七年级有理数的认识和数轴练习题
七年级有理数的认识和数轴练习题
一、填空题
1、设向东走为正，向东30米，记作______,；西走20米记作_______；原地不动记作______；记作—25米表示向______走25米；记作+16米表示向__ ___走16米。
2、比海平面高200米的地方，它的高度记作海拔______米，比海平面低10 0米的地方，它的高度记作海拔______米。
3、某地区最低气温是—28摄氏度，最高气温是+31摄氏度，该地区的温度差是________。
4、一个潜水艇所在的高度是—80米，一条鲨鱼在潜水艇上30米处，鲨鱼所在的高度是________米。
5、甲潜水员在海平面—22米处作业，乙潜水员在海平面—48米处作业，_ ____潜水员离海平面较近。
6、最小的正整数是________，最大的负整数是________，________既不是正数也不是负数。
7、在数轴上，原点左边的点表示_______，原点右边的点表示________。
8、与原点的距离为4个单位长度的点有______个，它们分别是__________。
9、点P在数轴原点的右边，则点P表示的是_______数，—3在数轴上原点的______边，表示—3的点距离原点有______个单位长度。
10、大于—3的最小整数为_______，小于—4.5的最大整数为________，大于—4.5而小于—1.5的整数有_______个，它们分别是___________。
11、在数轴上，距离为—3的点2个单位长度的点所表示的数为
____________。
12、大于—5的非正整数为____________；不小于—3的负整数为________ ___；
大于—2且小于3.5的非负整数为_______________。
13、若数轴上点A向右移动3个单位长度后，又向左移动了2个单位长度，此时，正好对应点是—6这个点，那么原来A点对应的点是___________。
14若m<0，则2m_____3m。
二、选择题
1、在0、—0.5、—
2、—8、+10、+1.9、+
3、—3,4中整数的个数是（）
A、6
B、5
C、4
D、3
2、用—a表示的数一定是（）
A、负数
B、负整数
C、正数或负数
D、以上都不对
3、下列说法正确的是（）
A、有理数是指整数，分数，正有理数，零，负有理数这类数
B、一个有理数一定不是正数就是负数
C、一个有理数一定不是整数就是分数
D、以上都不对
4、既不是整数，也不是正数的有理数是（）
A、0和正分数
B、负整数和负分数
C、正分数和负分数
D、负分数和0
5、在数轴上，原点和原点右边的点所表示的数是（）
A、正数
B、负数
C、非正数
D、非负数
6、下列结论错误的是（）
A、最大的负整数是—1
B、在数轴上表示+3和—3的点到原点的距离相等
C、规定了原点，方向和单位长度的直线叫做数轴
D、正有理数，0，负有理数统称为有理数
7、以下结论正确的是（）
A、a一定大于0
B、2a一定大于a
C、a+5一定大于a
D、9—a一定小于a
三、解答题
画出数轴，并在数轴上标出下列各数，并从小到大排列。
3 1.25 —1 —1 1.3 —2.5 0 31
数轴知识讲解及经典例题
第二讲 数轴 1、 相关知识链接 （1） 有理数分为正有理数、0、负有理数。 （2） 观察温度计时发现：直线上的点可以表示有理数。 请读出下面各个温度计所表示的温度： 2、 知识详解 【知识点1】数轴的概念 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 注：（1）规定直线上向右的方向为正方向。 (2)数轴三要素：原点、正方向、单位长度。 【例1】下列五个选项中，是数轴的是（ ） A. B. C. D. E. 【知识点2】数轴上的点与有理数的关系 0 1 2 -1 -2 3 0 1 -1 2 1 0 1 -1 0 1 -1 0 1 2 -2 -1 3
