离散傅里叶变换(DFT)

0,1,
,N
N
1表示其频谱分布规律
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
(3)周期序列的傅里叶变换表示
因为周期序列不满足条件： x%(n) 。因此它的DTFT 不存在。但是，通过引入奇异函n数 δ其DTFT可以用公式
表示。
x % (n ) x % (n k N ),k ¢
x% (n) 1N1X%(k)ej2Nkn Nk0
x((n )) N 表示先对n进行模N运算，然后对所得结果进行函数运算
n 25, N 9, 25 7 9
第3章 离散傅里叶变换(DFT) x(n)
n
0 ~x (n) N-1
...
...
n
0
N-1
定义从n=0 到(N-1)的第一个周期为主值序列或区间。
第3章 离散傅里叶变换(DFT) (2)从DFS到离散傅里叶变换
FT
X ( j) x(t)e jtdt
x(t) 1 X ( j)e jtd
2
时域非周期频域连续。频谱特点：连续非周期谱
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
(3)离散非周期信号
X (e j ) x(n)e jn
DTFT
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n
x(n) 1 X (e j )e jnd
2
时域离散频域周期。频谱特点：周期为2的连续谱
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
3.1 离散傅里叶变换的定义 3.2 离散傅里叶变换的基本性质 3.3 频率域采样 3.4 DFT的应用举例
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
3.1 离散傅里叶变换的定义
一. 引言
我们已经学习了连续时间傅里叶变换、连续周期信 号的傅里叶级数、离散时间傅里叶变换，他们都是信号 处理领域中重要的数学变换。本章讨论离散傅里叶变换 (DFT)，其开辟了频域离散化的道路，使数字信号处理可 以在频域进行。DFT存在快速算法，使信号的实时处理得 以实现。DFT不仅在理论上有重要意义，在各种信号处理 中也起着核心作用。
周期序列
x % (n ) x % (n k N ),k ¢
因为周期序列不满足条件： x%(n) 。因此它的DTFT
不存在。但是，正象连续时间周n期 信号可用傅氏级数表达，
周期序列也可用离散的傅氏级数来表示。
(1)DFS定义
正变换：X
(k)
DFS [ x(n )]
N 1
x(n)e
j 2 N
nk
一般记：
(4) 周期为N 的离散周期信号
DFS
X%(k)
N1
x%(n)e
j2
N
nk
n0
x%(n) 1 N1X%(k)ej2Nnk N k0
k ~ n ~
时域离散周期频域周期离散。频谱特点:周期为N的离散谱
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
四种傅立叶变换:
1. 连续非周期 2. 连续周期 3. 离散非周期 4. 离散周期
X(ej)2 X % (k)(2k)
Nk
N
其 中:X % (k)N1x% (n)ej2N kn
n0
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
四. 离散付里叶变换
周期序列实际上只有有限个序列值才有意义 ，因 而它的离散傅里叶级数表示式也适用于有限长序列 , 这就得到有限长序列的傅里叶变换(DFT)。
具体而言，即：
为 ~x对(n于)周的期“序主列值~x区(间n)”，，定主义值其区第间一上个的周序期列n为=0主~N值-1序，
列 x(n)。
x(n)与~x(n) 的关系可描述为： ~x(n)是x(n)的周期延拓 x(n)是~x(n)的"主值序"列
数学表示：
x%(n) x(nmN)x((n))N
m
x(n)x%(n)RN(n)x((n))NRN(n)
ak
k
将上式两边乘以
e
j2 N
mn
，
并对n在一个周期N上求和得
N1
j2m n N1 j2kn j2m n
x % (n)e N akeN e N
n0
n0 k
N1 j2kn j2mn
ak e N e N
e N 1 j 2 (km)n N n0
N,k m
0,
k
m
k n0 根据正交定理
反变换：x(n)
n0
IDFS[X (k)] 1
N 1
j 2 nk
X (k)e N
N k0
j 2
WN e N
第3章 离散傅里叶变换(DFT) (2)周期序列的离散傅里叶级数推导 由
x % (n ) x % (n k N ),k ¢
x%( n ) 可以展成傅里叶级数：
j2kn
x%(n) ake N
(1)时域周期序列看作是有限长序列x(n)的周期延拓
(2)频域周期序列看作是有限长序列X(k)的周期延拓
(3)把周期序列DFS的定义式（时域、频域）各取主值 区间，就得到关于有限长序列时频域的对应变换对。
（前面已证：时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是同 周期序列）
第3章 离散傅里叶变换(DFT) (1)周期序列的主值区间与主值序列
x(n)e N
X (k)
n0
n0
所以，时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上
仍是一个周期序列
依同样方法可推出：
x% (n) 1N1X%(k)ej2Nkn Nk0 周期序列的离散傅立叶级数表明：可将周期为N的序列 ~x (n)
分解成N个离散的谐波分量的加权和，各谐波的频率为 2k ，
幅度为 1 N
X~ (k )，其中k
连续非周期() FT
离散非周期 () FS
连续周期（ ） DTFT
离散周期
DFS
切实理解四种FT之间的对应关系
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
三. 离散付里叶级数(DFS)
为了便于更好地理解DFT的概念，先讨论周期序列及 其离散傅里叶级数（DFS）表示。然后讨论可作为周期函 数一个周期的有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)。
N1
j2mn
x%(n)e N Nam
令k=m
n0
ak
1
N1
j2kn
x%(n)e N
Nn0
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
ak
1
N1
j2kn
x%(n)e N
Nn0
令X%(k) Nak
N 1
j 2 nk
X (k) x(n)e N
n0
X
(k
N
)
N
1
x(n)e
j
2 N
n(k
N
)
N 1
j 2 nk
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
二. 四种信号傅里叶表示
(1) 周期为T的连续时间周期信号
x(t)
X (k 0 )e jk0t
FS
k
X
(k0
)
1 T
tT x(t )e jk0t dt
t
x(t) x(t nT ) 0 2 / T
时域周期频域离散。频谱特点:离散非周期谱
(2) 连续时间非周期信号