曾谨言量子力学第4章
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n
证明
ˆ nV 2T
证明： V (cx, cy, cz) c nV ( x, y, z ) 两边对c求导数得
V V V n 1 x y z nc V ( x, y, z ) (cx ) (cy ) (cz ) r V nV 令c =1得
则由位力定理得
ˆ 2T r V nV
ˆ E , F ˆ F H
又因为 [G, H]=0, 则
ˆψ G ˆH ˆ Eψ EG ˆψ ˆG ˆψ G H
即GΨ也是H的本征函数，对应的本征值也是E, 即体系的能级是简并的。
推论： 如果体系有一守恒量F，而体系的某条能级并不
简并，即对应某个能量本征值E只有一个本征态 ΨE，则ΨE必为F 的本征态。
利用 ξ 0 得
V x
3 V ( x ) V ( xc ) V 1 2 c L dx ( x, t ) ( x, t ) 3 x xc 2 xc
可见只有当
V ( xc ) 1 2 3V ( xc ) 3 2 xc xc
结论： 如果力学量A不含时间，若[A, H]=0(即为守恒量)，则 无论体系处于什么状态，A的平均值和测值概率均不随时间变化。
4. 经典与量子力学中的守恒量间的关系
(1) 与经典力学中的守恒量不同，量子力学中的守恒量不一定取 确定的数值. 若初始时刻体系处于守恒量A的本征态，则体系 将保持在该本征态。此态对应的量子数将伴随终生，因此守 恒量的本征态对应的量子数称为好量子数。 (2) 量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。 5. 守恒量与定态 (1) 定态是体系的一种特殊状态，即能量本征态，而守恒量则 是一种特殊的力学量，与体系的Hamilton量对易。 (2) 在定态下一切力学量的平均值和测值概率都不随时间改变； 而守恒量则在一切状态下的平均值和测值概率都不随时间 改变
V ( xc ) V 时才有 F ( x ) F ( xc ) xc x 此时方程(5)与经典的Newton方程在形式上完全相同。
如在势场
1 V ( x) a bx cx , or ,V ( x) m 2 x 2 2
2
中
3V ( x) 0 3 x
ψ2ψ1 ψ1ψ2
/ 1 2 / 2 1
两边同时积分得
ψ1 Cψ 2
4.1.2 能级简并与守恒量的关系
定理 设体系有两个彼此不对易的守恒量F和G，即 [F,H]=0,[G,H]=0,[F,G]≠0, 则体系能级一般是简并的。 证明： [F, H]=0,则F, H有共同的本征函数ψ
(2)两边对时间求导数，并将(3)代入得到
r r r dr m 2 F (r ) dt
2
(5)
此之谓Ehrenfest方程， 形式与经典的Newton方程类似，但只有当
F ( r ) F ( r ) 时，波包中心 r 的运动规律才与经典粒子相同。
2. 用波包描述粒子运动时对波包的要求： (1) 波包很窄，其大小与粒子的大小相当；
1. 经典物理中的守恒量 守恒量：力学量的值不随时间变化 动量守恒： 质点受的合外力为零 机械能守恒：外力和内非保守力不做功 角动量守恒：质点所受到的合外力矩为零 2. 量子力学中的守恒量
守恒量：在任意态下力学量的平均值不随时间变化
在任意量子态ψ下，力学量A的平均值为
ˆ (t ) (t ), A ˆ (t ) A
条件自动满足，因此在这类势场中窄波包的运动，就与经典粒子 的轨道运动相似。
例
α粒子对原子的散射
8 a 10 cm 原子的半径
经典 or 量子描述？
δx
天然放射性元素放出α粒子的能量
a
E 5MeV
则其动量为
α
pα 2mEα 1014 g cm s1
在对原子的散射过程中，α粒子穿越原子的时间约为
守恒的条件？
d ˆ ˆ ˆ A(t ) , A , A dt t t
ˆ A , t ˆ A , t
ˆ H ˆ H ˆ , A , A i i
ˆ d 1 ˆ p r [r , H ] dt i m d 1 ˆ [p ˆ, H ˆ ] V (r ) F (r ) p dt i
(2) (3)
经典粒子运动的正则方程是
2 dr p dp d r , V ( r ) m 2 V ( r ) dt m dt dt
1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ) r p (r p p r 2
这是否会影响位力定理得证明。
答：从位力定理的证明可以看出，将r·p厄米化后并不能影响 到定理的证明。 例题1 设V(x,y,z)是x,y,z的n次齐次函数，即
V (cx, cy, cz) c V ( x, y, z )
(2) 势场V(r)在空间的变化很缓慢，使得波包中心 处的势场 V (r )与粒子感受到的势场很接近；
(3)波包的扩散不太大。 如： 一维波包的运动 在波包中心 xc x 附近对 V (x) / x 作Taylor 展开， 令ξ=x-xc，则有
2V ( xc ) 1 2 3V ( xc ) V V ( xc ) ξ ξ 2 3 x xc xc 2 xc
证明：设ΨE是一能量本征态。因F是守恒量，则[F, H]=0
ˆF ˆψ F ˆH ˆψ F ˆEψ EF ˆψ H E E E E
即FΨE也是一个能量本征态，对应的本征值也是E. 根据假定能级不简并，则必有
ˆψ F ψ F E E
即ΨE也是F的本征态，对应的本征值是F´.