所有有理数都可以用数轴上的点来表示，0表示原点，正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示。但反过来，不能说数轴上的所有点都表示有理数。 【例2】如图，数轴上的点A 、B 、C 、D 分别表示什么数？ 【知识点3】相反数的概念 （1） 几何定义：在数轴上，原点两旁离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数；如图 所示1和-1 （2） 代数定义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个数是另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。 特别地，0的相反数为0。 【例3】（1）2 1的相反数是 ；一个数的相反数是7 ，则这个数是 。 （2）分别写出下列A 、B 、C 、D 、E 各点对应有理数的相反数 【知识点4】利用数轴比较有理数的大小 在数轴上表示的数，右边的数总是比左边大； 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。 【例4】a 、b 为两个有理数，在数轴上的位置如图所示，把a 、b 、-a 、-b 、0按从小到大的顺序排列出来。 变式：已知a>b>0，比较a ，-a ，b ，-b 的大小。 0 1 -1 0 a b
有理数的乘方典型例题
《有理数的乘方》典型例题 例1 计算： （1）4)3(-；（2）3)8(-；（3）4)3 1(- 分析 根据乘方的意义可以直接用乘法来求出各乘方的值． 解 （1）.81)3()3()3()3()3(4=-?-?-?-=- （2）.512)8()8()8()8(3-=-?-?-=- （3）.81 1)31()31()31()31()31(4=-?-?-?-=- 说明：（1）4)3(-不能写成43-或（－3）×4，同理3)8(-和4)3 1(-也不能如此书写；（2）观察该题可以发现负数的乘方，当指数是偶数时其乘方的值为正，当指数为奇数时其乘方的值为负．由此我们在计算负数的乘方时也可以先根据这一规律来确定乘方的符号，再计算正数的乘方． 例2 计算： （1）3)7(--；（2）45.0- 分析 （1）中只要求出3)7(-，就可求出3)7(--； （2）中需注意的是44)5.0(5.0-≠-． 解 （1）3437)7()7(333==--=-- （2）0625.05.04=- 例3 计算12104)25.0(?-的值． 分析 直接求10)25.0(-和124比较麻烦，但细观察可以发现 48476Λ4484476Λ个个12121010104444 25.025.025.0)25.0(???=??==-． 这就提醒我们利用乘法的交换律和结合律就比较容易求出结果了． 解 12104)25.0(?- 1210425.0?= 48476Λ444844476Λ个个1210444 25.025.025.0???????= )44( )425.0()425.0()425.0(10????????=444444844444476Λ个
七年级数学上册数轴类动点问题专题讲解练习汇总
七年级数学上册数轴类动点问题专题讲解练习汇总 关于动点问题的基本认知 1. 数轴是一条直线，是无穷多个点构成的，数轴上面每个点都可以表示一个实数（不仅仅 是有理数，如π也可以在数轴上表示出来），而不能说数轴上面有实数或数轴上面是实数；数轴把数和数轴上的点联系起来，是“数形结合”的基础，画图可以明确解题思路，简化计算过程，画出一个正确的图形非常重要． 2. 数轴有两个方向（正方向与负方向，在未明确指出向左为正方向时，我们默认向右为正 方向，向左为负方向），数轴上一个点有两侧，点的运动方向有两个（往正方向、往负方向），遇见动点问题我们要常考虑多种情况． 3. 数轴上两点间的距离等于在右边的点表示的数与在左边的点表示的数的差，即，若数轴 上A 、B 两点分别表示数a 、数b （a ＜b ），则AB =b -a ；若位置点的位置，则可用绝对值表示：AB =|a -b |． 4. 若数轴上的点A 表示数a ，则： （1）它向右移动b 个单位长度为：a +b ； （2）向左移动c 个单位长度为：a -c ； （3）先向右移动b 个单位长度，再向左移动c 个单位长度为：a +b -c . （4）数轴上点的运动顺序可以改变，并不改变点的最终位置，因为实数具有加法交换律． 5. 数轴上各种距离或者线段长度表示： （1）A 、B 两点距离或者线段AB 长度：0 a b a b AB a b a b b a a b ->?? =-==??-
