应力应变状态分析

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平衡方程
Fn 0 ,
x
t
t xy A
t yx
Ft 0
y
法向的平衡
A
Fn 0
A cos
A sin

A
-
( A cos) cos
x
+t
x
xy (
A
cos) sin
+tyx ( A sin) cos
t xy
- ( A sin) sin 0
sin
2
用完全相似的方法可确定剪应力的极值
dt d
( x - y ) cos2 - 2t x sin 2


1时,能使
dt d
0
( x - y ) cos21 - 2t x sin 21 0
tan 2 1


x - 2t x
y
1、 1 + 90, 它们确定两个互相垂直的
第 八章 应力应变状态分析
§8-1 引言
一.研究应力状态的意义
(1)同一点各个方向的应力不同; (2)相同的受力方式不同的破坏形式,如铸铁与 低碳钢的压缩破坏。
P
P


应力与应变分析
二、一点的应力状态
1.一点的应力状态:通过受力构件一点处各个不同截面
上的应力情况。
2.研究应力状态的目的:找出该点的最大正应力和剪应力
②单元体各个面上的应力已知或可求;
③几种受力情况下截取单元体方法:
P
P
Me B
Me
A
A P/A
B tMe/Wn
a) 一对横截面,两对纵截面 P
Me
b) 横截面,周向面,直径面各一对
C Me
c) 同b),但从 上表面截取
C
t

P A
B C
A
A
A
B
tB
tC
C
C
C
为什么要研究一点的应力状态?
x

yx
t xy
- ( A sin) cos 0
t yx
t

( x
y
- y )sin
cos
+t x (cos2
- sin

2)
y
注:三角公式
sin 2 2sin cos
sin 2 1- cos 2
2
cos2 1+ cos 2
2


剪应力的极值
d d

-2

x

2

y
sin 2
+
t
x
cos
2


x - y
2
0
时,能使
d d
0
sin 2 0 + t x cos2
0

0
该面上恰好切应力等于零t x 0
tan 2 0

-

2t x x -
y
0、0 + 900确定了两个正交平面,其中一个是最大
平面,分别作用着最大和最小剪应力
t max

t min


x
-
2
y
2
+
t
2 x
由:
tan 2 0
x x
CL10TU8
二. 应力分析的解析法
(1)斜截面应力
y
y ty
n
tx

x
txx x
ty
y
n
x
tx

A
t Acos
ty
A sin
y
σ:拉应力为正
τ:顺时针转动为正
α :逆时针转动为正
2.斜面上的应力——微元体的平衡方程
平衡对象——用斜截
面截取的微元局部
参加平衡的量—— 应力乘以其作用的面积
y
t n
t yx y
x cos2 + y sin 2 - 2t x sin cos
切向平衡
Ft 0
A
A cos
-t A + ( A cos) sin
At sin

x
+t ( A cos) cos
t
xy
-t ( A sin) sin
应力与应变分析
(1)应力分量的角标规定:第一角标表示应力作用面,第二 角标表示应力平行的轴,两角标相同时,只用一个角标表示。
(2)面的方位用其法线方向表示
t yz t zy,t zx t xz,t xy t yx
3.截取原始单元体的方法、原则
①用三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标,依问题和构件形状 而定)在一点截取,因其微小,统一看成微小正六面体
t [t ]; [ ]?
低碳钢、铸铁试件受扭时的破坏现象。
低碳钢
铸铁
m
t
m
t
CL10TU2
P
A B C D E
A
B
C
D
E
二.基本概念
主平面 剪应力为零的平面 主应力:主平面上的正应力 主方向: 主平面的法线方向
可以证明:通过受力构件内的任一点,一定存在三个 互相垂直的主平面。 三个主应力用σ 1、 σ 2 、 σ 3 表示,按代数值大小 顺序排列,即 σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3

x
+
2
y
+x
-
2
y
cos 2
-t x
sin 2


t


x
-
2
y
sin 2 + t x
cos 2
讨论:
1) + 2

1 2
(
x
+
y)+
1 2
( x
-
y ) cos 2(
+
)
2
-t x
sin
2(
+
)
2

+
2

1 2
(
x
+ y) -
1 2
(
x
- y ) cos 2
+tx
sin
2
+ + x + y 常量 2
2)t

-t
+
2
§8-3.主应力
和tt都是 xx -+22的函yy s+数in2。x-2利+ty用xcco上oss2式2便-t可x si确n 2定 正应力和
应力状态的分类:
单向应力状态:三个主应力中只有一个不等于零; 二向应力状态(平面应力状态):两个主应力不等于零;
三向应力状态(空间应力状态):三个主应力皆不等于零
二向和三向应力状态统称为复杂应力状态
§8-2 平面应力状态下的应力分析
一.应力单元体
y y
t yx t xy x
x
y
y ty tx
正应力作用面,另一个是最小正应力作用面。
max x + y
min
2


x
-
2
y
2
+
t
2 x
由于该面上午切应力,所以他们就是最大主应 力和最小主应力。





t

x x
+ y
2
- y
2
+

x
-
2
y
cos
2
-t
x
sin 2 +t x cos 2
数值及所在截面的方位,以便研究构件破坏原因并进行失效分 析。
三、研究应力状态的方法—单元体法
1.单元体:围绕构件内一所截取的微小正六面体。
y z
Z z
应力与应变分析
tzy tzx
txy
tyx
tyz
txz
Oபைடு நூலகம்
txy
x
tzy
tzx
x
txz tyz tyx
dz y
Y
dx
X O
y
x
dy z
2.单元体上的应力分量
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