第6章空间解析几何精品

例 在平行四边形ABCD中，设 AB a，AD b
试用 a和 b 表示向量MA、MB 、MC 和MD
这里M是平行四边形对角线的交点。
D
b
M
A
a
C B
3、设 ea 表示与 a（ a 0 ）同方向的单位向
量，则
ea
a a
4、定理 设 a 0 。
a b 存在唯一实数 使 b a
第七章 向量代数与空间解析几何
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节
向量及其线性运算 点的坐标与向量的坐标 向量的方向余弦及投影 数量积、向量积 平面及其方程 空间直线及其方程 旋转曲面和二次曲面 空间曲线及其方程
一、向量的概念 1、向量(矢量）定义：既有方向、又有大小的量。
r xi y j zk 坐标分解式
r x, y, z 坐标表示式
x,y,z称为 r 在三个坐标轴上的分量；
xi y j zk 称为分向量。
xi y j zk x, y, z
说明 r 的坐标与原点O的位置无关，只与单位
向量 i j k 有关。
二、向量的线性运算
x1 x2 1
,
y1 y2 1
,
z1 z2 1

即M坐标
一、方向角和方向余弦
1、夹角
设有非零向量 a ，b 。任取空间一点O，作
OA a ，OB b ，规定不超过 的AOB
称为 a 与 b 的夹角。


(a,
b)

(b,
aLeabharlann Baidu
)
B
b
(0 )
O
a
A
2、方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角
设非零向量 r =(x,y,z)
z
r 的方向角：、 、
R
3、方co向s余弦x:
r
,
0



,
cos y , 0 ,
I y
V
任给向量 r ，
z
R
K
作 OM r
H
以OM为对角线，三
坐标轴为棱作长方
O
体，如图。
xP
M
y Q N
OM OP PN NM OP OQ OR
设 OP xi OQ yj OR zk
则 r xi yj zk
结论：点M r OM xi yj zk （x,y,z）
bx by bz ax ay az
三、向量的模、两点间的距离
作 OM r x, y, z
z
则有 r x2 y2 z2
R
K
H
M
任取两点 A x1, y1, z1
B x2, y2, z2
两点距离公式
O
xP
y Q
N
AB x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
大小 a a
方向


0时,方向与a相同 0时,方向与a相反
2、运算规律
（1）结合律：
a


a
=0时,方向任意
a
（2）分配律： a a a
a b a b
向量加减及数乘向量统称为向量的线性运算。
7、向量平行(共线)：两个非零向量方向相同或相反。 *零向量与任何向量都平行。
8、向量共面：设有 k 3个向量，当把它们的起
点重合时，若k个终点和公共起点在同一平面上，则 称这k个向量共面。
二、向量的加减法
1、加法 运用三角形法则、平行四边形法则作图。
2、加法运算规律
（1）交换律：a b b a
例1 求证以 M1 4,3,1 ，M2 7,1,2 ，M3 5,2,3
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。
例2 在Z轴上求与点A(-4,1,7)和点B(3,5,-2) 等距离的点。
例3 已知两点A（4，0，5）和B（7，1，3）。
求方向和 AB 一致的单位向量。
四、定比分点
已知两点A、B，实数 1
Z
k
Oj y
i x
右手法则：以右手握住z轴，当右手的四个手指 从正向x轴以90度转向正向y轴时，大拇指的指向 就是z轴的正向。
X Z
O
x
yO
y
Z
x0
y
卦限的取法
III z
II
IV
x
VIII
A（1，-2，3） IV B（2，3，-4） V C（2，-3，-4） VIII D（-2，-3，1） III
（2）结合律：a b c a (b c)
3、减法
a 负向量：与 大小相同而方向相反的向量叫做
a 的负向量。记作 a b a b a
对任意的 AB及点O，有
AB AO OB OB OA
三、向量与数的乘法
1、 a 与实数 的乘积，记作a
设 a ax, ay , az b bx ,by ,bz
则 a b ax bx , ay by , az bz
a b ax bx , ay by , az bz
a ax ,ay ,az
a 0时 a // b bx,by ,bz ax, ay , az
向量与数轴理论 点P
OP xi
数轴上点P坐标为 x
OP xi
实数x
一、空间直角坐标系
取定一点O和三个两两垂直的单位向量 i 、j k ，
就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴，记 为X轴（横轴）、Y轴（纵轴）、Z轴（竖轴），它 们组成一个空间直角坐标系，称为OXYZ坐标系，
或表示为[O;i, j, k ]
2、向量的表示方法 用一条有向线段来表示一个向量。 有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方
向表示向量的方向。
3、自由向量：与起点无关的向量
4、向量相等：两向量的大小相等、方向相同。
5、向量的模：指向量的大小，即有向线段的长度。
6、单位向量：模等于1的向量。 零向量：模等于0的向量。
（起点和终点重合，方向任意。）
若 AM MB ，则点M称为有向线段 AB
的 分点。
设 A x1, y1, z1 B x2, y2, z2 点M的坐标？
AM OM OA MB OB OM
OM OA OB OM
OM 1 OA OB 1
OM