球面上两点间距离的求法

球面上两点间距离的求法

球面距离的定义：球上两点和球的球心三点可构成一个平面，称之为大圆，正视这个大圆（从正面看），这两个点之间的弧线长即为球面两点间距离。球面距离不是指险段的长度而是指的是弧长。

地球表面某点的位置是用纬度和经度来确定的，我们只要知道球面两点的经纬度，就能求出该两点的球面距离。下面简单的谈谈求法：

一. 同经度两点间的球面距离

例1. 在地球本初子午线上有两点A 、B 。它们的纬度差为90°，若地球半径为R ，求A 、B 两点间的球面距离。

解：如图1所示，设O 为地球球心，由题意可得，

故。

所以：A 、B 两点间的球面距离为2R

。

图1

二. 同纬度两点间的球面距离

例2. 在地球北纬度圈上有两点A、B，它们的经度差为度，若地球半径为R，求A、B两点间的球面距离。

解：设度的纬线圈的圆心为，半径为r，则。依题意。取AB的中点C，则。

在

图2

图3

三. 不同纬度、不同经度两点间的球面距离

例3. 设地球上两点A、B，其中A位于北纬30°，B位于南纬60°，且A、B两点的经度差为90°，求A、B两点的球面距离。

解：如图4所示，设，分别为地球球心、北纬30°纬线圈的圆心和南纬60°纬线圈的圆心。

图4

连结。

则。

由异面直线上两点间的距离公式得

下面给出球面距离的计算公式（仅供参考）：

设一个球面的半径为，球面上有两点、 . 其中，为点的经度数，、为点的纬度数，过、两点的大圆劣弧所对的圆心角为，则有

（弧度）

A、B间的球面距离为：

证明：如图3，⊙与⊙分别为过A、B的纬度圈，过A、C的大圆，过、D的大圆分别为A、B的经度圈，而经度圈与纬度圈所在的平面互相垂直，作面，垂足

位于上，连结、 . 则

在中，由余弦定理，得：

故

又

比较上述两式，化简整理得：

过两点的大圆劣弧所对的圆心角为

从而可证得关于与的两个式子.

例题：在东经，北纬，在东经，北纬，求到的球面距离.

解：

∴（弧度）

∴所求球面距离为