2020年中考数学专题复习：折叠题(含答案)

2020年中考数学专题复习：折叠题

1．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF 沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N．有下列四个结论：①DF=CF；

②BF⊥EN；③△BEN是等边三角形；④S△BEF=3S△DEF．其中，将正确结论的序号全部选对的是（）

A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④

解答：解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D=∠BCD=90°，DF=MF，

由折叠的性质可得：∠EMF=∠D=90°，

即FM⊥BE，CF⊥BC，

∵BF平分∠EBC，

∴CF=MF，

∴DF=CF；故①正确；

∵∠BFM=90°﹣∠EBF，∠BFC=90°﹣∠CBF，

∴∠BFM=∠BFC，

∵∠MFE=∠DFE=∠CFN，

∴∠BFE=∠BFN，

∵∠BFE+∠BFN=180°，

∴∠BFE=90°，

即BF⊥EN，故②正确；

∵在△DEF和△CNF中，

，

∴△DEF≌△CNF（ASA），

∴EF=FN，

∴BE=BN，

但无法求得△BEN各角的度数，

∴△BEN不一定是等边三角形；故③错误；

∵∠BFM=∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，

∴BM=BC=AD=2DE=2EM，

∴BE=3EM，

∴S△BEF=3S△EMF=3S△DEF；

故④正确．

故选B．

点评：此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

2．如图，将矩形ABCD的一个角翻折，使得点D恰好落在BC边上的点G处，折痕为EF，若EB为∠AEG的平分线，EF和BC的延长线交于点H．下列结论中：

①∠BEF=90°；②DE=CH；③BE=EF；

④△BEG和△HEG的面积相等；

⑤若，则．

以上命题，正确的有（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

解答：解：①由折叠的性质可知∠DEF=∠GEF，∵EB为∠AEG的平分线，

∴∠AEB=∠GEB，∵∠AED=180°，∴∠BEF=90°，故正确；

②可证△EDF∽△HCF，DF＞CF，故DE≠CH，故错误；

③只可证△EDF∽△BAE，无法证明BE=EF，故错误；

④可证△GEB，△GEH是等腰三角形，则G是BH边的中线，∴△BEG和△HEG的面积相等，故正确；

⑤过E点作EK⊥BC，垂足为K．设BK=x，AB=y，则有y2+（2y﹣2x）2=（2y﹣x）2，解得x1=y（不合题意舍去），x2=y．则，故正确．

故正确的有3个．

故选B．

点评：本题考查了翻折变换，解答过程中涉及了矩形的性质、勾股定理，属于综合性题目，解答本题的关键是根据翻折变换的性质得出对应角、对应边分别相等，然后分别判断每个结论，难度较大，注意细心判断．

3．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG 交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为（）

A．3B．2C．2D．2

解答：解：过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，

∵∠EMB=90°，

∴四边形ABME是矩形，

∴AE=BM，

由折叠的性质得：AE=GE，∠EGN=∠A=90°，

∴EG=BM，

∵∠ENG=∠BNM，

∴△ENG≌△BNM（AAS），

∴NG=NM，

∴CM=DE，

∵E是AD的中点，

∴AE=ED=BM=CM，

∵EM∥CD，

∴BN：NF=BM：CM，

∴BN=NF，

∴NM=CF=，

∴NG=，

∵BG=AB=CD=CF+DF=3，

∴BN=BG﹣NG=3﹣=，

∴BF=2BN=5，

∴BC===2．

故选B．

点评：此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

4．如图，两个正方形ABCD和AEFG共顶点A，连BE，DG，CF，AE，BG，K，M分别为DG和CF的中点，KA的延长线交BE于H，MN⊥BE于N．则下列结论：①BG=DE 且BG⊥DE；②△ADG和△ABE的面积相等；③BN=EN，④四边形AKMN为平行四边形．其中正确的是（）

A．③④B．①②③C．①②④D．①②③④

解答：解：由两个正方形的性质易证△AED≌△AGB，

∴BG=DE，∠ADE=∠ABG，

∴可得BG与DE相交的角为90°，

∴BG⊥DE．①正确；

如图，延长AK，使AK=KQ，连接DQ、QG，

∴四边形ADQG是平行四边形；

作CW⊥BE于点W，FJ⊥BE于点J，

∴四边形CWJF是直角梯形；

∵AB=DA，AE=DQ，∠BAE=∠ADQ，

∴△ABE≌△DAQ，

∴∠ABE=∠DAQ，

∴∠ABE+∠BAH=∠DAQ+∠BAH=90°．

∴△ABH是直角三角形．

易证：△CWB≌△BHA，△EJF≌△AHE；

∴WB=AH，AH=EJ，

∴WB=EJ，

又WN=NJ，

∴WN﹣WB=NJ﹣EJ，

∴BN=NE，③正确；

∵MN是梯形WGFC的中位线，WB=BE=BH+HE，

∴MN=（CW+FJ）=WC=（BH+HE）=BE；

易证：△ABE≌△DAQ（SAS），∴AK=AQ=BE，

∴MN∥AK且MN=AK；

四边形AKMN为平行四边形，④正确．

S△ABE=S△ADQ=S△ADG=S▱ADQG，②正确．

所以，①②③④都正确；

故选D．