IIR双线性变换法

Ak(eskTz1)n
n
n0 k1
N
Ak
k1 n0
(eskTz1)n kN11eAskkTz1
回顾
为使滤波器增益不随T 变化，令：
h(n)Tha(nT)
则有:
H(z)
N TAk k11eskTz1
此时:
H (e j ) k H a jT j2 T k H a jT H a j
H a (s ) B A ( (s s ) ) B A ( ( 1 1 ) )s s N N B A ( (2 2 ) )s s N N 1 1 ...... B A ( (N N ) )s s B A ( (N N 1 1 ) )
④[B,A]=butter(N,Wc,’ftype’)
数字滤波器
H (z ) B A ( (z z ) ) B A ( ( 1 1 ) ) B A ( ( 2 2 ) )z z 1 1 . .. .. . B A ( (N N ) )z z ( (N N 1 1 ) ) B A ( (N N 1 1 ) )z z N N
回顾
例 2 —— P182 【例6.3.2】
【例 6.3.2】设计一个数字低通滤波器， 指标如下：
p 0.2 p 1dB 与的关系
s 0.35 s 10dB
= T
【解】
首先将数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器的技术指标，即：
p
p
T
0.2 rad/s
T
s
s
T
0.35 rad/s
T
Rp 1dB Rs 10dB
回顾
（1）设计模拟低通滤波器
已知：Ap 、As 、Ωs、Ωp 要求：确定滤波器阶次N和截止频率Ωc。
N
lg
(10Ap /10
1) /(10As /10
1)
2 lg( p / s )
c
p 10 2 N Ap /10
1
s 10 2 N As /10
1
Ha (s) N cN
(s sk )
（2）变换为数字滤波器
j
jIm[z] Re[z]
S平面
与的关系 = T
Z平面
S平面 虚轴 左半平面 右半平面
Z平面 单位圆 单位圆内部 单位圆外部
回顾
存在多值映射：
j
3/T
产生混 叠失真
/T
-/T
-3/T
S平面
多值映射
jIm[z] Re[z]
Z平面
回顾
H a ( jΩ )
2π － π o
π 2π
% 求Ha(s) % 用脉冲响应不变法求H(z)
[c,b,a]=dir2par(Bz,Az)
% 由直接型转化为并联型
结果为：
二阶节 分子
c= 0 b = 0.7719 -0.0680
-0.7719 0.2398
H(z) 0100..87777149z10.006.8201z361z2 110.0.7471109z10.203.59287z61z2
数字信号处理
Amplitude
(a) Frequency
Time
IIR滤波器设计
l IIR基本概念 √ l 脉冲响应不变法 √
l 双线性法
回顾
一、设计IIR滤波器
可按如下步骤进行： 1. 首先，基于成熟的模拟滤波器技术设计一个合适的模拟滤
波器Ha(s) 。常用模拟滤波器的模型有： ① 巴特沃斯滤波器 ② 切比雪夫滤波器 2. 然后，采用某种方法将该模拟滤波器变换成满足预定指标 的数字滤波器H(z) 。
的阶次高于分子的阶次，则：
ห้องสมุดไป่ตู้
Ha
(s)
N k1
s
Ak sk
回顾
H a(s)
N
ha(t)F1[Ha(s)] Akesktu(t)
k1
采
样
极点传递
N
N
h (n ) h a(n T ) A ke skn T u (n )A k(e sk T )n u (n )
Z
k 1
k 1
变
换
N
H(z) h(n)zn
设T=1，则有
H (z)10.4170 7.3 z1 1 8 10 z. 0 11831z2
例1
模拟滤波器的频率响应Ha(jΩ) 为:
H a(j )H a(s)sj （ 3 2） 2j4
数字滤波器的频率响应H(ejω)为:
H (e j ) H (z )z e j 1 0 .4 1 7 7 0 e .3 j 1 8 1 e 0 .0 j 1 8 3 1 e j2
k 1
其中：
s ej1222kN1
k
c
k=1, 2, …, N
回顾
MatLab提供的函数：
①[N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,’s’) 模拟滤波器
②[N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)
数字滤波器
③[B,A]=butter(N,Wc,’ftype’,’s’)
模拟滤波器
其中T为采样周期。这里假设T=1。
例 2 —— P182 【例6.3.2】
代码如下：
T=1;
%采样周期
Wp=0.2*pi/T;
Rp=1;
Ws=0.35*pi/T;
Rs=10;
[N,Wc] = buttord(Wp, Ws, Rp, Rs, 's');
例 2 —— P182 【例6.3.2】
[B,A]=butter(N, Wc, ‘s’); [Bz,Az] = impinvar(B,A,1/T);
二阶节 分母
a = 1.0000 -0.8774 0.2136 1.0000 -1.0410 0.5276
练习 1
P194 第9题 题意：
拟设计一低通数字滤波器，其技术指标如下：
p 0.2 s 0.3
采样间隔：
p 1dB s 10dB
T 1ms
近似相等
例1
H(z)
N TAk k11eskTz1
设模拟滤波器的系统函数为
极点： -1、-3
H a(s)s24 2s3s1 1s 13
利用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成H(z)。 【解】 直接得到数字滤波器的系统函数为
H (z) 1 z T 1 e 1 T 1 z T 1 e 3 T 1 z 1 T (z e 1 T (e e T 3 T e ) 3 T z ) 2 e 4 T
TT
TT
H (e j )
… － 3 － 2 － o
…
2 3
＝ T
回顾 H(ej)T1HajT
|ω|<π
因此，可以取一个带宽内的信息（限带）：
H a(j )0,
其 中 | | s
T2
回顾
二、脉冲响应不变法
由脉冲响应不变法的变换原理将Ha(s)直接转换为数字滤波器H(z)。
假设：模拟滤波器的系统函数Ha(s)只有单阶极点，且假定分母