解析几何全册课件

定理1.2.2 向量的加法满足下面的运算规律：
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有限个矢量 a1 , a2 ,an 相 加 可 由 矢 量 的 三 角 求 形和 法则推广
自任意点 O开 始 ， 依 次 引 OA1 a1 , A1 A2 a 2 , , An1 An a n ,由 此 得 一 折 线 OA1 A2 An , 于 是 矢 量 OAn a就 是n个 矢 量 a1 , a2 , , an的 和 ， 即 OA OA1 A1 A2 An1 An .
a 和b

(a b) (a a ) (1 )a a a a a a b
3)
a和b
不平行．如图， OAB 是以 a b
ห้องสมุดไป่ตู้
向量为边的三角形，按相似比为

可得出相似
OA1 B1 , 且 OA a, OA1 a, AB b, A1 B1 b,
向量减法 a b a ( b ) b a b b b c a c a (b ) ab
ab ab
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例1 设互不共线的三矢量 a, b与c，试证明顺次将 它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是 它们的和是零矢量.
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a
a
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定义1.1.4 叫做共线向量.
平行于同一直线的一组向量
零向量与任何共线的向量组共线.
定义1.1.5 平行于同一平面的一组向量 叫做共面向量. 零向量与任何共面的向量组共面.
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§1.2 向量的加法
定义1.2.1 设已知矢量 a、 b，以空间任意一点 O为始点 接连作矢量 OA a， AB b得一折线 OAB，从折线的端点 O到另一端点 B的矢量OB c,叫做两矢量 a与b的和，记做 cab
第四章 柱面锥面旋转曲面
与二次曲面
§4.1 柱面 §4.2 锥面 §4.3 旋转曲面
§4.4 椭球面
§4.5 双曲面
§4.6 抛物面
第五章 二次曲线的一般理论
§5.1 二次曲线与直线的相关位置 §5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线 §5.3 二次曲线的切线
§5.4 二次曲线的直径 §5.5 二次曲线的主直径和主方向 §5.6 二次曲线方程的化简与分类
§1.1
向量的概念
定义1.1.1 既有大小又有方向的量叫做向量， 或称矢量. 两类量: 数量(标量):可用一个数值来描述的量; 向量既有大小又有方向的量. 有向线段 向量的几何表示： 有向线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向.
M2
a
M
或 M1 M 2 以 M 1 为起点，M 2 为终点的有向线段. a 向量的模： 向量的大小.| a | 或 | M1 M 2 |
A1 A2 O An-1 An A4 A3
这种求和的方法叫做多边形法则
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abc
ab
c
b
a
a1 a2
a1 a2 an
an
定 义1.2.2 当 矢 量 b与 矢 量 c的 和 等 于 矢 量 a， 即b c a 时，我们把矢量 c叫 做 矢 量 a与b的 差 ， 并 记 做 c a b.
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两个向量的平行关系
定理 设向量 a 0，那么向量 b 平行于 a 的充 分必要条件是：存在唯一的实数 ，使 b a.
证 充分性显然； b 必要性 设 b ‖a 取 , a 当 b 与 a 同向时 取正值， 当 b 与 a 反向时 取负值，即有 b a . b 此时 b 与 a 同向. 且 a a a b . a 的唯一性. 设 b a， 又设 b a， 两式相减，得 ( )a 0， 即 a 0， a 0， 故 0， 即 .
例5 证明四面体对边中点的连线交于一点，且 互相平分. D
§1.6
向量在轴上的射影
§1.8 两向量的向量积
第二章 轨迹与方程
§2.1 §2.2 §2.3 平面曲线的方程 曲面的方程 空间曲线的方程
第三章 平面与空间直线
§3.1 平面的方程 §3.3 两平面的相关位置 §3.5 直线与平面的相关位置 §3.6 空间直线与点的相关位置 §3.2 平面与点的相关位置 §3.4 空间直线的方程 §3.7 空间两直线的相关位置
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定理1.4.2 如果向量 e1 , e 2 不共线，那么向量 r与 e1 , e2 共面的充要条件是 r可以用向量 e1 , e2线性表示， 或者说向量 r可以分解成 e1 , e2的线性组合，即 r x e1 y e2 并且系数 x , y被 e1 , e2 , r唯一确定 . 这时 e1 , e 2叫做平面上向量的基底 . 定理1.4.3 如果向量 e1 , e 2 , e 3 不共面，那么空间 任意向量 r可以由向量 e1 , e 2 , e 3线性表示，或说空间 1.4－2 （ ）
所以 MN // BC 且
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MN
1 BC 2
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b 3a 1 例3 化简 a b 5 b 5 2 b 3a 1 解 a b 5 b 5 2
5 1 (1 3)a 1 5 b 2 5
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2a
1 a 2
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对于非零向量 a 总可以作出一个和它 0 同方向的单位向量 a