例如： 一维谐振子势中粒子的能级并不简并，空间反射算符P为 守恒量， [P,H]=0, 则能量本征态必为P的本征态，即有确 定的宇称。事实上，也确是如此，
a mα a δt vα pα
在该时间间隔内波包的扩散为
δx ~ vα δt
p mα a
mα pα
a k (t )
2
dak d 2 ak (t ) ak 复共轭项 dt dt (t ) , k ( k , (t )) 复共轭项 t ˆ (t ) H , k ( k , (t )) 复共轭项 i 1 ˆ )( , (t )) 复共轭项 ( (t ), H k k i Ek 2 ( (t ), k ) 复共轭项 0 i
可见：若力学量A与体系的哈密顿量对易，则A为守恒量。
3. 守恒量的性质
选包括H和A在内的一组力学量完全集，则
ˆ A ˆ E , A H k k k k k k
体系的任意量子态可表示为
ψ (t ) ak (t )ψk , ak (t ) (ψk ,ψ (t ))
k
在Ψ态下，测力学量A的Ak的概率为 则该概率随时间的变化为
Note
i
ˆ H t
ˆ 1 1 A ˆ ˆ ) , ˆ ˆ ( , AH , HA t i i
ˆ 1 ˆ 1 A A ˆ, H ˆ, H ˆ ] ) , [ A ˆ ] ( ,[ A t i i t ˆ A 若力学量不显含时间，即 0 t d ˆ 1 ˆ ˆ 则 A(t ) [ A, H ] dt i d ˆ ˆ, H ˆ]0 A(t ) 0 若 [A dt
ˆ ( x) (x) (1)n ( x) P n n n
结论： 体系的守恒量总是与体系的某种对称性相联系，而能级 简并也往往与体系的某种对称性相联系。在一般情况下， 当能级出现简并时，可以根据体系的对称性，找出其守 恒量。
位力定理： 设粒子处于势场V(r)，其哈密顿为
2 ˆ ˆ ˆ H p / 2m V (r )
则
1 2 ˆ ˆ V ˆ p r m
ˆ V ˆ ˆ 2T r
ˆ p ˆ ,V ˆ (r 证Leabharlann Baidu： [r )]
ˆ ˆ ˆˆ x ,V (r )] [ yp ˆ ˆ y ,V (r )] [ zp ˆ ˆ z ,V (r )] [ xp ˆ ˆ ˆ V (r ) V (r ) V (r ) ˆ ˆ ˆ(i x(i ) y (i ) z ) x y z ˆ ˆ ir V (r )
第4 章 力学量随时间的演化与对称性
§4.1 力学量随时间的演化 §4.2 波包的运动，Ehrenfest定理 §4.3 Schrödinger 图像与Heisenberg图像 §4.4 * 守恒量与对称性的关系 §4.5 全同粒子体系与波函数的交换对称性
§4.1 力学量随时间的演化 4.1.1 守恒量
r·p的平均值随时间的变化为
d 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ i r p [ r p , H ] [r p, p ] [r p,V (r )] dt 2m p ˆ2 ˆ V ˆ i r m d ˆ ˆ 0 对定态有 rp dt
例题1 判断下列说法的正误 (1)在非定态下，力学量的平均值随时间变化(错) (2) 设体系处在定态，则不含时力学量测值的概率不随时间变化(对) (3)设哈密顿量为守恒量，则体系处在定态（错） (4) 中心力场中的粒子处于定态，则角动量取确定的数值（错） (5) 自由粒子处于定态，则动量取确定值（错） （能级是二重简并的） (6)一维粒子的能量本征态无简并（错） （一维束缚态粒子的能量本征态无简并） 证明： 对于属于能量E的任何两个束缚态波函数有 则
