反证法在中学数学中的应用

1引言

有一个故事讲的是奸臣弹劾贤能的大臣，最后贤能的大臣被陷害要被皇上处死，可是皇上觉得这位大臣罪不该死，就把生死两个字分别写在两张纸条上，让这个大臣自己选择其中一张纸条，是生便生，是死便死。但是，奸臣却在纸条上做了手脚，让他抽出的任何一张纸条上面写的都是死字。这个阴谋被贤能之臣的好友发现了，并且告知了他，想要和他一起在皇上面前告发奸臣的诡计。但是这个快要被处死的大臣却没让好友这么做，而是很高兴的告诉好友：“不要有任何举动，当我拿到纸条以后，就快速吃进嘴里，那么监斩官就不得不看剩下的那张纸条了，这样监斩官可以推断出我吃进去的纸条上面写的是生字，那么我不就得救了［1］”。通过这个故事，我们能够看出这个即将走上死路的大臣是通过什么方法挽救了自己的生命，贤臣是利用了“生相对于死”的反证法，这样就轻松解决了自己被杀掉的危机。

哈代是一位非常优秀的英国数学家，他说出过这样的言论：“反证法对于数学家来说，就是最强有力的一件武器，比起象棋开局让子以取得优势的方法还要高明很多，象棋对弈最多牺牲一子，而数学家在运用反证法的时候索性全盘否定，拱手相让，最终却取得了胜利错误!未找到引用源。。

这些体现了反证法的神奇之处和不可动摇的地位。反证法是如此神奇，反证法即可以应用到生活当中去解决危机，又可以解决数学中的难题。本文就是具体分析反证法在数学中是如何应用的，希望能为大家学习和运用反证法提供帮助。

2反证法的介绍

2.1反证法的概念

要证明一个命题成立，有时候不容易直接证明，就可以考虑从反向思考证明。

那么先提出与求证的结论相反的假设，然后推导出和已知证明的定理或公理、定

义、原题设相矛盾的结果，这样就证明了跟求证的结论相反的假设是不能成立，

从而肯定了原来求证的结论是成立的，这种间接证明的方法叫反证法［3］。

2.2反证法的证明步骤

大概能够把运用反证法证明命题的方式分为以下三步：

（1）反设——假设命题的结论的反面是成立的。

（2）归谬——通过假设的结论去证明，从而推出一些相矛盾的结论。

（3）结论——说明要证明命题的结论的反面是不能成立的，那就证明了命题

的结论是成立的。

2.3反证法的逻辑依据

在逻辑思想学中有两个规律一个是“矛盾律”另一个就是“排中律”，这两个规律为反证法提供了思想理论依据［4］。

“矛盾律”就是在同样的一个思维方式情况下，两个相反的或者是有矛盾点的定义或者结论之间都是真的情况是不可能的，至少有一个是假的［5］；“排中律” 就是结论与相反的结论，在这两个结论之间是不能够出现都是假的情况的，必定有一个是真的［6］。

运用反证法的时候，根据矛盾律在两个相反的结论当中，一定不能够出现这两个结论都是真的情况，在原来已经知道或者已经证明推导出的真的结论的基础上，那么假设的结论，也就是相反的结论，就必定是假的［7］。依照排中律中的规律，得

出其中的这两个结论都是假的情况也是不可能出现的，那么结论真假的情况就一定是一个真一个假，通过最终证明，最后的假设一定是假的，那么就可以推导出原有的结论就一定不能假，必定是真。所以，有了逻辑思维的理论基础作为反证法的依据，反证法就是可信的。

反证法就是通过矛盾律证明与命题相矛盾的命题是假的，即根据排中律确定

命题是真的证明方法，是一种间接证明方法。

其证明过程如下：要证明命题 p。

第一步：假设反命题非 p。第二步：证明“非p”虚假(依据矛盾律)。第三步：所以命题 p为真(依据排中律)。

2.4反证法的分类

目前根据我所了解到关于反证法的分类，主要是按照了反设方面出现的不同

类型可以分为两类，一类就是归谬反证法，另一类就是穷举反证法［8］。

2.4.1归谬反证法

如果结论的反面只有一种类型，则反设就只有一种，那么要做的就是证明这

个反设是错误的，从而可以证明出结论正确。这个证明方法就是反证法分类的第

一类归谬反证法［8］。

例 1 已知n是整数，同时n2为偶数，求证；n是偶数。

分析：如果想要直接就用什么方法进行证明，可能没有任何想法，虽然题中

给的条件很简单，很明了，我们也能够很清楚的读明白题意，但是正面解题没有

什么关键点，这时候就需要换个角度对此题进行证明，如果我们从反面进行思考，在题中给的条件中进行反面分析，偶数相对的就只有奇数这一种情况，这样就有

了比较清晰的思路，这道题反面分析，就是可以证明在n是奇数的情况下，而n2 不是偶数，这样达到了证明的目的。

证明：假设n是一个奇数。那么n+1和n-1也就是偶数，就可以得出(n+1)(n-1)=n2-1结果也是一个偶数，最后得出n2是一个奇数，结论和题目中n2是偶数产生了矛盾点。假设不成立，即n是偶数。

2.4.2穷举反证法

若是出现了结论的反面不只是一种，那么就要把反面的类型一一列举出来，分情况去证明它们都是错误的，这样就可以达到证明原来结论是正确的，这个证明方法就是反证法分类的第二类穷举反证法［8］。

穷举法就是要把可能的情况都列举出来，带入实际，一个个的去检验是否符合。计算机经常采用种穷举法进行工作，由于计算机的高速运转，工作过程耗时很短，所以得到结论的时间就很短，想要知道结论是真是假，就不用耗费那么长时间。穷举法能够看成是一个最简单的搜索：就是在一个集合中包含了所有的可能的状况元素，对这些元素都一一进行的排查，目的是查看其元素的可行性是不是存在。

例2 设a,b都是整数，且a2+b2能被3整除，求证：a和b都能被3整除错误! 未找到引用源。

。

分析：从题中可以看出结论是a和b都能被3整除，那么需要假设出它的反面，a和b不都能被3整除，那就不只是一种情况，而分多种情况，就需要把它

的反面都列举出来，分情况去证明。

证明：假设a和b不都能被3整除，那么a,b有三种情形：

(1)3|a,3| b；( 2)3| a,3|b；(3)3| a,3| b。

(1)如果3 | a ,3 | b。可设a=3a,b=3b1(a,b Z)，则