离散数学练习(部分)解答
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离散数学练习(部分)解答
《离散数学》练习解答
福建农林大学东方学院
2009 ——2010 学年第二学期
第一篇数理逻辑
二、解答题:
1、将下列命题符号化:
(1)明天不下雨又有空的话,我就会去
打球。
(2)只要她生病了,我都会去看她(只
有她生病了,我才会去看她)。
(3)每个旅客或坐头等舱或坐二等舱。
(4)有些汽车比任何火车都慢,但并非
所有的汽车都比火车慢。
解(1)设P:明天不下雨;Q:明天我有空;R:明天我去打球。则该命题可符号化为
P Q R
∧→。
(2)设P:她生病;Q:我去看她。则该命
题可符号化为()
→→。
P Q Q P
(3)设:M是旅客;:F坐;:G是
头等舱位;:H是二等
舱位。则该命题可符号化为
∀→∃∧∨∃∧。
x M x y G y F x y y H y F x y
(()((()(,))(()(,))))
(4)设:M是汽车;:W是火车;:F比
慢。则该命题可
符号化为
∃∧∀→∧⌝∀→∀→
(()((()(,))))((()((()(,)))))
x M x y W y F x y x M x y W y F x y
2、求公式(())
=→∨∧⌝的主合取范式和主
G P Q R Q
析取范式,并求使G取值为
真的所有指派。
解:G的主析取范式:
(())
=→∨∧⌝
G P Q R Q
=⌝∨∨∧⌝=⌝∧⌝∨∧⌝∨∧⌝
(())()()()
P Q R Q P Q Q Q R Q
P Q R Q P Q R R R Q P P =⌝∧⌝∨∧⌝=⌝∧⌝∧∨⌝∨∧⌝∧∨⌝
()()[()][()()]
=⌝∧⌝∧∨⌝∧⌝∧⌝∨∧⌝∧∨∧⌝∧⌝
P Q R P Q R R Q P R Q P
()()()()
=∧⌝∧∨⌝∧⌝∧∨⌝∧⌝∧⌝
()()()
P Q R P Q R P Q R
⌝=∧∧∨∧∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧∧∨⌝∧∧⌝()()()()()
G P Q R P Q R P Q R P Q R P Q R
练习解答第1页(共9页)
所以()
=⌝⌝的主合取范式为
G G
=⌝∨⌝∨⌝∧⌝∨⌝∨∧⌝∨∨∧∨⌝∨⌝∧∨⌝∨
()()()()()
G P Q R P Q R P Q R P Q R P Q R
使G取值为真的所有指派为:(1,0,1),(0,0,1),(0,0,0)
注意:若没有要求用等值演算,也可采用真
值表求。
三、逻辑推理题
1、用演绎法证明:P→(⌝Q→R),⌝S∨P,⌝Q,
⌝R├⌝S.
(应注明每一步推理所采用的推理规则)。
证明:(1)()S
⌝⌝(假设,否定结论引入)
(2)S((1)置换,T规则)
(3)S P
⌝∨(前提,P规则)
(4)P((2),(3)析取三段论,T规则)
(5)()
→⌝→(前提,P规则)
P Q R
(6)Q R
⌝→((4),(5)假言推理,T规则)
(7)Q⌝(前提,P 规则)
(8)R((7),(6)
假言推理,T规则)
(9)R⌝(前提,P
规则)
(10)R R
∧⌝((8),(9)合取,T规则)
所以
→⌝→⌝∨⌝⌝⇒⌝
(),,,
P Q R S P Q R S
2、找出下列推导过程中的错误,并问结论
是否有效?如果是,写出正确的推导过
程。
(1)))(
P
∀规则P(前提引入)
x→
x
Q
)
(
(x
(2)()()
→ (1) ∀-
P y Q y
(3))(x
∃规则P(前提引入)
xP
(4))(y P(3) ∃-
(5))(y Q (2),(4)假言推理(6))(x
∃ (5) ∃+
xQ
练习解答第2页(共9页)
解该推导过程中由(3)推出结论(4)是错误的。这是因为第(2)步中已有变元y出现,因此由第(3)步中应用∃-规则时,不能再引入变元y。……………… 3分
结论)(x
∃是有效的,其正确推导过程为:
xQ
(1))(x
xP
∃规则P
(2))(y P(1) ∃-
(3)))(
P
x→
x
∀规则P
(
)
(x
Q
(4)()()
→ (3) ∀-
P y Q y
(5))(y Q (2),(4)假言推理
(6))(x
∃ (5) ∃+
xQ
3、有红、黄、绿、白四队参加足球联赛,如果红队第三,则当黄队不是第二时,绿队第四。或者白队不是第一,或者红队第三。已知绿队不是第四。试证明:如果白队第一,那么黄队第二。
(要求:设P:白队第一;Q:黄队第二;R:红队第三;S:绿队第四。并写出前提和结论的符号化及推理过程。)
解前提:(),,
→⌝→⌝∨⌝
R Q S P R S
结论:P Q
→
证明:(1)P附加前提引入
(2)P R
⌝∨前提引入
(3)R