解析几何课件(第四版)教学课件
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1-5解析几何吕林根第四版
因为M1为P2 P3的中点,故M1(
x2
+ 2
x3
，y2
+ 2
y3 ，z2
+ 2
z3
),又因为G为重心，
故有P1G 2= GM1，即重心G把中线分成定比λ 2，
P1
利用定比分点坐标公式可得
x x= 1 + x2 + x3 ，y y= 1 + y2 + y3 ，z
3
3
z1 + z2 + z3 . G 3
e1, e2 , e3 两两相互垂直的笛卡尔标架叫做笛卡尔直角标架；简称直角标架；
在一般情况下，叫做仿射标架.
P
e3 r
e1 O
e2
e3 e1 O e2
e3 e1 O e2
注: (1) 标架{O; e1, e2 , e3}中的向量 e1, e2, e3 是有顺序的，交换它们
的次序将会得到另一标架.
(2) 空间标架有无穷多个.
e3
e1 O
e2
e3
e2 O
e1
右手（旋）标架
左手（旋）标架
二、坐标
{ } 定义 1.5.2 （1）式中的 x, y, z 叫做向量 r 关于标架 O;e1, e2, e3 的
坐标或称为分量，记做 r{x, y, z} 或{x, y, z} .
{ } 定义 1.5.3 对于取定了标架 O;e1,e2,e3 的空间中任意点 P ，向量 OP { } 叫做点 P 的向径，或称点 P 的位置向量，向径 OP 关于标架 O;e1,e2,e3 的坐 { } 标 x, y, z 叫做点 P 关于标架 O;e1,e2,e3 的坐标，记做 P ( x, y, z) 或 ( x, y, z).
空间解析几何北师大第四版
空间解析几何北师大第四版稿子一：嘿，朋友们！今天咱们来聊聊《空间解析几何北师大第四版》这本书。
你知道吗，一翻开这本书，就好像打开了一个神奇的几何世界大门。
那些复杂又有趣的图形和公式，一开始可能会让咱有点头疼，但慢慢琢磨，就会发现其中的奥妙。
比如说那些三维空间里的点、线、面，以前觉得好抽象，可在这本书里，通过详细的讲解和生动的例子，突然就变得清晰起来。
它就像一个耐心的老师，一点点地给咱解释，带着咱在这个奇妙的空间里探索。
还有那些坐标变换的部分，刚开始觉得好绕啊，但当你真正理解了，就会有一种“哇塞，原来如此”的感觉。
就好像解开了一个谜题，特别有成就感。
而且这本书的配图也很棒，不是那种干巴巴的，而是能让人一下子就看懂的那种。
每次看到那些图，就觉得几何好像也没那么难了。
《空间解析几何北师大第四版》虽然有点挑战，但只要用心去读，真的能收获很多有趣的知识，让咱们对空间的理解更上一层楼！稿子二：亲人们，咱们今天来说说《空间解析几何北师大第四版》。
一提到这书，我就想起刚开始接触它的时候，心里那个忐忑哟！觉得这肯定是一本超级难啃的“硬骨头”。
可是真正读进去之后，发现也没那么可怕嘛！里面讲的那些空间向量、平面方程啥的，仔细琢磨琢磨，还挺有意思的。
比如说空间向量，以前觉得这概念太高大上了，搞不懂。
但书里通过一个个实际的例子，让我明白了原来它在生活中也有很多应用呢。
还有那个曲面方程，刚开始看真的是一头雾水。
但跟着书里的步骤一步一步来，突然就开窍了。
就好像黑暗中突然亮起了一盏灯，那种感觉太爽啦！而且哦，我发现每次做书里的习题，虽然会做错，但通过纠错的过程，能让我对知识点的理解更深刻。
这就像是一次次打怪升级，虽然过程有点艰辛，但通关的时候，那叫一个开心！所以啊，别被这本书的外表吓到，只要咱们勇敢地去探索，就能在这个空间解析几何的世界里发现好多好玩的东西，让咱们的大脑变得更强大！。
解析几何课件(吕林根许子道第四版)(精)
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第一章 向量与坐标
§1.3 数乘向量
表示与非零向量 设ea a 同方向的单位向量，
按照向量与数的乘积的规定，
a | a | ea
a . ea |a |
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.
