模型对微分方程的解进行拟合，得到y2= 360.4/(1+53.11 *exp(-0.02342*(x-1790))) 到2010年时，预计人口数量为y2 = 275.6894，

五、代码

>> T=1790:10:1990

>> x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.3 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4];

>>x0=[200,0.1];

>> a=lsqcurvefit(@logistic,x0,t,x)

>> fun=inline('a(1)./(1+(a(1)/3.9-1).*exp(-a(2).*t))','a','t')

>> a(1)./(1+(a(1)/3.9-1).*exp(-a(2).*t));

>>

M文件

function x=logistic(a,t)

x=a(1)./(1+(a(1)/3.9-1).*exp(-a(2).*t));

end