函数的微分
函数微分的基本概念
函数微分的基本概念1. 函数微分的定义对于一个给定的函数f(x)，它的函数微分定义为：df(x)=f′(x)dx其中f′(x)是f(x)在x处的导数，dx是x的微小变化量。
函数微分df(x)是一个线性映射，它将x的微小变化量dx映射到f(x)的微小变化量df(x)。
函数微分的几何意义是，它表示函数f(x)在x处的曲线的切线的斜率。
2. 函数微分的性质函数微分具有以下性质：1.线性性：对于任意两个常数a和b，以及两个函数f(x)和g(x)，有d(af(x)+bg(x))=adf(x)+bdg(x)2.乘积法则：对于两个函数f(x)和g(x)，有d(f(x)g(x))=f(x)dg(x)+g(x)df(x)3.商法则：对于两个函数f(x)和g(x)，其中g(x)≠0，有d(f(x)g(x))=g(x)df(x)−f(x)dg(x)g(x)24.链式法则：对于两个函数f(x)和g(x)，其中g(x)是可微的，有df(g(x))=f′(g(x))dg(x)3. 函数微分的应用函数微分在数学和物理中有广泛的应用，例如：1.求函数的最大值和最小值：函数微分可以用来求函数的最大值和最小值。
如果函数f(x)在x0处取得最大值或最小值，那么f′(x0)=0。
2.求函数的导数：函数微分可以用来求函数的导数。
如果函数f(x)在x0处可微，那么它的导数为f′(x0)=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx3.求函数的积分：函数微分可以用来求函数的积分。
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么它的积分可以表示为∫f b a (x)dx=limn→∞∑fni=1(x i)Δx其中x i=a+iΔx，Δx=b−an。
4.求函数的泰勒展开式：函数微分可以用来求函数的泰勒展开式。
如果函数f(x)在x0处可微，那么它的泰勒展开式为f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f″(x0)2!(x−x0)2+⋯函数微分是一个非常重要的数学工具，它在数学和物理中有广泛的应用。
函数微分的定义
函数微分的定义：设函数在某区间内有定义，X0及X o+A x在这区间内，若函数的增量可表示为几1‘宀，其中A是不依赖于△x 的常数，-:-」是厶X的高阶无穷小，则称函数：丁;在点X o可微的。
心丁叫做函数」J—在点x o相应于自变量增量△ x的微分，记作dy，即：「二」—通过上面的学习我们知道：微分：是自变量改变量△x的线性函数，dy与厶y的差宀是关于A x的高阶无穷小量，我们把dy称作△y的线性主部。
于是我们又得出：当△ x宀0时，△ y~dy.导数的记—=广⑴号为：一'，现在我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而且还可以表示两个微分的比值（把厶x看成dx,即:定义自变量的增量等于自变量的微分），还可表示为：由此我们得出：若函数在某区间上可导，则它在此区间上一定可微，反之亦成立。
导数的定义：设函数1■-'在点X0的某一邻域内有定义，当自变量X在X0处有增量厶X（X+ △X也在该邻域内）时，相应地函数有增量' '■ - ' - ?■-，若△y与厶x之比当△x-0时极限存在，则称这个极限值为""⑴在X o处的导数。
记为：还可记为：必 f , 八心）函数在点X o处存在导数简称函数」八在点X o处可导，否则不可导。
若函数在区间（a,b）内每一点都可导，就称函数在区间（a,b）内可导。
这时函数」「对于区间佝b）内的每一个确定的X 值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数' ';的导函数。
拉格朗日中值定理如果函数'〜'在闭区间［a,b］上连续，在开区间（a,b）内可导，那末在（a,b）内至少有一点c,使这个定理的特殊情形，即：-的情形，称为罗尔定理。
描述如下：若在闭区间［a,b］上连续，在开区间（a,b）内可导，且"1： ' ：「•’」，那末在（a,b）内至少有一点6使v「成立。
高等数学第二章：函数的微分
dx
26
注： 由导数的“微商”及一阶微分形式不变性,
(3) 通常把自变量x的增量x 称为自变量的 微分,记作 dx, 即 dx x. 什么意思？
例如： 已知 y x , 求 d y.
解 d y (x)x 1 x x, 由于 y x, 故得 d y d x x.
11
上例表明:
自变量的增量就是自变量的微分：x d x
y A x o(x),
lim y x0 x
lim A o(x)
x0
x
A.
即函数 f ( x)在点 x0可导,且A f ( x0 ).
7
定理 函数 f ( x)在点x0可微 函数 f ( x)
在点 x0处可导,且 A f ( x0 ),即有 dy f ( x0 )x.
(2) 充分性 函数f ( x)在点x0可导,
y lim
x0 x
f ( x0 ),
即 y x
f ( x0 ) , ( x 0,
0)
从而 y f ( x0 ) x (x),
f ( x0 ) x o(x),
函数 f ( x)在点 x0可微, 且 f ( x0 ) A.
d(u v) du dv
d(uv) vdu udv
d
u v
vdu udv v2
18
例 设 y ln( x e x2 ), 求dy.