上一页下一页ຫໍສະໝຸດ §1.2 向量的加法定 义1.2.1 设 已 知 矢 量 a、 b ，以空间任意一点 O为 始 点 接连作矢量 OA a， AB b得 一 折 线 OAB， 从 折 线 的 端 点 O到 另 一 端 点 B的 矢 量 OB c , 叫 做 两 矢 量 a与b的 和 ， 记 做 cab
（2）结合律： a b c (a b ) c a (b c ). （3） a ( a ) 0.
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第一章 向量与坐标
§1.2 向量的加法
有限个矢量 a1 , a2 ,an 相 加 可 由 矢 量 的 三 角 求 形和 法则推广
解析几何课件(第四版)
吕林根 许子道等编
解析几何的基本思想是用代数的方法来研究 几何,为将代数运算引导几何中,采用的最根本最 有效的做法----有系统的把空间的几何结构代数 化,数量化.
第一章 第二章 第三章 第四章 向量与坐标 轨迹与方程 平面与空间直线 柱面锥面旋转曲面与二次曲面
第五章 二次曲线的一般理论
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第一章 向量与坐标
§1.4向量的线性关系与向量的分解
定理1.4.2 如果向量 e1 , e 2 不共线，那么向量 r与 e1 , e2 共面的充要条件是 r可以用向量 e1 , e2线性表示， 或者说向量 r可以分解成 e1 , e2的线性组合，即 r x e1 y e2 并且系数 x , y被 e1 , e2 , r唯一确定 . 这时 e1 , e 2叫做平面上向量的基底 . 定理1.4.3 如果向量 e1 , e 2 , e 3 不共面，那么空间 任意向量 r可以由向量 e1 , e 2 , e 3线性表示，或说空间 （ ） 1.4－2
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第一章 向量与坐标
§1.3 数乘向量
表示与非零向量 设ea a 同方向的单位向量，
按照向量与数的乘积的规定，
a | a | ea
a . ea |a |
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.
上一页下一页ຫໍສະໝຸດ §1.2 向量的加法定 义1.2.1 设 已 知 矢 量 a、 b ，以空间任意一点 O为 始 点 接连作矢量 OA a， AB b得 一 折 线 OAB， 从 折 线 的 端 点 O到 另 一 端 点 B的 矢 量 OB c , 叫 做 两 矢 量 a与b的 和 ， 记 做 cab
（2）结合律： a b c (a b ) c a (b c ). （3） a ( a ) 0.
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第一章 向量与坐标
§1.2 向量的加法
有限个矢量 a1 , a2 ,an 相 加 可 由 矢 量 的 三 角 求 形和 法则推广
解析几何课件(第四版)
吕林根 许子道等编
解析几何的基本思想是用代数的方法来研究 几何,为将代数运算引导几何中,采用的最根本最 有效的做法----有系统的把空间的几何结构代数 化,数量化.
第一章 第二章 第三章 第四章 向量与坐标 轨迹与方程 平面与空间直线 柱面锥面旋转曲面与二次曲面
第五章 二次曲线的一般理论
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第一章 向量与坐标
§1.4向量的线性关系与向量的分解
定理1.4.2 如果向量 e1 , e 2 不共线，那么向量 r与 e1 , e2 共面的充要条件是 r可以用向量 e1 , e2线性表示， 或者说向量 r可以分解成 e1 , e2的线性组合，即 r x e1 y e2 并且系数 x , y被 e1 , e2 , r唯一确定 . 这时 e1 , e 2叫做平面上向量的基底 . 定理1.4.3 如果向量 e1 , e 2 , e 3 不共面，那么空间 任意向量 r可以由向量 e1 , e 2 , e 3线性表示，或说空间 （ ） 1.4－2
解析几何课件全册(第四版)
a
b
c
(a
b)
c
a
(b
c ).
（3）
a
(a)
0.
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有限个矢量a1, a2 ,an相加可由矢量的三角形求和 法则推广
自 任 意 点O开 始 ， 依 次 引OA1 a1 , A1 A2 a2 ,,
An1 An an ,由 此 得 一 折 线OA1 A2 An , 于 是 矢 量OAn
a0 1 a, |a|
a | a | a0
定理1.3.1 数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律：(a) ( a) ()a
（2）第一分配律：
(
)a
a
a
（3）第二分配律：
(a
b)
a
b
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两个向量的平行关系
定理 设向量 a 0，那么向量 b 平行于 a 的充
cab
a
B
b
O
A
这种求两个向量和的方法叫三角形法则.
