第2章 计算机中的数据表示方法
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第2章
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
计算机中数据的表示法
计数制及其相互转换 计算机中数值数据的表示 计算机中带符号数的表示 计算机非数值数据的编码 数据校验码
第1页
2013年8月1日星期四
第2章 2.1
2.1.1 计数制
计算机中数据的表示法
计数制及其相互转换
计数制是计数的方式方法。按进位原则进行计 数的方法称为进位计数制，简称进位制。 数据无论是哪种进位制，都包含两个要素：基 数（Radix）和位权（Weight）。 基数是某种计数制中允许的数字符号的个数。 在R进制数中，基数为R，即包含R个不同的数字符号， 每个数位计满R就向高位进1，即逢R进1。 每个数字符号所表示的数值等于该数字符号值 乘以一个与数码位臵有关的常数，这个常数叫位权， 简称“权”。
第2页 2013年8月1日星期四
第2章
计算机中数据的表示法
【例2.1】在十进制计数制中，123.45可以 表示为按权展开的多项式和的形式：
123.45 1 102 2 101 3 100 4 101 5 102
一般R进制数表示为：
N R K n 1 R n 1 K n 2 R n 2 K 1 R 1 K 0 R 0 K 1 R 1 K 2 R 2 K m R m
所以有：215D=11010111B。
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第2章
计算机中数据的表示法
(2) 十进制纯小数转换成二进制纯小数，通常采 用乘2取整法。 所谓乘2取整法，就是将已知的十进制纯小数部 分反复乘以2，每次取其整数，若得到的整数为1， 则对应二进制数的相应位为1，若得到的整数为0， 则对应二进制数相应位为0，第一次乘2得到的整数 是二进制数的最高位，从高位到低位逐次进行，直 至满足精度要求或乘2后的小数部分为0为止。设最 后一次乘2所得的整数为K-m，转换后，所得的纯二 进制小数为0.K-1K-2……K-m。
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第2章
计算机中数据的表示法
【例2.10】把二进制数1101110.0100111B转换 为八进制数。
001 1 101 5 110. 6 010 2 011 3 100 4
即 1101110.0100111B=156.234Q 八进制数转换成二进制数的方法是：将一位八 进制数用相应的三位二进制数代替既可完成转换。
第19页
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第2章
6 4
计算机中数据的表示法
3 . 5 7
【例2.11】把八进制数643.57Q转换成二进制数。
110 100 011. 101 111 即 643.57Q=110100011.101111B (2) 二进制与十六进制间的转换 根据这个关系，即每四位二进制数对应一位十六 进制数。仿照二进制与八进制间的转换方法，可以 进行二进制数与十六进制数的转换。
第15页
2013年8月1日星期四
第2章
计算机中数据的表示法
2．二进制数转换为十进制数
将二进制数转换为十进制数，只需要将二进制数 按位权展开求和，便得到相应的十进制数。
【例2.8】 将二进制数11011.1001B转换为十进数。
11011.1001B 1 2 4 1 2 3 0 2 2 1 21 1 2 0 1 2 1 0 2 2 0 2 3 1 2 4 16 8 2 1 0.5 0.0625 27.5625
i n 1
K
m
i
8i
基数R=8，数字符号Ki为0、1、2、3、4、5、6、7。 采用“逢八进一”计数。 【例2.3】写出八进制数3525.76Q的多项式形式。
(3525.76) 8 3 83 5 8 2 2 81 5 8 0 7 8 1 6 8 2
i n 1
K i 2i
m
基数R=2，数字符号Ki为0、1。采用“逢二进一”计数。 【例2.2】写出二进制数1001.11B的多项式形式。
(1001.11) 2 1 2 3 0 2 2 0 21 1 2 0 1 2 1 1 2 2
3．八进制 八进制与二进制有一种特殊关系，即3位二进制 码表示一位八进制码，。
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第2章
计算机中数据的表示法
【例2.12】将1110110111.1101001B转换成十六 进制数。 0011 1011 0111. 1101 0010
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第2章
计算机中数据的表示法
【例2.5】 将215D转换成二进制数。
2
2 2 2 2
2
2
2
215 107 53 26 13 6 3 1 0