2 ˆ ˆ [ r p, p ]
2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ xpx , px ] [ yp y , p y ] [ zpz , pz ] 2 2 2 ˆx ˆy ˆz 2ip 2ip 2ip ˆ2 2ip
思考题： r·p并不是厄米算符，应进行厄米化
由位力定理知: 则 所以
T V
1 En H T V n ω 2
1 1 T V n ω 2 2
§4.2 波包运动， Ehrenfest(埃伦· 费斯特)定理
1. 波包的运动与经典粒子运动的关系 设质量为m的粒子在势场V(r)中运动，用波包Ψ(r,t)描述，显然 Ψ(r,t)必为非定态，因此处于定态的粒子的概率密度是不随时间 变化的：与经典粒子运动对应的量子态为非定态 ˆ2 p ˆ ˆ V (r ) (1) 设粒子运动的Hamilton 为 H 2m 则粒子的坐标和动量的平均值随时间的变化为
如谐振子
库仑势
δ势
1 ˆ ˆ2 , n 2 V ( x) m 2 x 2 1 V ( r ) ~ , n 1, r 1 (ax) ( x), n 1, a
ˆ V T ˆ V 2T
ˆ V 2T
例题2 求一维谐振子在态Ψn下的动能和势能的平均值
1 解： 一维谐振子的能量本征值为 En n ω 2
证明
ˆ nV 2T
证明： V (cx, cy, cz) c nV ( x, y, z ) 两边对c求导数得
V V V n 1 x y z nc V ( x, y, z ) (cx ) (cy ) (cz ) r V nV 令c =1得
则由位力定理得
ˆ 2T r V nV
ˆ E , F ˆ F H
又因为 [G, H]=0, 则
ˆψ G ˆH ˆ Eψ EG ˆψ ˆG ˆψ G H
即GΨ也是H的本征函数，对应的本征值也是E, 即体系的能级是简并的。
推论： 如果体系有一守恒量F，而体系的某条能级并不
简并，即对应某个能量本征值E只有一个本征态 ΨE，则ΨE必为F 的本征态。
利用 ξ 0 得
V x
3 V ( x ) V ( xc ) V 1 2 c L dx ( x, t ) ( x, t ) 3 x xc 2 xc
可见只有当
V ( xc ) 1 2 3V ( xc ) 3 2 xc xc
结论： 如果力学量A不含时间，若[A, H]=0(即为守恒量)，则 无论体系处于什么状态，A的平均值和测值概率均不随时间变化。
4. 经典与量子力学中的守恒量间的关系
(1) 与经典力学中的守恒量不同，量子力学中的守恒量不一定取 确定的数值. 若初始时刻体系处于守恒量A的本征态，则体系 将保持在该本征态。此态对应的量子数将伴随终生，因此守 恒量的本征态对应的量子数称为好量子数。 (2) 量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。 5. 守恒量与定态 (1) 定态是体系的一种特殊状态，即能量本征态，而守恒量则 是一种特殊的力学量，与体系的Hamilton量对易。 (2) 在定态下一切力学量的平均值和测值概率都不随时间改变； 而守恒量则在一切状态下的平均值和测值概率都不随时间 改变