定理1.2.1 如果把两个向量 OA、OB 为邻边
组成一个平行四边形OACB，那么对角线向量
OC OA OB
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B
C
O
A
这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则
定理1.2.2 向量的加法满足下面的运算规律：
（1）交换律：
a
b
b
a.
（2）结合律：
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(a
b)
a
b
1) 当 0 或 ab 中有一个为零向量时，
四边形必是平行四边形.
证 AM MC BM MD
D b
《大学数学解析几何》PPT课件
➢笛卡尔的《几何》虽然不像现在的解析几何那样，给读者展现 出一个从建立坐标系和方程到研究方程的循序过程，但是他通过 具体的实例，确定表达了他的新思想和新方法．这种思想和方法 尽管在形式上没有现在的解析几何那样完整，但是在本质上它却 是地道的解析几何．
➢笛卡尔的解析几何有两个基本思想： （１）用有序数对表示点的坐标； （２）把互相关联的两个未知数的代数方程，看成平面上的一 条曲线。
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四、学习要求
１、课前预习. ２、课上认真听讲，积极思考，记好笔记. ３、课后及时复习，独立认真地完成作业. ４、课外适当阅读课外参考书，拓宽知识面，加深对课本内 容的理解.
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五、考核方式及成绩评定
考核方式：闭卷考试 总评成绩＝平时成绩×30%
+期末考试成绩70%
《解析几何》
－Chapter 1
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3．解析几何创立的意义
➢ 笛卡尔和费马创立解析几何，在数学史上具有划时代的意义。
➢解析几何沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间 的联系，从此，代数与几何这两门学科互相吸取营养而得到迅速 发展，并结合产生出许多新的学科，近代数学便很快发展起来了。
➢恩格斯高度评价了笛卡尔的革新思想。他说：“数学中的转折 点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩 证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的 了。”
关于解析几何产生的历史，可以查阅数学史方面的 书，例 如李文林的《数学史概论》（高等教育出版社），或 上网查阅 查关的内容，网址：
/2/22/07/0641.htm
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二、本课程的主要内容及基本要求
本课程在中学平面向量和平面解析几何的基础上，进一步 学习空间向量和空间解析几何。主要内容有：
➢笛卡尔的解析几何有两个基本思想： （１）用有序数对表示点的坐标； （２）把互相关联的两个未知数的代数方程，看成平面上的一 条曲线。
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四、学习要求
１、课前预习. ２、课上认真听讲，积极思考，记好笔记. ３、课后及时复习，独立认真地完成作业. ４、课外适当阅读课外参考书，拓宽知识面，加深对课本内 容的理解.
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五、考核方式及成绩评定
考核方式：闭卷考试 总评成绩＝平时成绩×30%
+期末考试成绩70%
《解析几何》
－Chapter 1
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3．解析几何创立的意义
➢ 笛卡尔和费马创立解析几何，在数学史上具有划时代的意义。
➢解析几何沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间 的联系，从此，代数与几何这两门学科互相吸取营养而得到迅速 发展，并结合产生出许多新的学科，近代数学便很快发展起来了。
➢恩格斯高度评价了笛卡尔的革新思想。他说：“数学中的转折 点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩 证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的 了。”
关于解析几何产生的历史，可以查阅数学史方面的 书，例 如李文林的《数学史概论》（高等教育出版社），或 上网查阅 查关的内容，网址：
/2/22/07/0641.htm
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二、本课程的主要内容及基本要求
本课程在中学平面向量和平面解析几何的基础上，进一步 学习空间向量和空间解析几何。主要内容有：
