北京师范大学 研究生考试 数学分析 近2年真题

xn . 是 f n ( x) 的根，则 nlim 6 3 6

5、 （14 分） 计算 f ( y )
x2 e cos(2 xy )dx, y R . 0
6、 （15 分） 设函数 g ( x) 在 0, a 上连续可微， g (0) 0 .证明
n

1 k 1 k
n


1 l - C0 1 p p 0 p n 1 n
2、 （14 分）
n n 求最小的 和最大的 ，使所有的正整数 n 有 。 （ 1 ） e （ 1 ）
1 n
1 n
3、 （14 分）
' 设 f ( x) 在实轴上有界且连续可微， 并满足 f（x） . f （ x） 1，x （ - ， ）
x y x y f f , .证明. I (( ) 2 ( ) 2 )dxdy x u v v u y
f x f y
3
4、 （20 分）
f（x）dx 收敛，证明存在 1， ） 设广义积分 0 ，使得 f（x） dx 1 x 1f(x)dx 。
1
学而优则仕
5、 （20 分） 设 f 是 R 的开集 G 到 R 的可微变换，x，y G且x y ，证明若线段
xy G ，则存在 xy ，使得
n 0

f（x） - f（0） lim x ，求 x 0 的值。
3、 （20 分）
x 1 - e（ x 2 y 2） （ （0， 0） ，x，y） f（x，y） x 2 y2 （x，y） （0， 0） 0 ， 设 ，求 f（x，y） 在
2f 4f （0,0）、 4 （0,0） x （0,0）处的 4 阶 Taylor 多项式，并求出 xy 的值。
（ - ， ） 证明： f（x） 1，x
2
学而优则仕
4、 （15 分）
sinx sin 2 x sin n x ，证明： 设 f（ n x）
（1）对任意正整数 n，方程 f n ( x) 1在（
（ （2）设 xn

6 3
内有且只有一个根；

n n
f（y） - f（x） （（f（y） - f（x））f ' ( )) ( y x) ，其中 f 是 f 的导数，
2
'
“.”是 R 中Biblioteka Baidu内积。
n
北京师范大学 2012 年研究生考试--数学分析考试
1、 （14 分） （1）试证明数列 - ln（n 1） 收敛；
lim - ln（n 1） （2）若记 C0： ，试证明 lim n 1 k 1 k
学而优则仕
北京师范大学 2013 年研究生考试--数学分析考试
1、 （20 分）
2 设，且对任意 f c（R）x R ，h>0,有
'' f（x h） f（x - h） - 2 f（x） 0 ，证明 f（ x） 0，x R 。
2、 （20 分）
设
f（x） 2-n sin 2 n x
0 g ( x) g ( x) dx 2 0 g ( x)
' '
a
a a
2
dx 其中等号成立当且仅当
g ( x) Cf ( x), C为常数.
7、 （14 分） 给定积分 I D (( ) 2 ( ) 2 )dxdy .作正则变换 x x(u, v), y y (u, v) ， 区域 D 变成 .如果满足