解
y
1
x
2
xe ex
x
2
2
,
dy
1
x
函数的微分
例
求隐函数 e
xy
xy
2 x y 的微分
3
3
解： 对方程两边分别求微分，得
d (e ) d ( 2 x y )
e d ( xy) d (2 x) d ( y )
xy
3
e
xy
( xdy ydx) 2dx 3 y dy
2
移项整理求得
xy 2
xy
d (e ) d ( 2 x y )
3
y ( x x) x 3 3 1.01 1 0.030301
3
3
dy x x 0.03
3
dy
几何意义：
y y0
f ( x0 )x
y
M 0 ( x0 , y0 )
y f ( x)
M ( x0 x, y0 y)
函数 y f ( x)在 x
sin xdx x cos xdx sin xdx
x cos xdx
函数的微分
5、dy
arctan xd e e d arctan x
x x
arctan x
x x
2
e arctan xe dx dx 2 1 x 2 arctan x e arctan xe 2 1 x dx 2 arctan x
法则可直接得到微分的基本公式和
运算法则。
1.微分的基本公式
1、d (C ) 0
2、d ( x ) x
x
x
1
dx( R)
3、d (a ) a ln adx(a 0且a 1)
1 dx(a 0且a 1) 4、d (log a x) x ln a 1 d (ln x) dx x
高等数学函数的微分
2、定义 设函数 y = f (x) 在点 x0 处可导，则
称 f ( x0 )x 为函数 f (x) 在点 x0 的微分,
dy / 记作
xx0 即 dy /xx0 f (x0 )x.
3、定义 函数y = f (x)在任意点x的微分，称为函 数的微分，记为dy或df (x)。即
四、微分的应用
例 [金属立体受热后体积的改变量] 某一正方体金属的边长为2cm，当金属受热 边长增加0.01cm时，体积大约改变了是多少？ 解 设边长为xcm的正方体的体积为V立方厘米
d
(arcቤተ መጻሕፍቲ ባይዱan
x)
1
1 x2
dx
d
(arccot
x)
1
1 x
2
dx
2.函数和、差、积、商的微分法则
设 u、v 都是可导函数，c 为常数，则
d(u v) = du dv. d(uv) = vdu + udv. d(cu) = cdu.
d
v u
udv vdu u2
(u 0).
例 5 设函数 y = e1-3x cosx，求 dy . 解 dy = d(e1-3x cosx)
(sec x)sec x tan x d(sec x)sec x tan xdx
(csc x)csc x cot x d(csc x)csc x cot xdx
(a x )a x ln a
d(ax)ax ln adx
(e x)e x
d(ex)exdx
(log
a
x)
1 x ln
a
(ln x ) 1 x
第二章第3节-函数的微分
故 在点 可导, 且
定理 2.6 函数 在点
在点 x0 可微的充要条件是 处可导, 且 即
d y f ( x0 )x
“充分性” 已知 在点 的可导, 则
y lim f ( x0 ) x 0 x y f ( x0 ) x
Hale Waihona Puke d y 3 x x.2 0
(1)
( 2)
2 当x 很小时, y dy 3 x0 x.
定理 2.6 函数 在点
在点 x0 可微的充要条件是 处可导, 且 即
d y f ( x0 )x
证: “必要性”
已知
在点
可微 , 则
y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x)
dy f ( x) 导数也叫作微商 dx
例1.
求 y x 2 在 x 1, x 0.01 时的微分。
x 1 x 0.01
解: d y
2 x x
x 1
0.02
x 0.01
例2. 求y=x3在x=2处的微分, 以及当x=0.1时在x=2 处的微分。
dx 3 x 2 dx 3x 2 x ( x dx ) 解: dy ( x )
1 x2 dx ; (16) d (arccot x) dx 2 . (15) d (arctan x) 1 x2 1 x
2.四则运算微分法则
设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
du dv vdu udv
3. 复合函数的微分法则 均可导 , 则
(C 为常数)
(10)d (cot x) csc 2 xdx ;
函数的微分
(e 2 x cosx)' dx (2e 2 x - sinx)dx
(
1 3 x )’= 3
x dx
2
x2
1 2x e 2x 2 d ＿＿＿＿ = e dx
1 d 2 sin(2 x 1) ＿＿＿＿＿＿ = cos(2 x 1)dx
( 1 e 2 x )’= e 2 x 2 (
1 sin(2 x 1) )’= cos(2 x 1) 2
(1)当f ' ' ( x0 ) 0时, f ( x)在x0处取得极大值f ( x0 ); (2)当f ' ' ( x0 ) 0时, f ( x)在x0处取得极小值f ( x0 ).
注：此方法只能判断驻点处的极值，不能判断尖点处极值。对于尖点， 只能用第一判断法。
例2：求函数f ( x) x 3 - 3x的极值
由V r 2 h 54 ,
54 r2 108 54 2 2r 2 S 2r 2r 2 r r 108 (4r 3 108 ) S ' 4r - 2 r r2 令S ' 0，得唯一驻点r 3 得h
当0 r 3时，S ' 0
例1：f ( x) ln x在[1, e]上是否满足拉格朗日中值定理？若满足，求出
解：) f ( x) ln x在[1, e]上连续 (1
1 (2) f ' ( x) (ln x)' ， x
故f ( x)在(1, e)内可导
所以f ( x)在[1, e]内满足拉格朗日中值定 理，
至少存在一点 (1, e), 使得
f (e) f (1) f ' ( ) , e 1
函数的微分
问题
f ( x) ?