《空间解析几何》课件
了解空间解析几何在计算机图形 学中的应用，如3D建模、动画制 作等。
THANKS
感谢观看
通过参数方程表示曲面的形式，如x = x(u, v)，y = y(u, v)，z = z(u, v)。
曲面方程
表示三维空间中曲面的方程形式，如z = f(x, y)。
空间曲线的方程
1 2
参数曲线
通过参数方程表示曲线的形式，如x = x(t)，y = y(t)，z = z(t)。
空间曲线
表示三维空间中曲线的方程形式，如F(x, y, z) = 0。
空间解析几何的应用领域
总结词
空间解析几何在许多领域都有广泛的应用。
详细描述
在物理学中，空间解析几何用于描述物理现象的空间关系，如力学、电磁学和光学等领 域。在计算机图形学中，空间解析几何用于建模和渲染三维场景。在工程学中，空间解 析几何用于设计和分析机械、建筑和航空航天等领域中的物体和结构。此外，空间解析
03
空间平面与直线
空间平面的方程
平面方程的基本形式
Ax + By + Cz + D = 0
特殊平面
平行于坐标轴的平面、过原点的平面、与坐标轴垂直的平面
参数方程
当平面过某一定点时，可以用参数方程表示平面的方程
空间直线的方程
直线方程的基本形式
Ax + By + Cz = 0
特殊直线
与坐标轴平行的直线、过原点的直线、与坐标轴垂直的直线
利用代数方法，如向量运算、线性代数等， 求解空间几何问题。
几何意义
将代数解转化为几何意义，解释其实际意义 。
如何理解空间几何中的概念？
向量的概念
理解向量的表示、向量的加法、数乘以及向量的模 等基本概念。
THANKS
感谢观看
通过参数方程表示曲面的形式，如x = x(u, v)，y = y(u, v)，z = z(u, v)。
曲面方程
表示三维空间中曲面的方程形式，如z = f(x, y)。
空间曲线的方程
1 2
参数曲线
通过参数方程表示曲线的形式，如x = x(t)，y = y(t)，z = z(t)。
空间曲线
表示三维空间中曲线的方程形式，如F(x, y, z) = 0。
空间解析几何的应用领域
总结词
空间解析几何在许多领域都有广泛的应用。
详细描述
在物理学中，空间解析几何用于描述物理现象的空间关系，如力学、电磁学和光学等领 域。在计算机图形学中，空间解析几何用于建模和渲染三维场景。在工程学中，空间解 析几何用于设计和分析机械、建筑和航空航天等领域中的物体和结构。此外，空间解析
03
空间平面与直线
空间平面的方程
平面方程的基本形式
Ax + By + Cz + D = 0
特殊平面
平行于坐标轴的平面、过原点的平面、与坐标轴垂直的平面
参数方程
当平面过某一定点时，可以用参数方程表示平面的方程
空间直线的方程
直线方程的基本形式
Ax + By + Cz = 0
特殊直线
与坐标轴平行的直线、过原点的直线、与坐标轴垂直的直线
利用代数方法，如向量运算、线性代数等， 求解空间几何问题。
几何意义
将代数解转化为几何意义，解释其实际意义 。
如何理解空间几何中的概念？
向量的概念
理解向量的表示、向量的加法、数乘以及向量的模 等基本概念。
解析几何课件
直线、圆、椭圆等。
解析几何模型的动画演示
动画制作基础
了解如何使用Python或MATLAB制作动画 。
解析几何模型动画演示
学习如何将解析几何模型制作成动画演示， 例如直线的旋转、圆的滚动等。
动画演示应用
了解动画演示在解析几何中的应用，例如轨 迹的形成、运动的模拟等。
THANKS
感谢观看
解析几何在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛的应用 ，例如在物理学中，解析几何被用来解决力学、电磁学和光 学等问题。
解析几何的发展历程
解析几何的起源
解析几何起源于17世纪，主要代 表人物有法国数学家费马和荷兰 数学家斯蒂文。
解析几何的发展
18世纪和19世纪是解析几何发展 的黄金时期，许多重要的数学家 如欧拉、高斯等都对解析几何做 出了杰出的贡献。
标。
空间平面与方程
平面的定义
平面是一组无穷多个点组成的集合，这些点都在同一平面上。
平面方程
平面的方程通常用三元一次方程表示，即Ax+By+Cz+D=0，其中 (x,y,z)是平面上任意一点的位置坐标，A、B、C和D是方程的系数 。
平面方程的应用
通过给定平面的方程和任意一点的位置坐标，可以判断该点是否在 平面上。
解析几何在经济学中的应用
01
金融数据分析
02
股票价格预测
03
04
05
经济模型构建与优化
市场分析与管理决策
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
企业选址与布局优化
05
解析几何的进阶概念
直线的极坐标方程
极坐标系
01
极坐标系是一种用极径和极角表示平面上的点的坐标的方法。
直线极坐标方程的一般形式
空间解析几何课件
故 0, 即 .
则 ( ) a 0
2020/7/9
9
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“ ” 已知 b＝ a ,
则
b＝0
a , b 同向
a∥b
a , b 反向
例1. 设 M 为
ABCD 对角线的交点,
试用a 与b 表示 MA, MB , MC , MD.