①AP vt =，m vt P AB BP m vt vt m P AB -?=-=? -? 点在线段上；点在线段延长线上. ②P 点位置为：运动方向为正时是m +vt ，运动方向为负时是m -vt ． 6. 线段比例关系： （1）线段AB 的中点M 的位置为：2 a b m += ； （2）点C 在直线AB 上，且AC =nBC ，点C 的位置为要考虑在线段AB 上和在线段AB 的延长线两种情况．如：若点A 在点C 左侧，点B 满足：AB =2BC ，点B 的位置可能为： 1°点B 在点A 左侧时（b ＜a ），AB ＜BC 不符合条件； 2°点B 在点A 、C 之间时（a ≤b ≤c ）：()2b a c b -=-； 3°点B 在点C 右侧时（c ＜b ）：此时C 为AB 中点：2 a b c += ； 或者直接有2a b b c -=-，解这个方程即可． （3）点在数轴上的周期运动注意找规律：注意周期的开始与结束分别在上面时候，记数是从“1”开始，还是从“0”开始． 数轴上的动点问题基本解法：“点 一 线一 式 ” 三步. （1） 读题画图； （2） 列点：写出相关各点的坐标；
七年级数轴经典题型总结含答案
七年级数轴经典题型总结(含答案)【1、数轴与实际问题】 例1 5个城市的国际标准时间（单位：时）在数轴上表示如下，那么北京时间2006年6月17日上午9时应是（ ） A 、伦敦时间2006年6月17日凌晨1时 B 、纽约时间2006年6月17日晚上22时 C 、多伦多时间2006年6月16日晚上20时 D 、首尔时间2006年6月17日上午8时 解：观察数轴很容易看出各城市与北京的时差 国际标准时间（时） 首尔 北京伦敦多伦多纽约
例2在一条东西走向的马路旁，有青少年宫、学校、商场、医院四家公共场所。已知青少年宫在学校东300米处，商场在学校西200米处，医院在学校东500米处。将马路近似地看成一条直线，以学校为原点，以正东方向为正方向，用1个单位长度表示100米。 ①在数轴上表示出四家公共场所的位置。 ② 计算青少年宫与商场之间的距离。 解： x （1） （2）青少年宫与商场相距：3－(－2)=5 个单位长度 所以：青少年宫与商场之间的距离=5×100=500(米)
练习 1、如图，数轴上的点P、O、Q、R、S表示某城市一条大街上的五个公交车站点，有一辆公 交车距P站点3km，距Q站点0.7km，则这辆公交车的位置在（） A、R站点与S站点之间 B、P站点与O站点之间 C、O站点与Q站点之间 D、Q站点与R站点之间 解：判断公交车在P点右侧，距离P：(－1.3)+3=1.7(km)，即在原点O右侧1.7处，位于Q、R间 而公交车距Q站点0.7km，距离Q：0.7+1=1.7(km)，验证了，这辆公交车的位置在Q、R间 2、如图，在一条数轴上有依次排列的5台机床在工作，现要设置一个零件供应站P，使这5 台机床到供应站P的距离总和最小，点P建在哪？最小值为多少？ 解：（此题是实际问题，涉及绝对值表示距离，后面会有更深入的理解） A 此题揭示了，问题过于复杂时，要“以退为进”，回到问题 的起点，找出规律。后面你还会遇到这种处理问题的办法。 （1）假设数轴上只有A、B二台机床时，很明显，供应站P应该是设在A和B之间的任何地方都行， 反正P到A和P到B的距离之和就是A到B的距离，值为：1－(－1)=2；
有理数应用题经典30题(教师版)
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 有理数应用题专项练习30题（教师版） 组题：秦老师 1．某巡警骑摩托车在一条南北大道上来回巡逻，一天早晨，他从岗亭出发，中午停 留在A处，规定向北方向为正，当天上午连续行驶情况记录如下（单位：千米）：+5， ﹣4，+3，﹣7，+4，﹣8，+2，﹣1． （1）A处在岗亭何方？距离岗亭多远？ （2）若摩托车每行驶1千米耗油a升，这一天上午共耗油多少升？ 解：（1）∵+5﹣4+3﹣7+4﹣8+2﹣1=﹣6， 又∵规定向北方向为正，∴A处在岗亭的南方，距离岗亭6千米．（2）∵|+5|+|﹣4|+|+3|+|﹣7|+|+4|+|﹣8|+|+2|+|﹣1|=34， 又∵摩托车每行驶1千米耗油a升，∴这一天上午共耗油34a升． 2．