客源有限的排队系统-资料

当
0kc时，pk
1 m! ()k k!(mk)!
p0
当c<k<m时，
pkc 1 !cBaidu Nhomakorabea 1 c(m m !k)(! )kp 0c!ck cm (m ! k)(! )kp 0
可
当k=m时，
合
pk
1 m! c! cmc
()mp0
并
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m
pk 1
k0
c
k0
m! k k!(mk)!
(2)在有限源的情形下，必须按每一顾客来考虑：
设每个顾客的到达率为 （其含义是单位
时间内该顾客来到系统请求服务的次数）。
设排队系统内的顾客数为n，系统外的顾客数为 m-n, 则进入排队系统的速率为：
n (mn) (nm)
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n 0
(nm)
系统的状态转移速度图：
mλ
(m-1)λ(m-2)λ
6.4 客源有限的排队系统
（以等待制系统为例进行讨论 ）
客源有限的排队系统指的是顾客总数有限， 且每个顾客对系统的服务需求是独立的、同 分布的 。
一、M/M/1/m/m排队系统
该系统与M/M/1/∞/m排队系统等同.
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为什么 ？
1、系统意义：顾客到达为Poisson流，服务
时间服从负指数分布，1个服务台，顾客总数 为m的等待制排队系统，服务规则是先到先 服务。
W qW s1L q e
L q (m Ls)
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（4）其他 数量指标： ①机器故障问题中，正常运转的机器数 K：
KmLs (1p0)
②设备利用率 ：
m Ls
m
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二、M/M/C/∞/m排队系统
（即M/M/c/m/m排队系统）
1.系统意义：顾客到达为Poisson流，服务时
2、状态转移速度图和状态转移速度矩 阵：顾客源总数有限——为m ，所以该系统
的特点是顾客来到系统的概率是变化的 。
问：若所有的顾客全部到达系统，则下一个 顾客到达的概率？
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关于顾客的到达率（如机器维修问题）
(1)在无限源的情形中,顾客到达率是按全体顾客来
考虑的,平均到达率为 （其含义是平均到达率）。
状态概率速度矩阵
m
m
[(m1)] (m1)
2 [(m2)2] (m2)
c (2c) 2
c
(c)
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c
c
m m
[(m1)] (m1)
2 [(m2)2] (m2)
c (2c) 2
c
(c)
c c
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3、状态概率方程
P 0 , 其P 中 (p 0,p 1 ,： ,p m )
2λ
λ
0
1
2 …… m-2 m-1 m
μ
μ
μμ
μ
μ
相应的状态概率速度矩阵：
m
m
[(m1)] (m1)
[(m2)] (m2)
(2) 2
()
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m m
[(m1)] (m1)
[(m2)] (m2)
(2) 2
()
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3、状态概率方程
由Littel公式
Ws
Ls
e
,Wq
Lq
e
Ws
Wq
1
Ls
e
Lqe 1Ls
Lqe
e
所以正在接受服务的顾客的平均数也等于
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于是 1p0e e(1p0)
③ 从客源有限系统的角度再定义有效 到达率, 推出LS的计算公式
由于Ls是系统中的平均顾客数，系统外的 平均顾客数为m-Ls，于是有效到达率为 ：
kmc1c!ckcm(m!k)!kp0
1
p0k c0k!(m m !k)!kkm c1c!ckcm (m !k)! k1
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（2）队长与队列长：
m
Ls kpk k 0
间服从负指数分布，c个服务台，顾客总数为 m的等待制排队系统，服务规则是先到先服务， 其中c<m。
2.状态转移速度图和状态转移速度矩阵：
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状态概率速度图
mλ (m-1)λ (m-2)λ (m-c)λ
2λ λ
0 1 2 …… c μ 2μ 3μ cμ
c+1 …… m-1 m cμ cμ cμ
4、系统的基本数量指标
（1）基本概率指标： 打开状态概率方程
m p0p10 p1m ( )p0
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mp0 (m 1) p1 2p2 0
p2
1
2
(m
1)
m(
) p0
mp0
1
2
m(m
1) (
)
p0
1 2!
m! (m 2)!
(
)2
p0
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利用数学归纳法，可证明：
P 0 , 其P 中 (p 0,p 1 ,： ,p m )
4、系统的基本数量指标
（1）基本概率指标： 由状态概率方程得
m p0p10 p1m ( )p0
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p2
1
mp0
(m
1)
p1
1
m
( m
1)
m (
) p0
1
m(m
1)
p0
m (m 1)
2
2
k 1
k 1
k 1
p k 1 ,即 p 0p k 1 , p k 1 p 0
k 0
k 1
k 1
N
N
N
或 p k 1 ,即 p 0p k 1 ,p k 1 p 0
k 0
k 1
k 1
LsLq(1p0)
所以正在接受服务的顾客的平均数为 1 p0
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②证明正在接受服务的顾客的平均数等于 e
e(mLs)
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e(mLs) e(1 p 0) (m L s)
Ls m(1p0)
④ 由②的推导过程得到Lq的计算公式
Ls
e
Lqe 1Ls
Lqe
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L qL seL s(1p0)m (1p0)
(3)平均逗留时间和平均等待时间：
代入前LS的表达式
W s L e s(m L sL s)(1 L sp0)(1 m p0) 1
p0
m! ( (m 2)!
)2
p0
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利用数学归纳法证得：
pk(m m !k)(! )kp0
1km
注意到 ：
m
pk1 k0
km 0(m m !k)!
k
p01
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p0
m
k0
(mm !k)!k
1
m! k pk (mk)! p0
(mm!k)!k
m k0
m! k (mk)!
1
1km
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（2）队长与队列长：
①证明正在接受服务的顾客的平均数为
1 p0
证明1：由数学期望的定义
0p 0 1 (1p 0) 1p 0
证明2：根据平均队长、平均队列长的定 义及其之间的关系
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L q(k 1 )p kkp k p k L S (1 p 0)