解: a b AC
2 MA
a ab
b
ab b a
运算规律 :
a 交换律 a b b a
结合律 ( a b ) c a (b c ) a b c
三角形法则可推广到多个向量相加 .
2020/7/9
5
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s a1 a2 a3 a4 a5
a4
a5
a3 s
a2 a1
2020/7/9
6
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2. 向量的减法
三角不等式
2020/7/9
a
7
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3. 向量与数的乘法
是一个数 ,
与 a 的乘积是一个新向量, 记作
规定 :
a
.
总之: 运算律 :
结合律
a
a
(
a)
(
a)
a
可见
11aaa;a ;
分配律
(a
b)
a
b
则有单位向量
在空间直角坐标系下,
任意向量 r 可用向径 OM 表示.
以
i
,
j
,
k
分别表示
x,
y,
z 轴上的单位向量
,
设点 M
解析几何课件(吕林根许子道第四版)(精)
空间中点与平面的关系
点在平面内：点 位于平面内满足 平面的定义和性 质
点在平面外：点 不在平面内与平 面平行或与平面 相交
点的轨迹：点按 照某种规律在平 面上移动形成轨 迹
点的射影：点在 平面上的投影与 原点连线与平面 的夹角关系
空间中直线与平面的关系
直线与平面的位置关系：直线要么在平面上要么与平面平行要么与平面相交 直线与平面的交点：直线与平面的交点称为直线在平面上的投影 直线与平面的角度：直线与平面之间的角度称为线面角可以通过几何或向量方法求解 直线与平面的距离：直线到平面的最短距离称为线到面的距离可以通过几何或向量方法求解
05
解析几何中的投影与透视
投影的基本概念
投影的定义：通过光线将物体投射到平面上生成影子。 投影的分类：中心投影、平行投影。 投影的应用：建筑设计、工程制图、动画制作等领域。 投影的性质：与光源、物体和投影面的位置关系有关。
透视的基本概念
透视的定义：通过透明平面观察物体研究物体在平面上的投影从而表现出物体的三维空间 感。
应用：在解析几何中坐标变换被广泛应用于解决各种实际问题如平面几何、 立体几何、曲线和曲面等。 意义：通过坐标变换可以深入理解几何图形的内在性质和规律进一步探索 几何图形的变换和对称等特性。
图形变换
平移变换：将图形在平面内沿某一方向移动一定的距离而不改变其形状和大小。 旋转变换：将图形绕某一点旋转一定的角度而不改变其形状和大小。 伸缩变换：将图形按一定的比例进行放大或缩小而不改变其形状和大小。 对称变换：将图形关于某一直线或点进行翻转或反射而不改变其形状和大小。
第四 版)(精).ppt
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汇报人：
目录
01 课件概览 02 解析几何基础知识 03 解析几何中的曲线与方程 04 解析几何中的平面与空间 05 解析几何中的投影与透视 06 解析几何中的变换与对称
高等数学《空间解析几何(第1章)》课件
个或三个以上平行于同一平面的一组向量叫做___ 共__面__向__量___； 7、两向量_模__相__等__且__方__向，相我同们称这两个向量相等； 8、两个模相等、__方__向__相__反____的向量互为逆向量； 9、把空间中一切单位向量归结到共同的始点，则终点
构成__半__径__为__1_的__球_； 面
|
a
|
|
a
|
a
0
a 0
a与a 反向，
|
a
||
|
|
a
|
a
2a
1
a
2
数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律：
(
a)
(
a)
(
)a
（2）分配律： ( )a a a
(a
b)
a
b
思考
1.向量 a ，b 平行(共线)条件是什么？
2.与向量 a 0共线的单位向量________.
e3 O e2
e1
一个空间标架,决定一个空间坐标系
z
e3
O
e2
e1 x
当{O; e1, e2 , e3 }确定后, e1, e2 , e3依次确定以O为原点 的三数轴:x轴(横轴),y轴(纵轴), y z轴(竖轴),统称坐标轴. 它们构成空间坐标系o xyz.
也用{O; e1, e2 , e3 }表示. 把e1, e2 , e3称为坐标向量.
e3
F
的中点为P1 , 其余各组对边
中点分别为P2 , P3 .
A
P1
e2
C
只需证明P1, P2 , P3三点
重合即可.
E
e1 B
取 AB e1, AC e2 , AD e3 , 先求 AP1用e1, e2 ,e3表示的关系式.