算不出 已知 相差很小
例 sin 31 ? 1 分析 sin 30 2 31 30 1
sin 31 sin 30 A ? 180 线性函数
问题1归结为：
f ( x 0 x ) f ( x0 ) Ax ( x 1) ?
d( u v ) du dv d(Cu) Cdu d( uv ) udv vdu u vdu udv d v2 v
（2）复合函数的微分法则
y f ( u), u为自变量
微分的形式不变性
dy f ( u)du
u为中间变量 u g( x ) d dy f ( u) g (u x )dx
能否找到一个函数A0+AΔx,使 能否找到一个函数AΔx,使
y f ( x 0 x ) f ( x 0 ) Ax ( x 1) ?
一 微分的概念
(一) 引例
(二) 定义 (三) 可微条件
(四) 几何意义
一 微分的概念
(一) 引例
(二) 定义 (三) 可微条件
(四) 几何意义
(二) 定义 (三) 可微条件
(四) 几何意义
一 微分的概念
(一) 引例
(二) 定义 (三) 可微条件
(四) 几何意义
定理
y=f(x)在x0处可微
注 1．y=f(x)在x0处可微
y=f(x)在x0处可导
d y A x f ( x0 )x
2．Δx称为自变量的微分,记作:dx
3．y=f(x)在x0处的微分记作：d y f ( x0 )dx
a的绝对误差
a的相对误差 A的绝对误差限
函数的微分课件
函数的微分课件函数的微分课件在数学领域中，微分是一个非常重要的概念。
它是微积分的基础，也是应用数学中的关键概念之一。
通过微分，我们可以研究函数的变化率、极值以及曲线的切线方程等问题。
在这篇文章中，我们将探讨函数的微分，并介绍一些与微分相关的基本概念和定理。
一、导数的定义在微分学中，导数是函数变化率的度量。
如果函数f(x)在某一点x处的导数存在，那么我们可以用f'(x)来表示这个导数。
导数的定义如下：f'(x) = lim (h→0) (f(x+h) - f(x))/h这个定义可以解释为函数在x处的切线的斜率。
也就是说，当h趋近于0时，函数在x处的切线的斜率就是函数在x处的导数。
二、常见函数的导数对于一些常见的函数，我们可以通过一些基本的导数公式来求导。
下面是一些常见函数的导数：1. 常数函数：f(x) = c，其中c为常数，导数为0。
2. 幂函数：f(x) = x^n，其中n为正整数，导数为f'(x) = nx^(n-1)。
3. 指数函数：f(x) = e^x，导数为f'(x) = e^x。
4. 对数函数：f(x) = ln(x)，导数为f'(x) = 1/x。
5. 三角函数：f(x) = sin(x)，导数为f'(x) = cos(x)；f(x) = cos(x)，导数为f'(x) = -sin(x)。
通过这些基本的导数公式，我们可以求出更复杂函数的导数。
例如，对于多项式函数、指数函数和三角函数的组合函数，我们可以使用链式法则来求导。
三、微分的应用微分在实际问题中有着广泛的应用。
下面我们将介绍一些微分的应用。
1. 最值问题：通过求函数的导数，我们可以确定函数的极值点。
当导数等于零或不存在时，函数可能达到极值。
通过求解导数为零的方程，我们可以找到函数的极值点。
2. 切线与曲线的关系：函数的导数可以用来求解曲线的切线方程。
在某一点上，曲线的切线的斜率等于函数在该点的导数。
函数微分的定义
函数微分的定义函数微分的定义:设函数在某区间内有定义,x0 及 x0+△x 在这区间内,若函数的增量可表示为,其中 A 就是不依赖于△x 的常数, 就是△x 的高阶无穷小,则称函数在点 x0可微的。
叫做函数在点 x0 相应于自变量增量△x 的微分,记作dy,即: = 。
通过上面的学习我们知道:微分 就是自变量改变量△x 的线性函数,dy 与△y 的差 就是关于△x 的高阶无穷小量,我们把 dy 称作△y 的线性主部。
于就是我们又得出:当△x→0 时,△y≈dy、导数的记号为:,现在我们可以发现,它不仅表示导数的记号,而且还可以表示两个微分的比值(把△x 瞧成 dx,即:定义自变量的增量等于自变量的微分),还可表示为:由此我们得出:若函数在某区间上可导,则它在此区间上一定可微,反之亦成立。
导数的定义:设函数在点 x0 的某一邻域内有定义,当自变量 x在 x0 处有增量△x(x+△x 也在该邻域内 )时,相应地函 数有增量,若△y 与△x 之比当△x→0 时极限存在,则称这个极限值为在 x0 处的导数。
记为: 还可记为:,函数 在点 x0 处存在导数简称函数 在点 x0 处可导,否则不可导。
若函数 在区间(a,b)内每一点都可导,就称函数 在区间(a,b)内可导。
这时函数对于区间(a,b)内的每一个确定的 x 值,都对应着一个确定的导数,这就构成一个新的函数,我们就称这个函数为原来函数函数微分的定义的导函数。
导数公式微分公式函数与、差、积、商的求导法则函数与、差、积、商的微分法则拉格朗日中值定理 如果函数少有一点 c,使在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那末在(a,b)内至成立。
这个定理的特殊情形,即:的情形,称为罗尔定理。