......余1，k0=1 ......余1，k1=1 ......余1，k2=1 ......余0，k3=0 ......余1，k4=1 ......余0，k5=0 ......余1，k6=1 ......余1，k7=1
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第2章
计算机中数据的表示法
【例2.6】 将0.725D转换成纯二进制小数。 0.725 〓 2 取1 K-1 1.450 0.450 〓 2 取0 K-2 0.900 〓 2 取1 K-3 1.800 0.800 〓 2 取1 K-4 1.600 如果取4位小数能满足精度要求，则有： 0.725D≈0.1011B。
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第2章
计算机中数据的表示法
N 10 K n 1 10 n 1 K n 2 10 n 2 K 1 101 K 0 10 0 K 1 10 1 K 2 10 2 K m 10 m
4．十六进制 十六进制采用“逢十六进一”计数。
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第2章
计算机中数据的表示法
对任意一个十六进制数N可表示为：
N 16 K n 1 16 n 1 K n 2 16 n 2 K 1 161 K 0 16 0 K 1 16 1 K 2 16 2 K m 16 m
常用几种进位计数制从0～16的表示方法列于表2-1。
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第2章
表2-1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 十进制数
计算机中数据的表示法
二进制数 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000 八进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17 20 十六进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D
十进制数转换为R进制数仍然是将整数部分和小 数部分分别进行转换。整数部分采用除R取余法；小 数部分采用乘R取整法。转换的过程和十进制整数转 换成二进制整数相同。 4．R进制数转换为K进制数 借助于任意进制数与十进制数的转换，可以进行R 进制数与K进制数的转换。即先将R进制数转换成十 进制数，然后再将十进制数转换成K进制数。
i n 1
K
m
i
16i
基数R=16，数字符号Ki为0、1、2、……、9、A、 B、C、D、E、F。 【例2.4】写出十六进制数9A5D.7EH的多项式形式。
(9 A5D.7E)16 9 163 10 162 5 161 13 160 7 161 14 162
i n 1 m
K
i
Ri
其中：R — 基数，表示进制。 Ki — 数字符号，是0、1、……、R－1中的任 何一个。 i — 位序号。 Ri — 位权。m，n 均为正整数。
第3页 2013年8月1日星期四
第2章
2.1.2
计算机中数据的表示法
Baidu Nhomakorabea计算机中常用的进位计数制
为了区分各进制数，在数字后面加一个字母来 标识。 二进制用B（Binary） 八进制用Q（Octal）（为防止字母O与数字0混淆， 使用Q表示） 十六进制用H（Hexdecimal） 十进制用D（Decimal）（通常省略） 1．十进制 对任意一个十进制数N可表示为：
第17页 2013年8月1日星期四
第2章
计算机中数据的表示法
5．二进制与八进制、十六进制间的转换 二进制与八进制、十六进制间的转换可以用上述 办法进行，另外还有更简捷的转换方法。 (1) 二进制与八进制间的转换 由于有这个关系，即每三位二进制数对应一位八 进制数，所以二进制数转换成八进制数的方法是： 以小数点为界，分别向左、右将二进制数每三位分 为一组，若不够三位时，可在最高位的左边，或在 小数的最右边添0，补足三位(不影响原数值的大小)， 然后将每三位二进制数用一位八进制数表示即可完 成转换。
3．R进制数与十进制数转换 由如上转换可知，R进制数转换为十进制数的方法 即是将所给的R进制数用按位权展开式展开并求和既 可。
第16页 2013年8月1日星期四
第2章
【例2.9】
计算机中数据的表示法
将十六进制数4E.CH转换为十进制数。
4E.CH 4 161 14 160 12 161 64 14 0.75 78.75
第6页
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第2章
计算机中数据的表示法
对任意一个二进制数N可表示为：
N 2 K n 1 2 n 1 K n 2 2 n 2 K 1 21 K 0 2 0 K 1 2 1 K 2 2 2 K m 2 m
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第2章