构成__半__径__为__1_的__球_； 面
|
a
|
|
a
|
a
0
a 0
a与a 反向，
|
a
||
|
|
a
|
a
2a
1
a
2
数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律：
(
a)
(
a)
(
)a
（2）分配律： ( )a a a
(a
b)
a
b
思考
1.向量 a ，b 平行(共线)条件是什么？
2.与向量 a 0共线的单位向量________.
e3 O e2
e1
一个空间标架,决定一个空间坐标系
z
e3
O
e2
e1 x
当{O; e1, e2 , e3 }确定后, e1, e2 , e3依次确定以O为原点 的三数轴:x轴(横轴),y轴(纵轴), y z轴(竖轴),统称坐标轴. 它们构成空间坐标系o xyz.
也用{O; e1, e2 , e3 }表示. 把e1, e2 , e3称为坐标向量.
e3
F
的中点为P1 , 其余各组对边
中点分别为P2 , P3 .
A
P1
e2
C
只需证明P1, P2 , P3三点
重合即可.
E
e1 B
取 AB e1, AC e2 , AD e3 , 先求 AP1用e1, e2 ,e3表示的关系式.
解析几何全册课件
易错点和难点的 避免：认真审题、 仔细计算、规范 答题，避免粗心 大意和盲目做题
感谢观看
汇报人：XX
解析几何全册课件大纲
汇报人：XX
目录
Contents
01 添 加 目 录 项 标 题 02 解 析 几 何 概 述 03 平 面 解 析 几 何 04 空 间 解 析 几 何 05 解 析 几 何 中 的 变 换 06 解 析 几 何 中 的 重 要 定 理 和 公 式
01
添加章节标题
02
解析几何概述
空间直线方程
空间直线方程的定义 空间直线方程的表示方法 空间直线方程的性质 空间直线方程的应用
空间平面方程
空间平面方程的定义 空间平面方程的表示方法 空间平面方程的性质 空间平面方程的应用
球面和旋转曲面
球面：定义、性质、方程 旋转曲面：定义、性质、方程 球面和旋转曲面的应用：几何、物理、工程等领域 球面和旋转曲面的实例：球、圆柱、圆锥、球面镜等
的应用
空间曲线和 曲面方程： 描述空间中 曲线和曲面 的形状和位
置
空间解析几 何在实际生 活中的应用： 如建筑设计、 机械制造等
领域
变换中的重要定理和公式
旋转变换：旋转角度、旋转中心、旋转 矩阵
投影变换：投影矩阵、投影向量
平移变换：平移向量、平移矩阵
反射变换：反射向量、反射矩阵
缩放变换：缩放因子、缩放矩阵
05
解析几何中的变换
平移变换
定义：将图形 沿某个方向移 动一定距离的
变换
性质：保持图 形的形状和大
小不变
应用：在解析 几何中，平移 变换常用于求 解方程、证明
定理等
例子：平移变 换可以将一个 图形移动到另 一个位置，例 如将直线y=x 平移到y=x+1
大学解析几何第四版分解
.
.
bc
将平行四边形一投一转
(a+b)c=(a c)+(b c)
b
c
a b
a
S=|a b|
h
4. 混合积的几何意义
h
a
c
a b
b
4. 混合积的几何意义
.
h
a
c
a b
b
4. 混合积的几何意义
.
其混合积 [abc] = 0
三矢 a, b, c共面
因此，
x
z
y
0
母线
F( x,y )=0
6. 一般柱面 F(y, z)=0
a
b
z
x
y
o
7. 椭圆柱面
z
x
y = 0
y
o
8. 双曲柱面
z
x
y
o
9. 抛物柱面
曲线 C
C
y
z
o
绕 z轴
10. 旋转面的方程
曲线 C
x
C
y
z
o
绕 z轴
10. 旋转面的方程
曲线 C
旋转一周得旋转曲面 S
C
S
M
N
z
P
y
z
o
绕 z轴
f (y1, z1)=0
主 目 录( 1— 30 )
28
29
30
.
八个卦限
z
y
x
0
1. 空间直角坐标系
八个卦限
z
y
x
0
1. 空间直角坐标系
八个卦限
z
y
x
Ⅱ
Ⅲ
Ⅰ
Ⅳ
.
bc
将平行四边形一投一转
(a+b)c=(a c)+(b c)
b
c
a b
a
S=|a b|
h
4. 混合积的几何意义
h
a
c
a b
b
4. 混合积的几何意义
.
h
a
c
a b
b
4. 混合积的几何意义
.