描述如下:若在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且,那末在(a,b)内至少有一点 c,使成立。
函数微分的定义注:这个定理就是罗尔在 17 世纪初,在微积分发明之前以几何的形式提出来的。
函数的微分
微分与增量的关系
定理：当f ( x0 ) 0 时，微分是增量的线性 主部。
主部：设 ， 均为无穷小，若 o
则称 是 的主部，有 o 结论： 若 o ，则 ~ 。
。
证： 若 f ( x 0 ) 0 ，则 Δy f ( x 0 Δx ) f ( x 0 ) 0
得
当
3 x 2 d x 3 y 2 d y 3 cos 3 x d x 6 d y 0 1 由上式得 d y x 0 d x x 0 时 y 0, 2
返回
称为a 的相对误差
若 称为测量 A 的绝对误差限 称为测量 A 的相对误差限
误差传递公式 :
若直接测量某量得 x , 按公式 已知测量误差限为 计算 y 值时的误差
x ,
d y f ( x) x
故 y 的绝对误差限约为
y f ( x) x
y
f ( x) x y f ( x)
整理并移项即得： x (dy dx ) y (dy dx ) #
思考： 若 y＝e
sin x
dy ，怎样求 ？ d cos x
返回
三、 微分在近似计算中的应用
y f ( x0 )x o( x)
当
x
很小时,
得近似等式:
y f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) x
y 2 2 例 3 推证等式 arctan ＝ln x ＋y 满足 x 关系式 x dy－dx ＝ y dy＋dx .
证：
利用微分的形式不变性 对等式两边求微分 1 xdy ydx 1 1 2 (2 xdx 2 ydy ) 2 2 2 2 x y x y 1 x
微分公式大全
微分公式大全一、基本微分公式1.导数的定义公式：若函数y=f(x)在点x处可导，则其导数f′(x)定义为：$$f'(x) = \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{f(x+\\Delta x)-f(x)}{\\Delta x}$$2.基本微分法则：(1)常数微分法则：$$\\frac{d}{dx}(C) = 0$$(2)变量相乘法则：$$\\frac{d}{dx}(uv) = u'\\cdot v + u \\cdot v'$$(3)常数倍法则：$$\\frac{d}{dx}(Cu) = C\\cdot u'$$(4)反函数微分法则：若y=f(x)的反函数为x=g(y)，则有 $\\frac{dx}{dy} =\\frac{1}{\\frac{dy}{dx}}$(5)除法法则：若 $y = \\frac{u}{v}$，则有 $\\frac{dy}{dx} = \\frac{u'v - uv'}{v^2}$3.幂函数微分法则：若y=ax n，其中a为常数，n为整数，则有 $\\frac{dy}{dx} = anx^{n-1}$二、常见函数的微分公式1.三角函数微分：(1)正弦函数微分：$$\\frac{d}{dx}(\\sin x) = \\cos x$$(2)余弦函数微分：$$\\frac{d}{dx}(\\cos x) = -\\sin x$$(3)正切函数微分：$$\\frac{d}{dx}(\\tan x) = \\sec^2 x$$(4)余切函数微分：$$\\frac{d}{dx}(\\cot x) = -\\csc^2 x$$2.指数函数与对数函数微分：(1)指数函数微分：$$\\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$$(2)对数函数微分：$$\\frac{d}{dx}(\\ln x) = \\frac{1}{x}$$3.反三角函数微分：(1)反正弦函数微分：$$\\frac{d}{dx}(\\arcsin x) = \\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$$(2)反余弦函数微分：$$\\frac{d}{dx}(\\arccos x) = -\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$$(3)反正切函数微分：$$\\frac{d}{dx}(\\arctan x) = \\frac{1}{1+x^2}$$三、链式法则链式法则用于计算复合函数的导数。
函数的微分
例如 dcos x(cos x)Dx sin x Dx
dex(e x)DxexDx.
yf(x)在点x0可微DyADxo(Dx). dyADx. 例1 求函数yx2在x1和x3处的微分. 解 函数yx2在x1处的微分为 dy(x2)|x1Dx2Dx 函数yx2在x3处的微分为 dy(x2)|x3Dx6Dx. 例2 求函数 yx3当x2 Dx 0.02时的微分. 解 先求函数在任意点x 的微分 dy(x3)Dx3x2Dx. 再求函数当x2 Dx0.02时的微分 dy|x2 Dx0.02 3x2| x2, Dx0.02 3220.020.24.