计算机中数据的表示法
对任意一个八进制数N可表示为：
N 8 K n 1 8 n 1 K n 2 8 n 2 K 1 81 K 0 8 0 K 1 8 1 K 2 8 2 K m 8 m
E
常用进位计数制从0～16的表示
F 10
第10页
2013年8月1日星期四
第2章
2.1.3
计算机中数据的表示法
不同进制数之间的转换
1．十进制数转换为二进制数 十进制数转换为二进制数应该将整数部分和小 数部分分别进行转换。 （1）十进制整数转换成二进制整数，通常采用除 2取余法。所谓除2取余法，就是将已知的十进制数 反复除以2，每次取其余数，若得到的余数为1，则 对应二进制数的相应位为1，若得到的余数为0，则 对应二进制数相应位为0，第一次得到的余数是二进 制数的最低位，最后一次余数是二进制数的最高位， 从低位到高位逐次进行，直至商为0为止。
i n 1
K
m
i
10i
基数R=10，数字符号Ki为0、1、2、……、9。采 用“逢十进一”计数。
2．二进制 计算机内部对各种各样的数据、操作命令、存 储地址等都使用二进制码表示。这是因为二进制数 字系统有几方面优点：
第5页 2013年8月1日星期四
第2章
计算机中数据的表示法
二进制码物理上容易实现。可用电位高、低，脉冲 有、无，正、负极性，开关的开、合，器件的两个 稳态等来表示二进制数位上的“0”和“1”。 二进制数运算规则简单。可用开关电路实现。 二进制码的0和1正好与逻辑代数的0、1吻合， 可方便进行逻辑运算。 二进制与十进制、八进制、十六进制的转换关 系简单。
第14页 2013年8月1日星期四
第2章
计算机中数据的表示法
(3) 十进制混合小数转换为二进制数 混合小数由整数和小数复合而成，需要将整数 部分和小数部分分别进行转换，然后将转换结果组 合起来即可。
【例2.7】将215.725D 转换为二进制数。 解:如上求得215D=11010111B 0.725D≈0.1011B 则215.725D≈11010111.1011B
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
计算机中数据的表示法
计数制及其相互转换 计算机中数值数据的表示 计算机中带符号数的表示 计算机非数值数据的编码 数据校验码
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第2章 2.1
2.1.1 计数制
计算机中数据的表示法
计数制及其相互转换
计数制是计数的方式方法。按进位原则进行计 数的方法称为进位计数制，简称进位制。 数据无论是哪种进位制，都包含两个要素：基 数（Radix）和位权（Weight）。 基数是某种计数制中允许的数字符号的个数。 在R进制数中，基数为R，即包含R个不同的数字符号， 每个数位计满R就向高位进1，即逢R进1。 每个数字符号所表示的数值等于该数字符号值 乘以一个与数码位臵有关的常数，这个常数叫位权， 简称“权”。
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第2章
计算机中数据的表示法
【例2.1】在十进制计数制中，123.45可以 表示为按权展开的多项式和的形式：
123.45 1 102 2 101 3 100 4 101 5 102
一般R进制数表示为：
N R K n 1 R n 1 K n 2 R n 2 K 1 R 1 K 0 R 0 K 1 R 1 K 2 R 2 K m R m
所以有：215D=11010111B。
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第2章
计算机中数据的表示法
(2) 十进制纯小数转换成二进制纯小数，通常采 用乘2取整法。 所谓乘2取整法，就是将已知的十进制纯小数部 分反复乘以2，每次取其整数，若得到的整数为1， 则对应二进制数的相应位为1，若得到的整数为0， 则对应二进制数相应位为0，第一次乘2得到的整数 是二进制数的最高位，从高位到低位逐次进行，直 至满足精度要求或乘2后的小数部分为0为止。设最 后一次乘2所得的整数为K-m，转换后，所得的纯二 进制小数为0.K-1K-2……K-m。
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第2章
计算机中数据的表示法
【例2.10】把二进制数1101110.0100111B转换 为八进制数。
001 1 101 5 110. 6 010 2 011 3 100 4
即 1101110.0100111B=156.234Q 八进制数转换成二进制数的方法是：将一位八 进制数用相应的三位二进制数代替既可完成转换。
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计算机中数据的表示法
3 . 5 7
【例2.11】把八进制数643.57Q转换成二进制数。
