基于人口增长模型的数学建模(DOC)

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基于人口增长模型的数学建模(DOC)

数学建模论文

题目:人口增长模型的确定专业、姓名:

专业、姓名:

专业、姓名:

人口增长模型

摘要

随着人口的增加,人们越来越认识到资源的有限性,人口与资源之间的矛盾日渐突出,人口问题已成为世界上最被关注的问题之一。问题给出了1790—1980年间美国的人口数据,通过分析近两百年的美国人口统计数据表,得知每10年的人口数的变化。预测美国未来的人口。对于问题我们选择建立Logistic 模型(模型2)现实中,影响人口的因素很多,人口也不能无限的增长下去,Logistic 模型引进常数N 表示自然资源和环境所能承受的最大人口数,因而得到了一个贝努利方程的初值问题公式,从实际效果来看,这个公式较好的符合实际情况的发展,随着时间的递增,人口不是无限增长的,而是趋近于一个数,这个即为最大承受数。我们还同时对数据作了深入的探讨,作数据分析预测,通过观测比较选择一个比较好的拟合模型(模型3)进行预测。预测接下来的每隔十年五次人口数量,分别为251.4949, 273.5988 , 293.4904 , 310.9222 325.8466。

关键词:人口预测Logistic模型指数模型

一、问题重述

1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。

年份17

90 18

00

18

10

18

20

18

30

18

40

18

50

18

60

18

70

18

80

人口(⨯106) 3.

9

5.

3

7.

2

9.6 12

.9

17

.1

23

.2

31

.4

38

.6

50

.2

年份18

90 19

00

19

10

19

20

19

30

19

40

19

50

19

60

19

70

19

80

人口(⨯106) 62

.9

76

.0

92

.0

10

6.5

12

3.

13

1.

15

0.

17

9.

20

4.

22

6.

2 7 7

3 0 5

试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型,并对接下来的每隔十年预测五次人口数量,并查阅实际数据进行比对分析。

如果数据不相符,再对以上模型进行改进,寻找更为合适的模型进行预测。

二、问题分析

人口预测是一个相当复杂的问题,影响人口增长除了人口数与可利用资源外,还与医药卫生条件的改善,人们生育观念的变化等因素有关…….可以采取几套不同的假设,做出不同的预测方案,进行比较。

人口预测可按预测期长短分为短期预测 (5年以下)、中期预测(5~20年)和长期预测(20~50年)。在参数的确定和结果讨论方面,必须对中短期和长期预测这两种情况分开讨论。中短期预测中所用的各项参数以实际调查所得数据为基础,根据以往变动趋势可较准确加以估计,推算结果容易接近实际,现实意义较大。

三、问题假设

1.在模型中预期的时间内,人口不会因发生大的自然灾害、突发事故

或战争等而受到大的影响;

2.假设美国人口的增长遵循马尔萨斯人口指数增长的规则

3.假设人口增长不受环境最大承受量的限制

四、变量说明

:数据的起始时间,即1790年

t:时间

r:人口增长率

x :人口常数最大值

五、模型建立

模型一

图一

由图1可以发现美国人口的变化规律曲线近似为一条指数函数曲线,因此我们假设美国的人口满足函数关系x=f(t), f(t)=e a+bt,a,b为待定常数,根据

最小二乘拟合的原理,a,b是函数∑

=-

=

n

i

i

i

x t

f

b

a

E

1

2

)

)

(

(

)

,

(

的最小值点。其中x i是t i时刻美国的人口数。利用MATLAB软件中的曲线拟合程序“lsqcurvefit”。

模型二

上述模型对过去的统计数据吻合得较好,但也存在问题,即人口是呈指数规律无止境地增长,此时人口的自然增长率随人口的增长而增长,这不可能。一般说来,当人口较少时增长得越来越快,即增长率在变大;人口增长到一定数量以后,增长就会慢下来,即增长率变小这是因为,自然资源、环境条件等因素不允许人口无限制地增长,它们对人口的增长起着阻滞作用,而且随着人口的增加,阻滞作用越来越大。而且人口最终会饱和,趋于某一个常数x ∞,我们假设人口的静增长率为r(1-x(t)/x ∞),即人口的静增长率随着人口的增长而不断减小,当t →∞时,静增长率趋于零。

按照这个假设,得到

⎪⎩⎪⎨⎧=-=∞00)()1(x t x x x r dt

dx

(1)

这便是荷兰数学家Verhulst 于19世纪中叶提出的阻滞增长模型(logistic 模型)。

利用分离变量法,人口的变化规律为: r t e x x x )1790(3910

)1(1--∞∞

-+= (2)

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