其混合积 [abc] = 0
三矢 a, b, c共面
因此，
x
z
y
0
母线
F( x,y )=0
6. 一般柱面 F(y, z)=0
a
b
z
x
y
o
7. 椭圆柱面
z
x
y = 0
y
o
8. 双曲柱面
z
x
y
o
9. 抛物柱面
曲线 C
C
y
z
o
绕 z轴
10. 旋转面的方程
曲线 C
x
C
y
z
o
绕 z轴
10. 旋转面的方程
曲线 C
旋转一周得旋转曲面 S
C
S
M
N
z
P
y
z
o
绕 z轴
f (y1, z1)=0
主 目 录( 1— 30 )
28
29
30
.
八个卦限
z
y
x
0
1. 空间直角坐标系
八个卦限
z
y
x
0
1. 空间直角坐标系
八个卦限
z
y
x
Ⅱ
Ⅲ
Ⅰ
Ⅳ
解析几何课件
有向线段
a
M
M2
或 M1 M 2 以 M 1 为起点，M 2 为终点的有向线段. a
利用这种对应,直观定义两个向量的垂直(或正交),平行.
1
,
|| ,
规定：零向量与任何向量正交.
注意向量相等与有向线段相等的差异.
单位向量： 零向量：
长度为1的向量. 长度为0的向量.
0
定义 设P1, P2为通常直线上的两个相异的点, P为该直 线上任一通常点. 定义
P1 P ( P1 , P2 , P ) PP2
为P1, P2 , P的简单比, 或称单比. 称P1, P2为基点, P为分点.
定理3. , , 不共面, 则
任意向量δ ,可以由, , 线性表出, 即存在数a,b,c, δ=a+b+c .
= a(DO+OA) + b(DO+OB) + c(DO+OC) = aDA + bDB + cDC = . 令d = (a+b+c)即可. C D
O
B
A
证明: () 不妨设a 0. a + b + c + d = 0 d = (a+b+c). aDA + bDB + cDC = a(DO+OA) + b(DO+OB) + c(DO+OC) = aOA + bOB + cOC (a+b+c)OD = aOA + bOB + cOC + dOD = C D
定理,
两非零向量
空间解析几何简介课件
一点 M 的线速度 的表示式 .
解: 在轴 l 上引进一个角速度向量 , 使 , 其
方向与旋转方向符合右手法则 , 在 l 上任取一点 O, 作
向径
它与 的夹角为 , 则
点 M离开转轴的距离
a r sin
a M
且
符合右手法则
l
v r
O
*三、向量的混合积
1. 定义 已知三向量 a , b , c , 称数量
设 P是 中3一个平面， VP 定义如上，则 中3 与二维子
空间VP 正交的非零向量称为平面P的法向量；平面 P的
所有法向量添上零向量组成 的3 一个一维子空间， 中3
以平面 的P法向量为方向向量的直线称为平面 的法P 线 。
a b c c Pr jc a b c Prjc a Prjc b
c Pr jc a c Pr jc b a c b c
4. 数量积的坐标表示
设 a ax e1 ay e2 az e3 , b bx e1 by e2 bz e3 ,则
( ax e1 ay e2 az e3 ) (bx e1 by e2 bz e3 )
内容小结
设 a (ax , ay , az ) , b (bx ,by ,bz ), c (cx , cy , cz )
1. 向量运算
加减: 数乘: 点积:
a b (ax bx , ay by , az bz )
a (ax ,ay ,az )
a b axbx ayby azbz
叉积:
i jk ab ax ay az
bx by bz
ax ay az
混合积: a b c ( a b ) c bx by bz
2. 向量关系:
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定理1.2.2 向量的加法满足下面的运算规律：
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有限个矢量 a1 , a2 ,an 相 加 可 由 矢 量 的 三 角 求 形和 法则推广
自任意点 O开 始 ， 依 次 引 OA1 a1 , A1 A2 a 2 , , An1 An a n ,由 此 得 一 折 线 OA1 A2 An , 于 是 矢 量 OAn a就 是n个 矢 量 a1 , a2 , , an的 和 ， 即 OA OA1 A1 A2 An1 An .
a
b
B O A
这种求两个向量和的方法叫三角形法则. 定理1.2.1 如果把两个向量 OA 、 OB 为邻边 组成一个平行四边形OACB，那么对角线向量
OC OA OB
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B
C
O
A
这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则
（1）交换律： a b b a . （2）结合律： a b c (a b ) c a (b c ). （3） a ( a ) 0.