§2.5 函数的微分
一、微分的定义
二、微分的几何意义 三、基本微分公式与微分运算法则 四、微分在近似计算中的应用
一、微分的定义
引例 一块正方形金属片受热后其边长 x 由 x0 变到 x0Dx 考查此薄片的面积 A 的改变情况. 因为 Ax2 所以金属片面积 的改变量为 DA(x0Dx)2(x0)2 2x0Dx(Dx)2. 当Dx0时 (Dx)2o(Dx ) DA的主要部分是Dx的线性函数 2x0Dx 2x0Dx是DA的近似值.
根据等价无穷小的性质 Dydyo(dy). 结论 在f (x0)0的条件下 以微分dyf (x0)Dx近似代替增 量Dyf(x0Dx)f(x0)时 其误差为o(dy). 因此 当|Dx|很小时 有近似等式Dydy.
二、微分的几何意义
当x从x0变到x0Dx时 Dy是曲线上点的纵坐标的增量 dy是过点(x0 f(x0))的切线上点的纵坐标的增量.
d(a x)ax ln adx d(e x)exdx
Байду номын сангаас数公式:
微分公式:
(log a x) 1 x ln a (ln x) 1 x 1 (arcsin x) 1 x2 (arccosx) 1 1 x2 (arctan x) 1 2 1 x (arc cot x) 1 2 1 x
《函数的微分》课件
极值问题
极值的定义和性质 极值的求解方法 极值在生活中的应用 极值问题的实际案例
曲线的切线问题
切线的定义和性质
切线的求法
切线的应用：求曲 线在某一点的切线 方程
切线的应用：求曲 线在某一点的切线 斜率
函数的单调性判断
定义：函数在某 区间内单调增加 或单调减少
单调性的判断方 法：导数法、图 像法、表格法等
微分方程及其解法
Байду номын сангаас
微分方程的基本概念
分类：根据未知函数的个数， 微分方程可以分为一阶、二 阶和高阶微分方程
定义：微分方程是包含未知 函数及其导数的方程
形式：微分方程通常可以表 示为f(x,y',y'',...) = 0
解法：常用的解法包括分离 变量法、常数变易法、降阶
法等
一阶微分方程的解法
定义：一阶微分方 程是只含有一个自 变量和一个导数的 方程
指数函数的微分规则
函数形式：指数函数的一般形式为y=a^x，其中a>0且a≠1 微分规则：指数函数的微分规则为(a^x)'=a^x*ln(a)，其中a>0且a≠1 微分性质：指数函数的微分性质包括单调性、凹凸性、极值等 应用：指数函数的微分规则在经济学、物理学等领域有着广泛的应用
链式法则
添加 标题
形式：dy/dx + p(x)y = q(x)
求解方法：分离变 量法、常数变易法 、线性微分方程的 解法
举例：y' + y = 0, y' + 2y = sin(x)等
二阶微分方程的解法
常用的解法：常数变易法、 降阶法、比较法
定义和分类
特殊类型的解法：伯努利方 程、欧拉方程
第二章第五节 函数的微分
高等数学
二、微分的几何意义
当x从x0变到x0+∆x时, ∆y是曲线上点的纵坐 标的增量; dy是过点(x0, f(x0))的切 线上点的纵坐标的增量. 当|∆x|很小时, |∆y−dy|比|∆x|小得多. 因此, 在点M的邻近, 我们可以用切线段来近似代 替曲线段. 记 自变量的微分, ∆y = ∆x = dx 称∆x为 自变量的微分 记作 dx dy = f ′(x) 导数也叫作微商 则有 dy = f ′(x) dx 从而 dx
高等数学
§2.5函数的微分 函数的微分
一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分的运算法则 四、微分在近似计算中的应用
高等数学
一、微分的概念 引例: 引例 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其 边长由 x0 变到 x0 + ∆x , 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A= x2 , 当 x 在 x0 取 得增量 ∆x 时, 面积的增量为 (∆x)2 x0∆x ∆x 关于△x 的 ∆x →0时为 线性主部 高阶无穷小 故 称为函数在 x0 的微分
高等数学
2、 微分的四则运算法则 、 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
= du ± dv = vdu + udv
3. 复合函数的微分 分别可微 , 则复合函数 的微分为
(C 为常数)
= f ′(u) ϕ′(x) dx dy = f ′(u) du
du
微分形式不变
高等数学
若y=f(u), u=j(x), 则dy=f ′(u)du. 例3 y=sin(2x+1), 求dy. 解 把2x+1看成中间变量u, 则 dy=d(sin u) =cos udu =cos(2x+1)d(2x+1) =cos(2x+1)⋅2dx =2cos(2x+1)dx. 在求复合函数的导数时, 可以不写出中间变量. 例4. y =ln(1+ex2 ) , 求 dy. 解 dy =d ln(1+ex2 ) = 1 2 d(1+ex2 ) 1+ex 1 ⋅ex2d(x2) = 1 ⋅ex2 ⋅2xdx = 2xex2 dx = . x2 x2 x2 1+e 1+e 1+e
函数的微分
第七节 函数的微分一、微分的定义1、引例：设一正方形金属薄片，受温度的影响，其边长由0x 变为x x ∆+0；求其面积的改变量？ 200)(x x S =， 200)()(x x x x S ∆+=∆+ 20202000)(2)()()(x x x x x x x S x x S S ∆+∆=-∆+=-∆+=∆。