某工厂生产一批零件，根据要求，圆柱体的内径可以有0.03毫米的误差，抽查5 个零件，超过规定内径的记作正数，不足的记作负数，检查结果如下：+0.025，﹣0.035， +0.016，﹣0.010，+0.041 （1）指出哪些产品合乎要求？ （2）指出合乎要求的产品中哪个质量好一些？ 解：（1）第一、三、四个产品符合要求，即（+0.025，+0.016，﹣0.010）． （2）其中第四个零件（﹣0.010）误差最小，所以第四个质量好些 3．某奶粉每袋的标准质量为454克，在质量检测中，若超出标准质量2克，记作为 +2克，若质量低于3克以上的，则这袋奶粉为不合格，现在抽取10袋样品进行质量 检测，结果如下（单位：克）． 袋号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 记作﹣2 0 3 ﹣4 ﹣3 ﹣5 +4 +4 ﹣6 ﹣3 （1）这10袋奶粉中有哪几袋不合格？ （2）质量最多的是哪袋？它的实际质量是多少？ （3）质量最少的是哪袋？它的实际质量是多少？
七年级数学数轴培优习题
【例1】 ⑴在数轴上画出表示1 2.540252 --，，，，各数的点，并按从小到大的顺序重新排列， 用“<”连接起来 ⑵如图，数轴上表示数2-的相反数的点是（ ） A ．点P B ．点Q C ．点M D ．点N ⑶数轴的单位长度为1，点A ，B 表示的数的绝对值相等，那么点A 表示的数是（ ） A ．4- B ．2- C ．0 D ．4 【例2】 ⑴数轴上有一点A ，它表示的有理数是3-，将点A 向左移动3个单位得到点B ，再向右移动8个单位，得到点C ，则点B 表示的数是 ，点C 表示的数是 ． ⑵在数轴上，坐标是整数的点称为“整点”．设数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长2013厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点至少有 个， 至多有 个． 【例3】 ⑴一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向以每前进3步后退2步的程序运动， 设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长，n x 表示第n 秒时机器人在数轴上的位置所对应的数. ①求3x 、5x 的值. ②比较2013x 与2014x 的大小. ⑵电子跳蚤在数轴上的某一点0K ，第一步由点0K 向左跳1个单位到点1K ，第二步由点1K 向右跳2个单位到点2K ，第三步由点2K 向左跳3个单位到点3K ，第四步由点3K 向右跳4个单位到点4K ，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数 轴上的点100K 所表示的数恰好是19.94．求电子跳蚤的初始位置点0K 所表示的数． 【例4】 ⑴有理数a b ， 在数轴上的对应点如图，试比较a a b b a b a b --+-，，，，，的大小. ⑵已知a b ， 是不为0的有理数，且a a b b a b =-=>，，，那么用数轴上的点来表示a b ，，正确的应该是哪一个（ ） D C B A P
初一数学绝对值典型例题精 讲
第三讲绝对值 内容概述 绝对值是有理数中非常重要的组成部分，它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。 绝对值的定义及性质 绝对值简单的绝对值方程 化简绝对值式，分类讨论（零点分段法） 绝对值几何意义的使用 绝对值的定义及性质 绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。 绝对值的性质： （1）绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质； a （a＞0） （2）|a|= 0 （a=0）（代数意义） -a (a＜0) （3）若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0； （4）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a， 且|a|≥-a； （5）若|a|=|b|，则a=b或a=-b；（几何意义） （6）|ab|=|a|·|b|；||=（b≠0）； （7）|a|=|a|=a；