V ( xc ) V 时才有 F ( x ) F ( xc ) xc x 此时方程(5)与经典的Newton方程在形式上完全相同。
如在势场
1 V ( x) a bx cx , or ,V ( x) m 2 x 2 2
2
中
3V ( x) 0 3 x
ψ2ψ1 ψ1ψ2
/ 1 2 / 2 1
两边同时积分得
ψ1 Cψ 2
4.1.2 能级简并与守恒量的关系
定理 设体系有两个彼此不对易的守恒量F和G，即 [F,H]=0,[G,H]=0,[F,G]≠0, 则体系能级一般是简并的。 证明： [F, H]=0,则F, H有共同的本征函数ψ
(2)两边对时间求导数，并将(3)代入得到
r r r dr m 2 F (r ) dt
2
(5)
此之谓Ehrenfest方程， 形式与经典的Newton方程类似，但只有当
F ( r ) F ( r ) 时，波包中心 r 的运动规律才与经典粒子相同。
2. 用波包描述粒子运动时对波包的要求： (1) 波包很窄，其大小与粒子的大小相当；
1. 经典物理中的守恒量 守恒量：力学量的值不随时间变化 动量守恒： 质点受的合外力为零 机械能守恒：外力和内非保守力不做功 角动量守恒：质点所受到的合外力矩为零 2. 量子力学中的守恒量
守恒量：在任意态下力学量的平均值不随时间变化
在任意量子态ψ下，力学量A的平均值为
ˆ (t ) (t ), A ˆ (t ) A
条件自动满足，因此在这类势场中窄波包的运动，就与经典粒子 的轨道运动相似。
例
α粒子对原子的散射
8 a 10 cm 原子的半径
经典 or 量子描述？
δx
天然放射性元素放出α粒子的能量
a
E 5MeV
则其动量为
α
pα 2mEα 1014 g cm s1
在对原子的散射过程中，α粒子穿越原子的时间约为
守恒的条件？
d ˆ ˆ ˆ A(t ) , A , A dt t t
ˆ A , t ˆ A , t
ˆ H ˆ H ˆ , A , A i i
ˆ d 1 ˆ p r [r , H ] dt i m d 1 ˆ [p ˆ, H ˆ ] V (r ) F (r ) p dt i
(2) (3)
经典粒子运动的正则方程是
2 dr p dp d r , V ( r ) m 2 V ( r ) dt m dt dt
1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ) r p (r p p r 2
这是否会影响位力定理得证明。
答：从位力定理的证明可以看出，将r·p厄米化后并不能影响 到定理的证明。 例题1 设V(x,y,z)是x,y,z的n次齐次函数，即
V (cx, cy, cz) c V ( x, y, z )
(2) 势场V(r)在空间的变化很缓慢，使得波包中心 处的势场 V (r )与粒子感受到的势场很接近；
(3)波包的扩散不太大。 如： 一维波包的运动 在波包中心 xc x 附近对 V (x) / x 作Taylor 展开， 令ξ=x-xc，则有
2V ( xc ) 1 2 3V ( xc ) V V ( xc ) ξ ξ 2 3 x xc xc 2 xc
证明：设ΨE是一能量本征态。因F是守恒量，则[F, H]=0
ˆF ˆψ F ˆH ˆψ F ˆEψ EF ˆψ H E E E E
即FΨE也是一个能量本征态，对应的本征值也是E. 根据假定能级不简并，则必有
ˆψ F ψ F E E
即ΨE也是F的本征态，对应的本征值是F´.
