组合数学答案——最短路径的并行算法综述

组合数学答案——最短路径的并行算法综述最短路径问题是图论中的一个典范问题，它被应用于众多领域。最短路径问题可以分

成两类：单源最短路径、所有顶点对间的最短路径。本文对最短路径的并行算法进行综述，

并介绍目前最短路径问题中的一个热点问题K条最短路径。

最短路径，单源最短路径，所有顶点对间的最短路径，K条最短路径

1.

二十世纪中后期，随着计算机的出现和发展，图论的研究得到广泛重视，最短路径问题

是图论中的一个典范问题，它已经被应用于众多领域。最短路径问题最直接的应用当数在地

理信息领域，如：GIS网络分析、城市规划、电子导航等。在交通咨询方面，寻找交通路网

中两个城市间最短的行车路线就是最短路径问题的一个典型的例子。在网络通信领域，信息

包传递的路径选择问题也与最短路径问题息息相关。举个例子，OPSF开放路由选择协议，每个OPSF路由器都维护一个描述自治系统拓扑结构的数据库，通过这个数据库构建最短路径

树来计算路由表，从而跟踪自治系统范围内到每个目标的最短路径。在图象分割问题中，最

短路径也有直接的应用：在语音识别中，一个主要的问题就是区别同音词，例如，to、two、too。为解决这个问题，我们需要建一个图，顶点代表可能的单词，边连接相邻的单词，边上

的权代表相邻的可能行大小。这样图中的最短路径，就是对句子的最好解释。

由于最短路径问题的广泛应用，很多学者都对此进行了深入的研究，也产生了一些经典

的算法。近些年来，对最短路径研究的热度依然不减，并且时间复杂度降得越来越低。

总的来讲，最短问题可以分成两类：单源最短路径和所有顶点对间的最短路径。本文就

从上述两类来分别介绍最短路径的并行算法，并介绍最短路径问题中的一个热点问题K条最短路径问题。

本文的其它部分组织如下：第2节介绍单源最短路径问题的并行算法；第3节介绍所有

1

顶点对间的最短路径问题的并行算法；第4节介绍K条最短路径问题；最后在第5节总结最短路径的并行算法，并谈谈自己的想法。

2.

单源最短路径问题是指从一个给定顶点S到其它所有顶点i之间的距离dist(i)为最短的路径，其中s?V称为源点，i?V且i?s。假定图G(V,E)是一个有向网络，其加权邻接矩阵为

W，且边上权值w（i，j)>0，i，j?V，V={1，2，…，n}。

2.1.

在单处理机上，人们研究最短路径问题已取得许多成果，设计了几十种算法，其中Dijkstra算法是解决这个问题的最有效算法之一。在串行情况下，该算法的时间复杂度为O(m+nlogn)。其基本思想是：假定有一个待搜索顶点表VL，初始化时做：dist(s)?0；dist(i)??(i?s)；VL?V。算法执行时，每次从VL（?Φ）中选取这样一个顶点u，它的dist(u)值最小。将选出的u作为搜索顶点，若?E，而且dist(u)+w(u,v)

算法1 DIJKSTRA ALGORITHM(SISD)

输入：加权邻接矩阵W，约定i，j之间无边连接时w(i,j)=?，且w(i,i)=?；

输出：dist(1:n)，其中，dist(i)表示顶点s到顶点i的最短路径

（1?i?n）。

begin

/*初始化*/

（1） dist(s)?0；

（2） for i?1 to n do

if i?s then dist(i)?? endif

endfor；

（3） VL?V；

（4） For i?1 to n do /*找最短距离*/

（5） Find a vertex u?VL,such that dist(u) is minimal；

2

（6） For each(?E) ? (v?VL) do

If dist(u)+w(u,v)

endfor；

(7) VL?VL-{u}

Endfor

End.

除了Dijkstra算法外，Moore算法解决单源最短路径问题也是较有效的。在Moore算法中，设源点为s?V,从s到其它各顶点的最短路径长度用一个一维数组dist存储。首先置dist(s)=0，dist(v)??，v?s，v?V。Moore算法同Dijkstra算法不同之处是：将Dijkstra算法中的待搜索顶点表替换成待搜索队列。算法开始执行时，队列仅含源点s。以后每次只要待搜索队列非空，则将队头的顶点从队列中移出作为本次搜索的顶点，然后检查u的所有射出边?E。若

dist(u)+w(u,v)

输入：有向图G(V,E)的加权邻接矩阵W={w},i,j?V； ij

输出：从源s到所有其它顶点i(i?s)的最短路径dist(i)，i?V。

begin

(1) for i?1 to n do /*初始化*/

call INITIALIZE(i)

endfor;

(2) insert s into the queue; /*插入s到队列中*/

(3) while the queue is not empty do

(4) call SEARCH

endwhile

end.