弹簧质量阻尼系统模型

自动控制原理综合训练项目题目：关于MSD系统控制的设计

目录

弹簧-质量-阻尼器系统建模与频率特性分析

1设计任务及要求分析

初始条件

已知机械系统如图。

1k y

p

2k

x

图 机械系统图 要求完成的任务

（1） 推导传递函数)(/)(s X s Y ，)(/)(s P s X ，

（2） 给定m N k m N k m s N b g m /5,/8,/6.0,2.0212==•==，以p 为输入)(t u （3） 用Matlab 画出开环系统的波特图和奈奎斯特图，并用奈奎斯特判据分

析系统的稳定性。

（4） 求出开环系统的截止频率、相角裕度和幅值裕度。

（5） 对上述任务写出完整的课程设计说明书，说明书中必须进行原理分析，

写清楚分析计算的过程及其比较分析的结果，并包含Matlab 源程序或Simulink 仿真模型，说明书的格式按照教务处标准书写。

任务分析

由初始条件和要求完成的主要任务，首先对给出的机械系统进行受力分析，列出相关的微分方程，对微分方程做拉普拉斯变换，将初始条件中给定的数据代入，即可得出)(/)(s X s Y ，)(/)(s P s X 两个传递函数。由于本系统是一个单位负反馈系统，故求出的传递函数即为开环传函。后在MATLAB 中画出开环波特图和奈奎斯特图，由波特图分析系统的频率特性，并根据奈奎斯特判据判断闭环系统位于右半平面的极点数，由此可以分析出系统的稳定性。最后再计算出系统的截止频率、相角裕度和幅值裕度，并进一步分析其稳定性能。

2系统分析及传递函数求解

系统受力分析

单自由度有阻尼振系的力学模型如图2-1所示，包括弹簧、质量及阻尼器。以物体的平衡位置0为原点，建立图示坐标轴x 。则物体运动微分方程为

kx x c x

m －＝－ （2-1） 式中 ： x

c -为阻尼力，负号表示阻尼力方向与速度方向相反。 图2-1

将上式写成标准形式，为

0=++kx x c x

m (2-2） 令p 2=

m k , m

c

n =2, 则上式可简化为

022=++p x n x

(2-3) 这就是有阻尼自由振动微分方程。它的解可取st e x =，其中

s 是待定常数。代入（2-1）式得 0)2(22=++st e p ns s ，要使所有时间内上式都能满足，必须0222=++p ns s ，此即微分方程的特征方程，其解为

222,1p n n s -±-= （2-4）

于是微分方程（2-1）的通解为

)(2222212121t

p n t

p n nt

t

s t

s e

c e

c e

e

c e

c x ----+=+= （2-5）

式中待定常数c 1与c 2决定与振动的初始条件。振动系统的性质决定于根式22p n -是实数、零、还是虚数。对应的根s 1与s 2可以是不相等的负实根、相等的负实根或复根。若s 1与s 2为等根时，此时的阻尼系数值称之为临界阻尼系数，记为c c ，即c c ＝2mp 。引进一个无量纲的量ζ，称为相对阻尼系数或阻尼比。

c c c mp c p n /2//===ζ （2-6）

当n>p 或ζ>1,根式22p n -是实数，称为过阻尼状态，当n

1.过阻尼状态

此时ζ>1，即22p n -

均为负值，则t s e 1

及t s e 2

是两根下降的指数曲线，故（2-2）

式所

表示的是两条指数曲线之和，仍按指数衰减，不是振动。图3-2所示为c 1>c 2,c 1<0

时的情况。 图2-2

2.临界阻尼状态

此时ζ＝1，（b ）式中s 1＝s 2＝－n ＝－p ，特征方程的根是重根，方程（2-1）的另一解将为te －pt ，故微分方程（2-1）的通解为

x ＝（c 1＋c 2t ）e －pt （2-7）

式中等号右边第一项c 1e －pt 是一根下降的指数曲线，第二项则可应用麦克劳林级数展开成以下形式：

!

/!3/!2//12322

/22n t p t p t p p t c e c te c n

n t pt pt +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++==

- （2-8） 从上式看出，当时间t 增长时，第二项c 2te －pt 也趋近于零。因此（c ）式表示的运动也不是振动，也是一个逐渐回到平衡位置的非周期运动。

3.弱阻尼状态

此时p>n,或ζ<1。利用欧拉公式

t n p i t n p e

e

t

n p t

p n 2222sin cos 2222-±-==-±-±（2-9）

可将（2-2）式改写为

)

sin cos ()(222221212222t n p D t n p D e e C e C e x nt t

n p i

t

n p i

nt -+-=+=-----（2-10）

或

)sin(22ϕ+-=-t n p Ae x nt （1-11）

令22n p p d -=，则

)sin(ϕ+=-t p Ae x d nt （2-12）

式中A 与ϕ为待定常数，决定于初始条件。设t ＝0时，x ＝x 0，0x x

=，则可求得 00012002

0,)(

x nx x

p

x tg p nx x A d d +=++=- ϕ （2-13）

将A 与ϕ代入（2-4）式，即可求得系统对初始条件的响应，由式（2-13）可知，

系统振动已不再是等幅的简谐振动，而是振幅被限制在曲线nt

Ae

-+-之内随时间不断衰减的衰减振动。如图3-3所示。

图2-3

这种衰减振动的固有圆频率、固有频率和周期分别为

2221ζ-=-=P n P P d （2-14）

2

2222

22211

11221122ζζππζζπ

π-=-=-=-=-=-=T

P n P T f P

n P f d d （2-15）

式中P 、f 、T 是无阻尼自由振动的固有圆频率、固有频率和周期。

由上可见，阻尼对自由振动的影响有两个方面：一方面是阻尼使自由振动的周期增大、频率减小，但在一般工程问题中n 都比P 小得多，属于小阻尼的情况。例ζ=n/p=时，f d =，T d =；而在ζ=时，f d =，T d =，所以在阻尼比较小时，阻尼对系统的固有频率和周期的影响可以略去不计，即可以近似地认为有阻尼自由振动的频率和周期与无阻尼自由振动的频率和周期相等。另一方面，阻尼对于系统振动