110 100 011. 101 111 即 643.57Q=110100011.101111B (2) 二进制与十六进制间的转换 根据这个关系，即每四位二进制数对应一位十六 进制数。仿照二进制与八进制间的转换方法，可以 进行二进制数与十六进制数的转换。
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计算机中数据的表示法
2．二进制数转换为十进制数
将二进制数转换为十进制数，只需要将二进制数 按位权展开求和，便得到相应的十进制数。
【例2.8】 将二进制数11011.1001B转换为十进数。
11011.1001B 1 2 4 1 2 3 0 2 2 1 21 1 2 0 1 2 1 0 2 2 0 2 3 1 2 4 16 8 2 1 0.5 0.0625 27.5625
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K
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基数R=8，数字符号Ki为0、1、2、3、4、5、6、7。 采用“逢八进一”计数。 【例2.3】写出八进制数3525.76Q的多项式形式。
(3525.76) 8 3 83 5 8 2 2 81 5 8 0 7 8 1 6 8 2
i n 1
K i 2i
m
基数R=2，数字符号Ki为0、1。采用“逢二进一”计数。 【例2.2】写出二进制数1001.11B的多项式形式。
(1001.11) 2 1 2 3 0 2 2 0 21 1 2 0 1 2 1 1 2 2
3．八进制 八进制与二进制有一种特殊关系，即3位二进制 码表示一位八进制码，。
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计算机中数据的表示法
【例2.12】将1110110111.1101001B转换成十六 进制数。 0011 1011 0111. 1101 0010
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第2章
计算机中数据的表示法
【例2.5】 将215D转换成二进制数。
2
2 2 2 2
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215 107 53 26 13 6 3 1 0
......余1，k0=1 ......余1，k1=1 ......余1，k2=1 ......余0，k3=0 ......余1，k4=1 ......余0，k5=0 ......余1，k6=1 ......余1，k7=1
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第2章
计算机中数据的表示法
【例2.6】 将0.725D转换成纯二进制小数。 0.725 〓 2 取1 K-1 1.450 0.450 〓 2 取0 K-2 0.900 〓 2 取1 K-3 1.800 0.800 〓 2 取1 K-4 1.600 如果取4位小数能满足精度要求，则有： 0.725D≈0.1011B。
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第2章
计算机中数据的表示法
N 10 K n 1 10 n 1 K n 2 10 n 2 K 1 101 K 0 10 0 K 1 10 1 K 2 10 2 K m 10 m
4．十六进制 十六进制采用“逢十六进一”计数。
第8页 2013年8月1日星期四
第2章
计算机中数据的表示法
对任意一个十六进制数N可表示为：
N 16 K n 1 16 n 1 K n 2 16 n 2 K 1 161 K 0 16 0 K 1 16 1 K 2 16 2 K m 16 m
常用几种进位计数制从0～16的表示方法列于表2-1。
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第2章
表2-1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 十进制数
计算机中数据的表示法
二进制数 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000 八进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17 20 十六进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D
十进制数转换为R进制数仍然是将整数部分和小 数部分分别进行转换。整数部分采用除R取余法；小 数部分采用乘R取整法。转换的过程和十进制整数转 换成二进制整数相同。 4．R进制数转换为K进制数 借助于任意进制数与十进制数的转换，可以进行R 进制数与K进制数的转换。即先将R进制数转换成十 进制数，然后再将十进制数转换成K进制数。
i n 1
K
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i
