函数的微分

可导 可微. A f ( x0 ). 函数 y f ( x )在任意点 x的微分, 称为函数的 微分, 记作 dy或 df ( x ), 即 dy f ( x )x.
例1 求函数 y x 3 当 x 2, x 0.02时的微分. 解 dy ( x 3 )x 3 x 2 x .
微分 dy叫做函数增量 y的线性主部. (微分的实质)
由定义知:
(1) dy是自变量的改变量 x的线性函数 ;
( 2) y dy o( x )是比x高阶无穷小 ; ( 3) 当A 0时, dy与y是等价无穷小 ;
y o( x ) 1 ( x 0). 1 dy A x
例2 设 y ln( x e ), 求dy.
x2
解
例3
y
1 2 xe xe
x2
x2
,
dy
1 2 xe xe
Байду номын сангаасx2
x2
dx.
设 y e 1 3 x cos x, 求dy.
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1.基本初等函数的微分公式
d (C ) 0 d (sin x ) cos xdx d (tan x ) sec2 xdx d ( x ) x 1 dx d (cos x ) sin xdx d (cot x ) csc2 xdx
二、微分的定义
定义 设函数 y f ( x )在某区间内有定义, x0及 x0 x在这区间内, 如果
y f ( x0 x ) f ( x0 ) A x o( x ) 成立(其中A是与x无关的常数), 则称函数 y f ( x )在点 x0可微, 并且称A x为函数 y f ( x )在点 x0相应于自变量增量x的微分, 记作 dy x x0 或 df ( x0 ), 即dy x x0 A x .
y 即 f ( x 0 ) , x
0 ( x 0),
y lim f ( x 0 ), x 0 x
从而 y f ( x0 ) x ( x ), f ( x0 ) x o( x ),
函数 f ( x )在点 x0可微, 且 f ( x0 ) A.
y ( x 0 x ) x
3 3 0 2 3
3 x x 3 x 0 ( x ) ( x ) .
(1)
2 0
( 2)
当 x 很小时, ( 2)是x的高阶无穷小o( x ),
2 y 3 x0 x .
既容易计算又是较好的近似值
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
2
x 0 x
2 A x0
2 x 0 x ( x ) 2 .
(1) ( 2)
x 0 x
x0
(1) : x的线性函数, 且为A的主要部分; ( 2) :x的高阶无穷小, 当 x 很小时可忽略.
再例如, 设函数 y x 3在点 x0处的改变量
为x时, 求函数的改变量 y .
(4) A是与x无关的常数, 但与f ( x )和x0 有关;
(5) 当 x 很小时, y dy (线性主部).
三、可微的条件
定理
函数 f ( x )在点 x0可微的充要条件是函
数 f ( x )在点 x0处可导, 且 A f ( x0 ).
证
(1) 必要性
f ( x )在点x0 可微,
四、微分的几何意义
几何意义:(如图)
y
T N P
o( x )
当y是曲线的纵 坐标增量时, dy 就是切线纵坐标 对应的增量.
o
y f ( x)
）
M
dy y
x

x0
x0 x
x
当 x 很小时, 在点M的附近, 切线段 MP可近似代替曲线段 MN .
五、微分的求法
dy f ( x )dx
d (sec x ) sec x tan xdx d (csc x ) csc x cot xdx
d (a x ) a x ln adx 1 d (log a x ) dx x ln a 1 d (arcsin x ) dx 2 1 x 1 d (arctan x ) 2 dx 1 x
第六节 函数的微分
一、问题的提出 二、微分的定义 三、可微的条件
四、微分的几何意义 五、微分的求法
六、微分形式的不变性
一、问题的提出
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由x0变到x0 x,
x0
x
( x ) 2
x
正方形面积 A x0 ,
2 A ( x 0 x ) 2 x 0
dy
x2 x 0.02
3 x 2 x
x2 x 0.02
0.24.
通常把自变量 x的增量 x称为自变量的微分,
dy dy f ( x )dx. f ( x ). dx 即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于
记作 dx , 即dx x .
该函数的导数. 导数也叫" 微商".
d (e x ) e x dx 1 d (ln x ) dx x 1 d (arccos x ) dx 2 1 x 1 d (arc cot x ) 2 dx 1 x
2. 函数和、差、积、商的微分法则
d ( u v ) du dv d ( uv ) vdu udv d (Cu) Cdu u vdu udv d( ) v v2
y o( x ) A , x x
y A x o( x ),
y o( x ) 则 lim A lim A. x 0 x x 0 x
即函数 f ( x )在点 x0可导, 且A f ( x0 ).
(2) 充分性
函数f ( x )在点x0 可导,