（8）|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b|
[例1] （1）绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？ （2）若ab<|ab|，则下列结论正确的是（） A.a＜0，b＜0 B.a＞0，b＜0 C.a＜0，b＞0 D.ab＜0 （3）下列各组判断中，正确的是（） A．若|a|=b，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a＞b C. 若|a|＞b，则一定有|a|＞|b| D.若|a|=b，则一定有a=(-b) （4）设a，b是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？ 分析： （1）结合数轴画图分析。绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±3，±4，有4个 （2）答案C不完善，选择D.在此注意复习巩固知识点3。 （3）选择D。 （4）根据绝对值的非负性可以知道|a+b|≥0，则|a+b|≥9，有最小值9 [巩固] 绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？ <分析>：绝对值小于3.1的整数有0，±1，±2，±3，和为0。 [巩固] 有理数a与b满足|a|>|b|，则下面哪个答案正确（） A.a＞b B.a=b C.a有理数的混合运算经典例题
有理数的混合运算经典例题 例1 计算：． 分析：此算式以加、减分段, 应分为三段： , , ．这三段可以同时进行计算，先算乘方，再算乘除．式中－0.2化为 参加计算较为方便． 解：原式 说明：做有理数混合运算时，如果算式中不含有中括号、大括号，那么计算时一般用“加”、“减”号分段，使每段只含二、三级运算，这样各段可同时进行计算，有利于提高计算的速度和正确率． 例2 计算：． 分析：此题运算顺序是：第一步计算和；第二步做乘法；第三步做乘方运算；第四步做除法． 解：原式
说明：由此例题可以看出，括号在确定运算顺序上的作用，所以计算题也需认真审题． 例3 计算： 分析：要求、、的值，用笔算在短时间内是不可能的，必须 另辟途径．观察题目发现，，，逆用乘法分配律，前三项可以凑成含有0的乘法运算，此题即可求出． 解：原式 说明：“0”乘以任何数等于0．因为运用这一结论必能简化数的计算，所以运算中，能够凑成含“0”因数时，一般都凑成含有0的因数进行计算．当算式中的数字很大或很繁杂时，要注意使用这种“凑0法”． 例4 计算 分析：是的倒数，应当先把它化成分数后再求倒数；右边两项含绝对值号，应当先计算出绝对值的算式的结果再求绝对值． 解：原式
说明：对于有理数的混合运算，一定要按运算顺序进行运算，注意不要跳步，每一步的运算结果都应在算式中体现出来，此题(1)要注意区别小括号与绝对值的运算；(2)要熟练掌握乘方运算，注意(-0.1)3，-0.22，(-2)3，-32在意义上的不同． 例5 计算：． 分析：含有括号的混合运算，一般按小、中、大括号的顺序进行运算，括号里面仍然是先进行第三级运算，再进行第二级运算，最后进行第一级运算． 解：原式 例6 计算 解法一：原式 解法二：原式 说明：加减混合运算时，带分数可以化为假分数，也可把带分数的整数部分与分数部分分别加减，这是因为带分数是一个整数和一个分数的和. 例如：
七年级数学数轴与动点问题专题
数轴上的动点问题 1．(2017秋﹒荆州区校级月考）已知，数轴上点A在原点左边，到原点的距离为8个单位长度，点B在原点的右边，从点A走到点B，要经过32个单位长度． （1）求A、B两点所对应的数； （2）若点C也是数轴上的点，点C到点B的距离是点C到原点的距离的3倍，求点C对应的数； （3）已知，点M从点A向右出发，速度为每秒1个单位长度，同时点N从点B向右出发，速度为每秒2个单位长度，设线段NO的中点为P，线段PO－AM的值是否变化？若不变求其值． 2．