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§1.3
数乘向量
定义1.3.1 实数与矢量a 的乘积是一个矢量，记做 a, 它的 模是 a a ； a的方向，当 0时与a相同，当 0时与a 相反我们把这种运算叫做数量与矢量的乘法，简称为数乘 . .
设 是一个数，向量a 与 的乘积a 规定为 (1) 0, a 与a 同向，| a | | a | ( 2) 0, a 0 ( 3) 0, a 与a 反向，| a || | | a |
§1.6
向量在轴上的射影
§1.8 两向量的矢性积
第二章 轨迹与方程
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 平面曲线的方程 曲面的方程 母线平行与坐标轴的柱面方程 空间曲线的方程
第三章 平面与空间直线
§3.1 平面的方程 §3.3 两平面的相关位置 §3.5 直线与平面的相关位置 §3.7 空间直线与点的相关位置 §3.2 平面与点的相关位置 §3.4 空间直线的方程 §3.6 空间两直线的相关位置
ab ab
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例1 设互不共线的三矢量 a, b与c，试证明顺次将 它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是 它们的和是零矢量.
C
证 必要性 设三矢量a，，可以 bc 构成三角形 ABC，即有 AB a, A B BC b, CA c，那么AB＋BC＋CA ＝AA 0,即a b c 0 充分性 设a b c 0，作 AB a, BC b, 那么AC a b, 所以AC c 0, 从而c是 AC的反矢量， 因此 c＝CA，所以a，，可构成一个三角形 bc ABC.
§1.1
向量的概念
定义1.1.1 既有大小又有方向的量叫做向量， 或称矢量. 两类量: 数量(标量):可用一个数值来描述的量; 向量(矢量)既有大小又有方向的量. 有向线段 向量的几何表示： 有向线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向.
M2
a
M
或 M1 M 2 以 M 1 为起点，M 2 为终点的有向线段. a 向量的模：向量的大小.| a | 或 | M1 M 2 |
解析几何课件(第四版)
第一章 向量与坐标
第二章 轨迹与方程
第三章 平面与空Байду номын сангаас直线
第四章
柱面锥面旋转曲面与二次曲面
第五章 二次曲线的一般理论
第一章 向量与坐标
§1.1 向量的概念 §1.2 向量的加法 §1.3 数乘向量
§1.4 向量的线性关系与向量的分解
§1.5 标架与坐标 §1.7 两向量的数性积 §1.9 三向量的混合积
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1
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单位向量： 模为1的向量. ea 或 e M M
零向量： 模为0的向量.0
1
2
定义1.1.2 如果两个向量的模相等且方向 相同，那么叫做相等向量.记为 a b
a
＝
b
所有的零向量都相等. 定义1.1.3 两个模相等，方向相反的向 量叫做互为反向量. a的反矢量记为 a
AB与BA互为反矢量 .
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a
a
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定义1.1.4 叫做共线向量.
平行于同一直线的一组向量
零向量与任何共线的向量组共线.
定义1.1.5 平行于同一平面的一组向量 叫做共面向量. 零向量与任何共面的向量组共面.
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§1.2 向量的加法
定 义1.2.1 设 已 知 矢 量 a、 b ，以空间任意一点 O为 始 点 接连作矢量 OA a， AB b得 一 折 线 OAB， 从 折 线 的 端 点 O到 另 一 端 点 B的 矢 量 OB c , 叫 做 两 矢 量 a与b的 和 ， 记 做 cab
第四章 柱面锥面旋转曲面
与二次曲面
§4.1 柱面 §4.2 锥面 §4.3 旋转曲面
§4.4 椭球面
§4.5 双曲面
第五章 二次曲线的一般理论
§5.1 二次曲线与直线的相关位置 §5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线 §5.3 二次曲线的切线
§5.4 二次曲线的直径 §5.5 二次曲线的主直径和主方向 §5.6 二次曲线方程的化简与分类 §5.7 应用不变量化简二次曲线方程
A1 A2 O An-1 An A4 A3
这种求和的方法叫做多边形法则
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定 义1.2.2 当 矢 量 b与 矢 量 c的 和 等 于 矢 量 a， 即b c a 时，我们把矢量 c叫 做 矢 量 a与b的 差 ， 并 记 做 c a b.
向量减法 a b a ( b ) b a b b b c a c a (b ) ab