知识讲解_直线的一般式方程及综合_基础

直线的一般式方程及综合

编稿：丁会敏审稿：王静伟

【学习目标】

1．掌握直线的一般式方程；

2．能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处；

3．能利用直线的一般式方程解决有关问题.

【要点梳理】

要点一：直线方程的一般式

关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．

要点诠释：

1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线.

当B≠0时，方程可变形为

A C

y x

B B

=--，它表示过点0,

C

B

⎛⎫

-

⎪

⎝⎭

，斜率为

A

B

-的直线．

当B=0，A≠0时，方程可变形为Ax+C=0，即

C

x

A

=-，它表示一条与x轴垂直的直线．

由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线．

2．在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程（如斜率为2，在y轴上的截距为1的直线，其方程可以是2x―y+1=0，

也可以是

11

22

x y

-+=，还可以是4x―2y+2=0等．）

要点二：直线方程的不同形式间的关系

要点诠释：

在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多（x1≠x2，y1≠y2），应用时若采用(y2―y1)(x―x1)―(x2―x1)(y―y1)=0的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同．

要点三：直线方程的综合应用

1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．

2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．

对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同． （1）从斜截式考虑

已知直线111:b x k y l +=,222:b x k y l +=,

12121212//()l l k k b b αα⇒=⇒=≠；

1212121122

1

tan cot 12

l l k k k k π

αααα⊥⇒-=

⇒=-⇒=-

⇒=- 于是与直线y kx b =+平行的直线可以设为1y kx b =+；垂直的直线可以设为21

y x b k

=-+． （2）从一般式考虑：

11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=

1212120l l A A B B ⊥⇔+=

121221//0l l A B A B ⇔-=且12210A C A C -≠或12210B C B C -≠，记忆式（111

222

A B C A B C =≠） 1l 与2l 重合，12210A B A B -=，12210A C A C -=，12210B C B C -=

于是与直线0Ax By C ++=平行的直线可以设为0Ax By D ++=；垂直的直线可以设为

0Bx Ay D -+=.

【典型例题】

类型一：直线的一般式方程

例1．根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式： （1

A （5，3）；

（2）过点B （―3，0），且垂直于x 轴；

（3）斜率为4，在y 轴上的截距为―2； （4）在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴； （5）经过C （―1，5），D （2，―1）两点； （6）在x ，y 轴上的截距分别是―3，―1．

【答案】（1

30y -+-=（2）x+3=0（3）4x ―y ―2=0（4）4x ―y ―2=0 （5）2x+y ―3=0（6）x+3y+3=0 【解析】 （1

）由点斜式方程得35)y x -=-

30y -+-=．

（2）x=―3，即x+3=0．

（3）y=4x ―2，即4x ―y ―2=0． （4）y=3，即y ―3=0． （5）由两点式方程得

5(1)

152(1)

y x ---=----，整理得2x+y ―3=0． （6）由截距式方程得

131

x y +=--，整理得x+3y+3=0．

【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x 的系数为正，x ，y 的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x 项、y 项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式． 举一反三：

【变式1】已知直线l 经过点A （―5，6）和点B （―4，8），求直线的一般式方程和截距式方程，并画图． 【答案】2x －y+16=0

1816

x y +=- 【解析】 所求直线的一般式方程为2x －y+16=0，截距式方程为1816

x y

+=-．图形如右图所示．

【高清课堂：直线的一般式 381507 例4】

例2．ABC ∆的一个顶点为(1,4)A --，B ∠、C ∠ 的平分线在直线10y +=和10x y ++=上，求直线BC 的方程. 【答案】230x y +-=

【解析】由角平分线的性质知，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等 ，所以可得A 点关于B ∠的平分线的对称点'A 在BC 上，B 点关于C ∠的平分线 的对称点'B 也在BC 上．写出直线''A B 的方程，即为直线BC 的方程.

例3．已知直线1:310l ax y ++=，2:(2)0l x a y a +-+=，求满足下列条件的a 的值．（1）12//l l ；（2）

12l l ⊥．

【思路点拨】利用直线平行和垂直的条件去求解。 【答案】（1）a=3（2）3

2

a = 【解析】

（1）当12//l l 时，

1221(2)130

3(2)10A B A B a a a a -=--⨯=⎧⎨

--⨯≠⎩

， 即2230220

a a a ⎧--=⎨+≠⎩，解得a=3． 所以，当a=3时，12//l l ．

（2）当12l l ⊥时，A 1A 2+B 1B 2=a ×1+3×(a ―2)=0，即4a ―6=0，解得32

a =

．