(2017秋﹒宽城区期中）已知数轴上点A在原点的左侧，到原点的距离为8个单位长度，点B在原点的右侧，从点A走到点B，要经过12个单位长度． （1）写出A、B两点所对应的数； （2）若点C也是数轴上的点，点C到点B的距离是5，求点C所对应的数． 3．(2017秋﹒江都区月考）已知数轴上的点A和点B之间的距离为28个单位长度，点A在原点的左边，距离原点8个单位长度，点B在原点的右边． （1）点A和点B两点所对应的数分别为____和____ ． （2）数轴上点A以每秒1个单位长度出发向左运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度向左运动，在点C处追上了点A，求点C对应的数． （3）已知在数轴上点M从点A出发向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点N从点B出发向右运动，速度为每秒2个单位长度，设线段NO的中点为P（O为原点），在运动的过程中线段PO－AM的值是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由． 4．(2017秋﹒大丰市校级月考）已知数轴上的点A和点B之间的距离为28个单位长度，点A在原点的左边，距离原点16个单位长度，点B在原点的右边． （1）求A，B两点所对应的数． （2）数轴上点A以每秒6个单位长度出发向右运动，同时点B以每秒2个单位长度向左运动，在点C处相遇，求点C的对应的数． （3）点M从A点出发以每秒6个单位的速度向右运动，点P从原点出发以每秒1个单位的速度向右运动，点N 从B点出发以每秒2个单位的速度向右运动，若三个点同时出发，求多长时间后，点P到点M，N的距离相等？5．(2014秋﹒九龙坡区期末）已知数轴上的点A和点B之间的距离为32个单位长度，点A在原点的左边，距离原点5个单位长度，点B在原点的右边． （1）点A所对应的数是，点B对应的数是； （2）若已知在数轴上的点E从点A出发向右运动，速度为每秒2个单位长度，同时点F从点B出地向左运动，速度为每秒4个单位长度，求当EF＝8时，点E对应的数（列方程解答）． （3）若已知在数轴上的点M从点A出发向右运动，速度为每秒a个单位长度，同时点N从点N从点B出发向右运动，速度为每秒2a个单位长度，设线段NO的中点为P（O为原点），在运动过程中线段PO－AM的值是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由． 6．(2013秋﹒仪征市期末）已知数轴上的点A和点B之间的距离为32个单位长度，点A在原点的左边，距离原点5个单位长度，点B在原点的右边． （1）点A所对应的数是？点B对应的数是？ （2）若已知在数轴上的点E从点A出发向左运动，速度为每秒2个单位长度，同时点F从点B出发向左运动，
新课标-最新人教版七年级数学上学期《数轴》综合测试题及答案-经典试题
1.2.2数轴试卷 1．在数轴上表示的两个数中，的数总比的数大。2．在数轴上，表示－5的数在原点的侧，它到原点的距离是个单位长度。 3．在数轴上，表示+2的点在原点的侧， 距原点个单位；表示－7的点在原点的 侧，距原点个单位；两点之间的距离为个单位长度。 4．在数轴上，把表示3的点沿着数轴向负方向移动5个单位，则与此位置相对应的数是。 5．与原点距离为2.5个单位长度的点有个，它们表示的有理数是。 6．到原点的距离不大于3的整数有个，它们是：。 7．下列说法错误的是：（） A 没有最大的正数，却有最大的负数 B 数轴上离原点越远，表示数越大 C 0大于一切非负数 D 在原点左边离原点越远，数就越小 8．下列结论正确的有（）个： ①规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴②最小的整数是
0 ③正数，负数和零统称有理数④数轴上的点都表示有理数 A 0 B 1 C 2 D 3 9．在数轴上，A点和B点所表示的数分别为－2和1，若使A点表示的数是B点表示的数的3倍，应把A点（） A向左移动5个单位 B向右移动5个单位 C向右移动4个单位 D向左移动1个单位或向右移动5个单位 10．在数轴上画出下列各点，它们分别表示：+3，0，－３1 4，1 1 2 ， －３，－1.25 并把它们用“＜”连接起来。 11．小明的家（记为A）与他上学的学校（记为B），书店（记为C）依次座落在一条东西走向的大街上，小明家位于学校西边30米处，书店位于学校东边100米处，小明从学校沿这条街向东走40米，接着又向西走了70米到达D处，试用数轴表示上述A、、B、C、D的位置。 12．在数轴上，老师不小心把一滴墨水滴在画好的数轴上，如图所示，试根据图中标出的数值判断被墨水盖住的整数，并把它写出来。