设x x I ∆=012（是x ∆的线性函数），)()(22x o x I ∆=∆=，当||x ∆很小时，1I S ≈∆。
一般地，若函数)(x f y =满足一定条件，则函数的增量y ∆可表示为：)(x o x A y ∆+∆=∆，其中A 是不依赖于x ∆的常量，因而A 是x ∆的线性函数，且它与y ∆之差为：)(x o x A y ∆=∆-∆，是比x ∆高阶的无穷小。
因而当||x ∆很小时，x A y ∆≈∆。
2、微分的定义定义：设函数)(x f y =在某区间内有定义，0x 及x x ∆+0在该区间内，如果函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，可表示为：)(x o x A y ∆+∆=∆，其中A 是不依赖于x ∆的常数，而)(x o ∆是比x ∆高阶的无穷小，那末称函数)(x f y =在点0x 是可微的，而x A ∆叫函数)(x f y =在点0x 相应于自变量增量x ∆的微分，记作dy ，即dy =x A ∆。
微分的特性：（1） dy =x A ∆是x ∆的线性函数，若A ≠0，则称dy 是的y ∆线性主部。
（2） )(x o x A y ∆=∆-∆，当||x ∆很小时，dy ≈y ∆。
3、函数)(x f y =在点0x 可微与函数)(x f y =在点0x 可导的关系 函数)(x f y =在点0x 可微 ⇔ 函数)(x f y =在点0x 可导 即：)(x o x A y ∆+∆=∆ 即： )(lim 0/0x f x y x =∆∆→∆ x x o A x y ∆∆+=∆∆)( )()(0/x x f xy ∆+=∆∆α（其中0)(lim 0=∆→∆x x α A xx o A x y x x =∆∆+=∆∆→∆→∆))((lim lim 00 )()()()(0/0/x o x x f x x x x f y ∆+∆=∆∆+∆=∆α 故函数)(x f y =在点0x 可导。
函数微分的定义
函数微分的定义：设函数在某区间内有定义，x0及x0+△x在这区间内，若函数的增量可表示为，其中A是不依赖于△x 的常数，是△x的高阶无穷小，则称函数在点x0可微的。
叫做函数在点x0相应于自变量增量△x的微分，记作dy，即：=。
通过上面的学习我们知道：微分是自变量改变量△x的线性函数，dy与△y的差是关于△x的高阶无穷小量，我们把dy称作△y的线性主部。
于是我们又得出：当△x→0时，△y≈dy.导数的记号为：，现在我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而且还可以表示两个微分的比值(把△x看成dx,即:定义自变量的增量等于自变量的微分)，还可表示为：由此我们得出：若函数在某区间上可导，则它在此区间上一定可微，反之亦成立。
导数的定义：设函数在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量△x(x+△x也在该邻域内)时，相应地函数有增量，若△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称这个极限值为在x0处的导数。
记为：还可记为：，函数在点x0处存在导数简称函数在点x0处可导，否则不可导。
若函数在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数在区间(a,b)内可导。
这时函数对于区间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数的导函数。
导数公式微分公式函数和、差、积、商的求导法则函数和、差、积、商的微分法则拉格朗日中值定理如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那末在(a,b)内至少有一点c，使成立。
这个定理的特殊情形，即：的情形，称为罗尔定理。
描述如下：若在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且，那末在(a,b)内至少有一点c，使成立。
注：这个定理是罗尔在17世纪初，在微积分发明之前以几何的形式提出来的。
注：在此我们对这两个定理不加以证明，若有什么疑问，请参考相关书籍下面我们在学习一条通过拉格朗日中值定理推广得来的定理——柯西中值定理柯西中值定理如果函数，在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且≠0，那末在(a，b)内至少有一点c，使成立。
函数微分的概念
例题2 求函数 y=esinx 微分。 解 dy=d (e sin x )=(e sin x )dx =(e sin x )(sin x )dx =e sin x cos x dx
三、微分的几何意义 ！
f (x0+x) y=f (x0)+f (x0) · x f (x0) 切线方程： y=f (x0)+f (x0)(x-x0)
y=f (x) y dy x0+x
x0
当自变量 x 改变量为 x 时，曲线过点 P0 的切线纵坐 标的改变量， dy=f (x0) · x 为函数f (x)在P0点微分.
总结
1.对一元函数，函数可导就可微，可 微就可导。 dy =f (x) · dx 2.有导数的基本公式和运算法则，可 得为分的基本公式与运算法则。
如果存在常数A，使得到相应函数值的增量
y f ( x0 x ) f ( x0 ) A x o(x )
其中o(x)是比x 高阶的无穷小量）。则称函数f(x) 在点x0处是可微的， A· x 称为在点处的微分。 记作： dy = A· x .
