课标通用版2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第6讲双曲线检测文

第6讲 双曲线

[基础

题组练]

1．若双曲线C 1：x22－

y28＝1与C 2：x2a2－y2

b2

＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为45，则b ＝( )

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

解析：选B.由题意得，b

a

＝2⇒b ＝2a ，C 2的焦距2c ＝45⇒c ＝a2＋b2＝25⇒b ＝4，故选B.

2．已知双曲线x2a2－y2b2

＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，若|PF 1|－

|PF 2|＝4b ，且双曲线的焦距为25，则该双曲线的方程为( )

A.

x24

－y 2

＝1 B.x23－y22＝1 C ．x 2

－y24

＝1

D.

x22－y23

＝1

解析：选A.由题意可得⎩⎨⎧|PF1|

－|PF2|＝2a ＝4b ，

c2＝a2＋b2，

2c ＝25，

解得⎩⎪⎨

⎪⎧a2＝4，b2＝1，

则该双曲线方程为x2

4

－y 2

＝1.

3．(2019·辽宁抚顺模拟)当双曲线M ：x2m2－

y2

2m ＋6

＝1(－2≤m <0)的焦距取得最小值时，双曲线M 的渐

近线方程为( )

A ．y ＝±2x

B ．y ＝±

22x C ．y ＝±2x

D ．y ＝±12

x

解析：选C.由题意可得c 2

＝m 2

＋2m ＋6＝(m ＋1)2

＋5，当m ＝－1时，c 2

取得最小值，即焦距2c 取得最

小值，此时双曲线M 的方程为x 2

－y24

＝1，所以渐近线方程为y ＝±2x .故选C.

4．已知双曲线x2a2－y2

b2

＝1(a >0，b >0)，过其左焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，若双曲线

的右顶点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( )

A ．(2，＋∞)

B ．(1，2) C.⎝ ⎛⎭

⎪

⎫32

，＋∞

D.⎝

⎛⎭

⎪⎫

1，32

解析：选A.由双曲线的性质可得|AF |＝b2

a

，即以AB 为直径的圆的半径为b2a

，而右顶点与左焦点的距离为a ＋c ，由题意可知b2a

>a ＋c ，整理得c 2

－2a 2－ac >0，两边同除以a 2，则e 2

－e －2>0，解得e >2或e <－1，

又双曲线的离心率大于1，所以e >2.

5．已知双曲线的焦距为6，其上一点P 到两焦点的距离之差为－4，则双曲线的标准方程为________．

解析：若双曲线的焦点在x 轴上，设其标准方程为x2a2－y2b2＝1.由题意得⎩

⎪⎨⎪⎧2c ＝6，2a ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3.又c 2＝a 2

＋

b 2，故b 2

＝5.所以双曲线的标准方程为x24－y25＝1.若双曲线的焦点在y 轴上，设其标准方程为y2a21－x2b21

＝1.同

理可得⎩⎪⎨

⎪⎧a1＝2，c1＝3，

所以b 21＝5.所以双曲线的标准方程为y24－x2

5＝1.综上所述，双曲线的标准方程为x24－y25

＝

1或y24－x25＝1.答案：x24－y25＝1或

y24－x25＝16．若双曲线x2a2－y2

b2

＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________．

答案：x24－y2

5＝1或y24－x25

＝1

6．若双曲线x2a2－

y2

b2

＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________．

解析：由双曲线的渐近线过点(3，－4)知b a ＝43

， 所以b2a2＝169

.又b 2＝c 2－a 2

，所以c2－a2a2＝16

9

，

即e 2

－1＝169

，所以e 2

＝259

，所以e ＝5

3

.

答案：

53

7．已知椭圆D ：x250＋

y225

＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2

＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同的焦点，它的两条渐近

线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．

解：椭圆D 的两个焦点坐标为(－5，0)，(5，0)， 因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.

设双曲线G 的方程为x2a2－y2b2

＝1(a >0，b >0)， 所以渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2

＋b 2

＝25， 又圆心M (0，5)到两条渐近线的距离为r ＝3.

所以

|5a|

b2＋a2

＝3，得a ＝3，b ＝4，

所以双曲线G 的方程为x29－

y2

16

＝1.