例如： 一维谐振子势中粒子的能级并不简并，空间反射算符P为 守恒量， [P,H]=0, 则能量本征态必为P的本征态，即有确 定的宇称。事实上，也确是如此，
a mα a δt vα pα
在该时间间隔内波包的扩散为
δx ~ vα δt
p mα a
mα pα
a k (t )
2
dak d 2 ak (t ) ak 复共轭项 dt dt (t ) , k ( k , (t )) 复共轭项 t ˆ (t ) H , k ( k , (t )) 复共轭项 i 1 ˆ )( , (t )) 复共轭项 ( (t ), H k k i Ek 2 ( (t ), k ) 复共轭项 0 i
可见：若力学量A与体系的哈密顿量对易，则A为守恒量。
3. 守恒量的性质
选包括H和A在内的一组力学量完全集，则
ˆ A ˆ E , A H k k k k k k
体系的任意量子态可表示为
ψ (t ) ak (t )ψk , ak (t ) (ψk ,ψ (t ))
k
在Ψ态下，测力学量A的Ak的概率为 则该概率随时间的变化为
Note
i
ˆ H t
ˆ 1 1 A ˆ ˆ ) , ˆ ˆ ( , AH , HA t i i
ˆ 1 ˆ 1 A A ˆ, H ˆ, H ˆ ] ) , [ A ˆ ] ( ,[ A t i i t ˆ A 若力学量不显含时间，即 0 t d ˆ 1 ˆ ˆ 则 A(t ) [ A, H ] dt i d ˆ ˆ, H ˆ]0 A(t ) 0 若 [A dt
ˆ ( x) (x) (1)n ( x) P n n n
结论： 体系的守恒量总是与体系的某种对称性相联系，而能级 简并也往往与体系的某种对称性相联系。在一般情况下， 当能级出现简并时，可以根据体系的对称性，找出其守 恒量。
位力定理： 设粒子处于势场V(r)，其哈密顿为
2 ˆ ˆ ˆ H p / 2m V (r )
则
1 2 ˆ ˆ V ˆ p r m
ˆ V ˆ ˆ 2T r
ˆ p ˆ ,V ˆ (r 证Leabharlann Baidu： [r )]
ˆ ˆ ˆˆ x ,V (r )] [ yp ˆ ˆ y ,V (r )] [ zp ˆ ˆ z ,V (r )] [ xp ˆ ˆ ˆ V (r ) V (r ) V (r ) ˆ ˆ ˆ(i x(i ) y (i ) z ) x y z ˆ ˆ ir V (r )
第4 章 力学量随时间的演化与对称性
§4.1 力学量随时间的演化 §4.2 波包的运动，Ehrenfest定理 §4.3 Schrödinger 图像与Heisenberg图像 §4.4 * 守恒量与对称性的关系 §4.5 全同粒子体系与波函数的交换对称性
§4.1 力学量随时间的演化 4.1.1 守恒量
r·p的平均值随时间的变化为
d 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ i r p [ r p , H ] [r p, p ] [r p,V (r )] dt 2m p ˆ2 ˆ V ˆ i r m d ˆ ˆ 0 对定态有 rp dt
例题1 判断下列说法的正误 (1)在非定态下，力学量的平均值随时间变化(错) (2) 设体系处在定态，则不含时力学量测值的概率不随时间变化(对) (3)设哈密顿量为守恒量，则体系处在定态（错） (4) 中心力场中的粒子处于定态，则角动量取确定的数值（错） (5) 自由粒子处于定态，则动量取确定值（错） （能级是二重简并的） (6)一维粒子的能量本征态无简并（错） （一维束缚态粒子的能量本征态无简并） 证明： 对于属于能量E的任何两个束缚态波函数有 则
2 ˆ ˆ [ r p, p ]
2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ xpx , px ] [ yp y , p y ] [ zpz , pz ] 2 2 2 ˆx ˆy ˆz 2ip 2ip 2ip ˆ2 2ip
思考题： r·p并不是厄米算符，应进行厄米化
由位力定理知: 则 所以
T V
1 En H T V n ω 2
1 1 T V n ω 2 2
§4.2 波包运动， Ehrenfest(埃伦· 费斯特)定理
1. 波包的运动与经典粒子运动的关系 设质量为m的粒子在势场V(r)中运动，用波包Ψ(r,t)描述，显然 Ψ(r,t)必为非定态，因此处于定态的粒子的概率密度是不随时间 变化的：与经典粒子运动对应的量子态为非定态 ˆ2 p ˆ ˆ V (r ) (1) 设粒子运动的Hamilton 为 H 2m 则粒子的坐标和动量的平均值随时间的变化为
如谐振子
库仑势
δ势
1 ˆ ˆ2 , n 2 V ( x) m 2 x 2 1 V ( r ) ~ , n 1, r 1 (ax) ( x), n 1, a
ˆ V T ˆ V 2T
ˆ V 2T
例题2 求一维谐振子在态Ψn下的动能和势能的平均值
1 解： 一维谐振子的能量本征值为 En n ω 2