16i
基数R=16，数字符号Ki为0、1、2、……、9、A、 B、C、D、E、F。 【例2.4】写出十六进制数9A5D.7EH的多项式形式。
(9 A5D.7E)16 9 163 10 162 5 161 13 160 7 161 14 162
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Ri
其中：R — 基数，表示进制。 Ki — 数字符号，是0、1、……、R－1中的任 何一个。 i — 位序号。 Ri — 位权。m，n 均为正整数。
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2.1.2
计算机中数据的表示法
Baidu Nhomakorabea计算机中常用的进位计数制
为了区分各进制数，在数字后面加一个字母来 标识。 二进制用B（Binary） 八进制用Q（Octal）（为防止字母O与数字0混淆， 使用Q表示） 十六进制用H（Hexdecimal） 十进制用D（Decimal）（通常省略） 1．十进制 对任意一个十进制数N可表示为：
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5．二进制与八进制、十六进制间的转换 二进制与八进制、十六进制间的转换可以用上述 办法进行，另外还有更简捷的转换方法。 (1) 二进制与八进制间的转换 由于有这个关系，即每三位二进制数对应一位八 进制数，所以二进制数转换成八进制数的方法是： 以小数点为界，分别向左、右将二进制数每三位分 为一组，若不够三位时，可在最高位的左边，或在 小数的最右边添0，补足三位(不影响原数值的大小)， 然后将每三位二进制数用一位八进制数表示即可完 成转换。
3．R进制数与十进制数转换 由如上转换可知，R进制数转换为十进制数的方法 即是将所给的R进制数用按位权展开式展开并求和既 可。
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【例2.9】
计算机中数据的表示法
将十六进制数4E.CH转换为十进制数。
4E.CH 4 161 14 160 12 161 64 14 0.75 78.75
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计算机中数据的表示法
对任意一个二进制数N可表示为：
N 2 K n 1 2 n 1 K n 2 2 n 2 K 1 21 K 0 2 0 K 1 2 1 K 2 2 2 K m 2 m
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计算机中数据的表示法
对任意一个八进制数N可表示为：
N 8 K n 1 8 n 1 K n 2 8 n 2 K 1 81 K 0 8 0 K 1 8 1 K 2 8 2 K m 8 m
E
常用进位计数制从0～16的表示
F 10
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2.1.3
计算机中数据的表示法
不同进制数之间的转换
1．十进制数转换为二进制数 十进制数转换为二进制数应该将整数部分和小 数部分分别进行转换。 （1）十进制整数转换成二进制整数，通常采用除 2取余法。所谓除2取余法，就是将已知的十进制数 反复除以2，每次取其余数，若得到的余数为1，则 对应二进制数的相应位为1，若得到的余数为0，则 对应二进制数相应位为0，第一次得到的余数是二进 制数的最低位，最后一次余数是二进制数的最高位， 从低位到高位逐次进行，直至商为0为止。
i n 1
K
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i
10i
基数R=10，数字符号Ki为0、1、2、……、9。采 用“逢十进一”计数。
2．二进制 计算机内部对各种各样的数据、操作命令、存 储地址等都使用二进制码表示。这是因为二进制数 字系统有几方面优点：
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第2章
计算机中数据的表示法
二进制码物理上容易实现。可用电位高、低，脉冲 有、无，正、负极性，开关的开、合，器件的两个 稳态等来表示二进制数位上的“0”和“1”。 二进制数运算规则简单。可用开关电路实现。 二进制码的0和1正好与逻辑代数的0、1吻合， 可方便进行逻辑运算。 二进制与十进制、八进制、十六进制的转换关 系简单。
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第2章
计算机中数据的表示法
(3) 十进制混合小数转换为二进制数 混合小数由整数和小数复合而成，需要将整数 部分和小数部分分别进行转换，然后将转换结果组 合起来即可。
【例2.7】将215.725D 转换为二进制数。 解:如上求得215D=11010111B 0.725D≈0.1011B 则215.725D≈11010111.1011B