第一章有理数知识点归纳及典型例题
第一章有理数知识点归纳及典 型例题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
一、【正负数】有理数的分类：★☆▲ _____________统称整数，试举例说明。 _____________统称分数，试举例说明。 ____________统称有理数。 [基础练习] 1☆把下列各数填在相应额大括号内： 1，－，-789，25，0，-20，，-590，6/7 ·正整数集｛…｝；·正有理数集｛…｝；·负有理数集｛…｝·负整数集｛…｝；·自然数集｛…｝；·正分数集｛…｝ ·负分数集｛…｝ 2☆某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则元的意义是；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是。 二、【数轴】规定了、、的直线，叫数轴 [基础练习] 1☆如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（） 2☆在数轴上画出表示下列各数的点，并按从大到小的顺序排列，用“>”号连接起来。 4，-|-2|，，1，0 3下列语句中正确的是（） Ａ数轴上的点只能表示整数Ｂ数轴上的点只能表示分数 Ｃ数轴上的点只能表示有理数Ｄ所有有理数都可以用数轴上的点表示出来 4、★①比－3大的负整数是_______；②已知ｍ是整数且-4 §2．2 数轴 在线检测 1．画一条水平直线，在直线上取一点表示0，叫做_________；?选取某一长度作为________；规定直线上向右的方向为_________，这样就得到了数轴．?我们把上述三方向称为数轴的三要素．所有的有理数都可以用数轴上的______来表示． 2．数轴上表示负数的点在原点的__________，表示正数的点在原点的_______，原点表示的数是________． 3．数轴上表示-2的点离原点的距离是______个单位长度；表示+2?的点离原点的距离是_____个单位长度；数轴上与原点的距离是2个单位长度的点有_______个，它们表示的数分别是________． 4．判断下列所画的数轴是否正确，如不正确，请指出． -10 (1) (2) -1 (3) 1 0(4) (5) (6) 5．在所给的数轴上画出表示下列各数的点：2，-3，1 12 ，0，3 2 ，5，123 。 5 6．指出数轴上A ，B ，C ，D ，E ，F 各点所代表的数字． F D A 7．在数轴上画出表示下列各数的点，并回答下列问题． -3，2，-1.5，-2，0，1.5，3． （1）哪两个数的点与原点的距离相等？ （2）表示-2的点与表示3的点相差几个单位长度？ 8．将-1所对应的点在数轴上先向右移动4个单位长度，再向左移动5?个单位长度后，得到的点对应的数是什么？ 基础巩固训练 一、选择题 1．图1中所画的数轴，正确的是（） A 2 15 4 3 B -12 1 C 2 1 D 2．在数轴上，原点及原点左边的点所表示的数是（）A．正数B．负数C．非负数D．非正数3．与原点距离是2．5个单位长度的点所表示的有理数是（） 数轴典型例题 例题1 选择题：如图，下面是一些同学在作业中所画的数轴． 其中，画图正确的是（） A．①②③④ B．①②③ C．② D．②③ 分析图①中表示相邻两整数的点之间的距离不一致；图③中负有理数的标记不对了；困④中漏画了表示方向的箭头和长度单位． 解选C． 说明书写与画图的规范性对于学者来说是非常重要的，读者要自觉地培养良好的学习习惯．为了分析某个具体问题，在草稿纸上画图④那样的图未尝不可，但完成画数轴的作业，则切切不可． 例题2 利用数轴，比较－2.9，－3.8和－2.1的大小，用“＜”把它们连结起来． 