【精品提分练习】数学新导学笔记人教A全国通用版选修23讲义：第二章 随机变量及其分布2.4

§2.4 正态分布

学习目标 1.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2.了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小.3.会用正态分布去解决实际问题．

知识点一 正态曲线 思考 函数f (x )＝

1

2πσ

22

()2e x μσ--，x ∈R 的图象如图所示．试确定函数f (x )的解析式．

答案 由图可知，该曲线关于直线x ＝72对称，最大值为1

102π

，由函数表达式可知，函数图象的对称轴为x ＝μ， ∴μ＝72，且

12πσ＝1102π

，∴σ＝10. ∴f (x )＝

1

102π

2(72)200

e x --(x ∈R )．

梳理 (1)正态曲线

函数φμ，σ(x )＝

12πσ

22

()2e x μσ--，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x )

的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的性质

①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值

1

σ2π

； ④曲线与x 轴之间的面积为1；

⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，总体的分布越集中，如图乙所示：

知识点二正态分布

bφμ，σ(x)d x，则称随机一般地，如果对于任何实数a，b(a

⎠⎛

a

变量X服从正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)，如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．

知识点三3σ原则

1．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值

(1)P(μ－σ

(2)P(μ－2σ

(3)P(μ－3σ

2．通常服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．

1．函数φμ，σ(x)中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．(×)

2．正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．(×) 3．正态曲线可以关于y轴对称．(√)

类型一正态曲线的图象的应用

例1如图所示是一个正态分布的图象，试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式，求出随机变量总体的均值和方差．

考点正态分布的概念及性质

题点求正态分布的均值或方差

解从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是1

2π

，所以μ＝20.由

1 2πσ＝

1

2π

，解得σ＝ 2.于是该正态分布密度函数的解析式是f(x)＝

1

2π

2

(20)

4

e

x

--

，x∈(－∞，

＋∞)，随机变量总体的均值是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2.

反思与感悟利用图象求正态分布密度函数的解析式，应抓住图象的两个实质性特点：一是

对称轴为x＝μ，二是最大值为1

2πσ

.这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入f(x)中

便可求出相应的解析式．

跟踪训练1某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是()

A．甲科总体的标准差最小

B．丙科总体的平均数最小

C．乙科总体的标准差及平均数都居中

D．甲、乙、丙的总体的平均数不相同

考点正态分布密度函数的概念

题点正态曲线

答案 A

解析由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙．故选A.

类型二利用正态分布的对称性求概率

例2设X～N(1,22)，试求：

(1)P(－15)．

考点正态分布的概念及性质

题点正态分布下的概率计算

解因为X～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2.

(1)P(－1

＝P(μ－σ

(2)因为P (3

所以P (3

2[P (－3

＝1

2[P (1－4

2[P (μ－2σ

2×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. (3)P (X >5)＝P (X ≤－3)

＝12[1－P (－3

2[1－P (1－4

本例条件不变，若P (X >c ＋1)＝P (X

解 因为X 服从正态分布N (1,22)，所以对应的正态曲线关于x ＝1对称．又P (X >c ＋1)＝P (X

反思与感悟 利用正态分布求概率的两个方法

(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x ＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x ＝μ对称的区间上概率相等．如： ①P (X μ＋a )．

(2)“3σ”法：利用X 落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 6,0.954 4,0.997 4求解．

跟踪训练2 已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<2)等于( ) A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.2 考点 正态分布的概念及性质 题点 正态分布下的概率计算 答案 C

解析 ∵随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)， ∴μ＝2，对称轴是x ＝2.

∵P (ξ<4)＝0.8，∴P (ξ≥4)＝P (ξ≤0)＝0.2， ∴P (0<ξ<4)＝0.6， ∴P (0<ξ<2)＝0.3.故选C. 类型三 正态分布的应用

例3 有一种精密零件，其尺寸X (单位：mm)服从正态分布N (20,4)．若这批零件共有5 000个，试求：