1 a a, |a|
0
a | a | a
0
定理1.3.1 数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律： ( a ) ( a ) ( )a （2）第一分配律： ( )a a a （3）第二分配律： (a b ) a b
a
b
B O A
这种求两个向量和的方法叫三角形法则. 定理1.2.1 如果把两个向量 OA 、 OB 为邻边 组成一个平行四边形OACB，那么对角线向量
OC OA OB
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B
C
O
A
这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则
（1）交换律： a b b a . （2）结合律： a b c (a b ) c a (b c ). （3） a ( a ) 0.
设 是一个数，向量a 与 的乘积a 规定为 (1) 0, a 与a 同向，| a | | a | ( 2) 0, a 0 ( 3) 0, a 与a 反向，| a || | | a |
a
HG EF
结论得证.
§1.4 向量的线性关系与向量的分解
定 义1.4.1 由 矢 量a1 , a 2 , , a n与 数 量 1 , 2 , , n 所组成的矢量 a 1 a1 2 a 2 n a n , 叫做矢量 a1 , a 2 , , a n的 线 性 组 合 .
由相似三角形对应边成比例的关系，可以得出
OB1 OB.
而 OB a b, OB1 a b,
故 (a b) a b.
例1设AM是三角形ABC的中线，求证:
1 AM ( AB AC ) 2
证
如图 因为 AM AB BM , AM AC CM 所以 2 AM ( AB AC) (BM CM ), 但 BM CM BM MB 0, 因而 即
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1
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单位向量： 模为1的向量. a
0
零向量： 模为0的向量. 0
定义1.1.2 如果两个向量的模相等且方向 相同，那么叫做相等向量.记为 a b
a
＝
b
所有的零向量都相等. 定义1.1.3 两个模相等，方向相反的向 量叫做互为反向量.
a的反向量记为 a
AB 与BA互为反 向量.
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例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的 四边形必是平行四边形. D C a 证 AM MC b
BM MD
A
M
B
AD AM MD MC BM BC
AD 与 BC 平行且相等, 结论得证.
§1.3
数乘向量
定义1.3.1 实数与矢量a 的乘积是一个矢量，记做 a, 它的 模是 a a ； a的方向，当 0时与a相同，当 0时与a 相反我们把这种运算叫做数量与矢量的乘法，简称为数乘 . .
任意向量 r可以分解成向量 e1 , e2 , e 3的线性组合，即
r x e1 y e2 z e 3 , (1.4 3)
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并且其中系数 x , y , z被 e1 , e 2 , e 3 , r唯一确定 .
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这时 e1 , e2 , e 3叫做空间向量的基底 .
证 设四面体 ABCD一组 对边 AB , CD的中点 E , F的连 两组对边中点分别为 P2 , P3 ,
解析几何课件(第四版)
第一章 向量与坐标
第二章 轨迹与方程
第三章 平面与空间直线
第四章
柱面锥面旋转曲面与二次曲面
第五章 二次曲线的一般理论
第一章 向量与坐标
§1.1 向量的概念 §1.2 向量的加法 §1.3 数量乘向量
§1.4 向量的线性关系与向量的分解
§1.5 标架与坐标 §1.7 两向量的数量积 §1.9 三向量的混合积
A
2 AM AB AC
1 AM ( AB AC ) 2
B M
(图1.11)
C
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例2 用向量方法证明：联结三角形两边中点 的线段平行于第三边且等于第三边的一半. 证 设ΔABC两边AB，AC之中点分别为M，N， 那么 MN AN AM
1 1 AC AB 2 2 1 ( AC AB) 2 1 BC 2
证 必要性 设三矢量a，，可以 bc 构成三角形 ABC，即有 AB a,
A B
C
BC b, CA c，那么AB＋BC＋CA ＝AA 0,即a b c 0
充分性 设a b c 0，作 AB a, BC b, 那么AC a b, 所以AC c 0, 从而c是 AC的反矢量， 因此 c＝CA，所以a，，可构成一个三角形 bc ABC.
5 2a b . 2
例4 试用向量方法证明：空间四边形相邻各 C 边中点的连线构成平行四边形. F
G
B
证: 只要证
D
E
H
A
HG EF
1 1 1 EF EB BF AB BC AC 2 2 2 1 1 1 HG HD DG AD DC AC 2 2 2
定 理1.4.1 如 果 矢 量 e0 ，那么矢量 r与 矢 量 e共 线的充要条件是 r可 以 用 矢 量 e线 性 表 示 ， 或 者 说 r 是e的 线 性 组 合 ， 即 r＝x e， 并且系数 x被 e , r唯 一 确 定 . (1.4 1)
这时e称为用线性组合来表示 共线矢量的基底 .
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1)
当 0 或 a b 中有一个为零向量时，
(a b ) a b
显然成立，
除这些情况外，现分别按下面两种情况证明．
2)
平行．可以找到数 使得 b a , 这只需按 b 与 a 同向或相反，取 |b| |b| 或 |a| |a|