二ห้องสมุดไป่ตู้可微与可导关系
定理 函数 f (x) 在x0点处可微的充要条件是：函数f (x)在 x0点处可导，并且 dy f ( x0 ) x 证 y=A· x+o(x) 如果函数可微，即在x0点处 所以
设y=x, 所以y=1,
dy=dx=y· x 即dx=x dx 所以函数 y=f(x) 的微分常写成 dy= f (x)·x =f (x) · 例题1 求函数 y=sinx2 微分。 解 因为 所以 cos x2 y =(sin x2)=cos x2· (x2) =2x· dy=ydx= 2x cosx2 dx
基本初等函数的微分公式与微分运算法则
基本初等函数的微分公式与微分运算法则从函数的微分的表达式d y=f′(x)d x可以看出，要计算函数的微分，只要计算函数的导数，再乘以⾃变量的微分.因此，可得如下的微分公式和微分运算法则. 1.基本初等函数的微分公式由基本初等函数的导数公式，可以直接写出基本初等函数的微分公式.为了便于对照，列表于下：2.函数和、差、积、商的微分法则由函数和、差、积、商的求导法则，可推得相应的微分法则.为了便于对照，列成下表（表中u=u（x），v=v（x）都可导）.再根据乘积的求导法则，有(uv )′=u ′v +uv ′现在我们以乘积的微分法则为例加以证明.根据函数微分的表达式，有d(uv )=(uv )′d x于是: d(uv )=u ′v +uv ′d x =u ′v d x +uv ′d x由于: u ′d x =d u ,v ′d x =d v 所以: d(uv )=v d u +u d v其他法则都可以⽤类似⽅法证明。
3.复合函数的微分法则与复合函数的求导法则相应的复合函数的微分法则可推导如下：设 y =f (u )及u =g (x )都可导，则复合函数y =f [g (x )]的微分为d y =y ′x d x =f ′(u )g ′(x )d x由于g ′(x )dx =du ，所以，复合函数y =f [g (x )]微分公式也可以写成d y =f ′(u )d u 或 d y =y ′u d u由此可见，⽆论u 是⾃变量还是中间变量，微分形式dy =f ′(u )du 保持不变.这⼀性质称为微分形式不变性.这性质表⽰，当变换⾃变量时，微分形式dy =f ′(u )du 并不改变.参考： 《⾼等数学》同济六版 -> P116()Processing math: 100%。
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dy f ( x)dx. ——微分计算公式 dy 此时, 定理可重述为: dy f ( x)dx f ( x). dx
10
dy dy dx. 故导数也称为“微商”. dx 导数的这种定义在某些场合下应用会很方便 .
求函数导数或微分的方法也称为“微分法”. 可微、可导、连续的关系
2
第五节
函数的微分
一、微分的定义 设有函数 y f ( x) , 当 x 在 x0 处有增量 x 时, 函数 y 有对应的增量 y f ( x0 x) f ( x0 ) .
当函数 f ( x ) 较为复杂时, y 的计算就比较麻烦.
例如 y arctan x , 在 x0 1 处有增量 x 0.02 , 求 y .
（保留3位小数）
y arctan1.02 arctan1 计算困难
任务： 为 y 寻求一个既简单（容易计算）又满足一定精度 要求的近似表达式.
3
实例：正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由 x0变到x0 x,
x0
x
( x ) 2
x
正方形面积 A x ,
2 0
2 A ( x0 x)2 x0
y f ( x0 ) , (2) 充分性 设 函数f ( x)在点x0可导, 则 lim x 0 x y f ( x 0 ) x lim 0 , 于是 y f ( x0 )x o(x) , x 0 x
即 y Ax o(x ) , 函数 f ( x )在点x0可微 .
3
求函数的改变量 y .
3 y ( x 0 x ) 3 x 0 2 3 x0 x 3 x 0 ( x ) 2 ( x ) 3 .
(1)
( 2)
当 | x | 很小时 , (2)是x的高阶无穷小 o(x ),
2 y 3 x 0 x .
既容易计算又是较好的近似式
o
y f ( x)
）
M
dy
x
y
x0
当| x | 很小时, 在点M的附近 , 切线段 MP可近似代替曲线段MN .
x0 x
x
以直代曲
12
三、微分的计算
计算公式：dy
f ( x) dx , dy|x x0 f ( x0 ) dx
x 例1 设 y ln sin , 求dy. 5 x 1 x 1 x 1 解 y (ln sin ) cos cot , x 5 5 5 5 5
1 例如：d( x ) ( x ) dx x dx ;
1 dx ; d(arctan x) (arctan x)dx 2 1 x d(csc x) (csc x)dx csc x cot xdx
对微分的基本公式, 我们要求大家熟练掌握, 既要会顺 着记,也要回反着记.
因此导数与微分有本质区别,不能混为一谈. (2) y dy|x x0 o(x)是比x高阶无穷小;
(3) 当| x | 很小时, y dy|x x0 (线性主部 ).
(4) 当A 0时,dy|x x0 与y是等价无穷小;
y o ( x ) 1 (x 0). 1 dy|x x0 A x
y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x)
其中A是仅依赖于 x0而与x无关的常数, o(x)是比x 高阶的无穷小量， 则称函数 y f ( x ) 在点 x0 处可微，
并称 A x 为 f ( x ) 在点 x0 处相应于自变量 x 的微分,
(5) A是与x无关的常数, 但与f ( x)和x0有关 ;
7
遗留的问题：
(1) 定义中的常数A如何求？ (2) 函数可微的条件？ (3) 可导与可微有何联系？ 定理（可导与可微的关系） 函数 f ( x)在点 x0处可微的
充分必要条件是 f ( x)在点 x0处可导, 且 A f ( x0 ).
20
例4 运用微分的四则运算法则求下列函数的微分
tan x ; (1) y sin xe arctan x ; (2) y 1 ln x x 解 (1) dy d(sin xe ) d(arctan x )
x
ex d(sin x) sin xd(ex ) d(arctan x ) 1 x x e cos xdx sin x e dx dx 2 1 x 1 x [e (cos x sin x ) ] dx 2 1 x
9
x
x
可微 可导， A f ( x0 ).
由此定理, 可得
dy |xx0 Ax f ( x0 )x.
一般地,有 dy f ( x)x.
特别地, 当y x 时， f ( x) ( x) 1，
此时有 dy dx 1 x x . 即 dx x.
x 0 x
2 A x0
2 x 0 x ( x ) 2 .
(1) ( 2)
x 0 x
x0
2 x0 x. （| x | 很小时）
(1) : x的线性函数, 且为A的主要部分;
(2) : x的高阶无穷小, 当 | x | 很小时可忽略.
4
再如, 设函数y x 在点x0处的改变量为 x时,
2
[ x(1 ln x ) sec x tan x ] dx 2 x(1 ln x )
2
22
（2）复合函数的微分法则
若 y f ( x ) 可导，则 dy f ( x ) dx .
又设 x g( t ) , g (t ) 可导，则复合函数 y f [ g( t )]
sin
1 x dy ydx cot dx. 5 5
注意：dx勿丢.
13
5
例2 求函数 y sin x 在点 x 0 和 x 解
2
的微分 .
dy (sinx ) dx cos x dx , 所以
d y x0 (cos0) dx dx ,
d y x (cos ) dx 0 . 2 2
可微, 且其微分为
dy f ( g (t )) dt f ( x) g (t ) dt f ( x) dx
(而 dx g( t )dt )
结论： 无论 x是自变量还是中间变量 , 函数 y f ( x) 的微分形式总是
dy f ( x ) dx
23
此性质称为一阶微分的形式不变性.
记作dy | x x0 或 df | x0 , 即
dy | x x0 A x
6
y A x o(x)， dy | x x A x
0
由定义可知： (1) 微分dy|x x0 是自变量增量x的线性函数;
而导数 f ( x0 )是增量比的极限(值) ;
例3 求函数 y x 3 当 x 2, x 0.02时的微分. 解
dy ( x 3 ) dx 3 x 2 dx ,
d y x2
x 0.02
3 x x x2
2
x 0.02
0.24 .
14
由导数的基本公式和运算法则, 结合微分的计算公式
即可得微分的基本公式以及运算法则,详见 P 100 页.
d(Cu) C du u v du u dv d( ) v v2
例如，由函数的商的求导法则
u vu uv ( ) 2 v v
以及 du u dx 和在 dv v dx ，即有
u u vu dx uv dx vdu udv d( ) ( ) dx . 2 2 v v v v
算所构成的复杂函数和幂指函数.
1
3、参数式函数的求导公式
x (t ) , 其中 (t ), (t )二阶可导,则有 y (t )
(t ) dy 2 dy dt (t ) d y (t ) ， . 2 dx dx (t ) dx (t ) 勿丢 dt
即
可微 可导
8
可微 可导， A f ( x0 ).
证 (1) 必要性 设f ( x)在点x0可微, 则
y A x o(x), y A o(x) ,
y o(x) A+0=A. 从而， lim A lim x 0 x x 0 x
即函数 f ( x )在点 x0可导, 且A f ( x0 ).
问题： 是否所有的 y 都能分成两部分：一部分是
x 的线性部分, 其余部分是 x 的高阶无穷小？
5
定义 设函数 y f ( x)在x0的某领域U ( x0 )内有定义 ,
当x在x0处有增量x 时( x0 x U ( x0 )), 若对应的函数增量
y当 x 0 时可表示为
一阶微分形式不变性的应用： (1) 计算复合函数的导数或微分 例5 设 y ln( x e ) , 求 y .
x2
解
x x e u 1 1 x2 2 x2 [d x e d( x ) ] ) ] 2 2 [dx d(e x ex x ex x2 1 2 xe 1 x2 dx. [dx e 2xdx ] x2 x2 xe xe x2 1 2 xe y . x2 xe
1、基本初等函数的微分公式（ P100 页）
d(arcsinx ) 1 1 x
2
dx
d(arccosx )
ห้องสมุดไป่ตู้
1 1 x2
dx
1 d(arctanx ) dx 2 1 x
1 d(arccot x ) dx 2 1 x