分析（l）办法是在数轴上把这三个数表示出来，并且接从左到右的顺序排列三个数． （2）表示－2.9和－2.l的点在表示－2与－3的两个点之间，表示－3.8的点在表示－3与－4的两个点之间． （3）－2.9与－2.1互相比较，－2.9更接近于－3，－2.1更接近于－2，这是画图时可以参考，以免画错位置的． （4）所给的三个有理数都是精确到十分位的，所以画数轴时，单位长度的选取不宜过小． 解这三个数在数轴上的位置如下： 所以，－3.8＜－2.9＜－2.1． 说明初学者在数轴上表示负数时必须小心谨慎．比如在数轴上表示－2.35与－2.38，就容易把它们的位置弄颠倒．本例题“分析”中提供的办法是很有使用价值的．这里的办法实质是利用了数轴的方向性．比如，从原点向左，先是－l，然后是－2，－3，…；同样， 从原点向左，先是－0.l，再是－0.2，－0.3…；从－2向左，先是－2.1，再是－2.2，－2.3，…，－2.9；先是－2.35，再是－2.38．这样考虑，就不容易出错了． 例3 指出数轴上A、B、C、D、E各点分别表示什么数． 分析：表示正数的点都在原点的右侧，表示负数的点都在原点的左侧．要特别注意相邻 两个负整数点之间的等分点所表示的数，例如：－2，－3之间的A点是表示，而不 是． 解：O表示0，A表示，B表示1，C表示，D表示－4，E表示－0.5． 例4 下面说法中错误的是 [ ]． A．数轴上原点的位置是任意取的，不一定要居中； B．数轴上单位长度的大小要根据实际需要选取．1厘米长的线段可以代表1个单位长度，也可以代表2个、5个、10个、100个、…单位长度，但一经取定，就不可改动； C．如果a＜b，那么在数轴上表示a的点比表示b的点距离原点更近； D．所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但不能说数轴上所有的点都表示有理数． 解：当a，b都是正数时，C的结论成立； 当a，b不都是正数时，例如a＝-10，b＝2，此时-10＜2，也满足条件a＜b，但表示a 的点与原点的距离(10)比表示b的点与原点的距离(2)远，C的结论不成立． ∴C错． 说明：因为有理数包含正数、负数和0，所以用字母表示数时，这个字母就可以代表正数、负数或0．在分析问题时，忘记字母代表的数可能是负数或0经常是造成错误的原因． 例5 比较下列各组数的大小： 分析：依据“正数都大于0，负数都小于0；正数大于一切负数．”和“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．”比较两个数的大小． 一、【正负数】 有理数的分类：★☆▲ _____________统称整数，试举例说明。 _____________统称分数，试举例说明。 ____________统称有理数。 [基础练习] 1☆把下列各数填在相应额大括号内： 1，－，-789，25，0，-20，，-590，6/7 ·正整数集｛ …｝；·正有理数集｛ …｝；·负有理数集｛ …｝ ·负整数集｛ …｝；·自然数集｛ …｝；·正分数集｛ …｝ ·负分数集｛ …｝ 2☆ 某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则元的意义 是 ；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是 。 二、【数轴】 规定了 、 、 的直线，叫数轴 [基础练习] 1☆如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（ ） 2☆在数轴上画出表示下列各数的点，并按从大到小的顺序排列，用“>”号连接起来。 4，-|-2|， ， 1， 0 3下列语句中正确的是（ ） Ａ数轴上的点只能表示整数 Ｂ数轴上的点只能表示分数 Ｃ数轴上的点只能表示有理数 Ｄ所有有理数都可以用数轴上的点表示出来 4、★ ①比－3大的负整数是_______； ②已知ｍ是整数且-4 《数轴》典型例题 知识点：数轴 例1下列各图中，表示数轴的是( )． 分析：画数轴时，数轴的三要素——原点、正方向、单位长度是缺一不可的，所以应当用这三要素检查每个图形，判断是否画的正确． 解：A图没有指明正方向； B图中，1和-1表示的一个单位长度不相等，在同一数轴上，单位长度必须一致； C图中没有原点； D图中三要素齐全． ∴A、B、C三个图画的都不是数轴，只有D图画的是数轴．变式练习： 下面说法中错误的是( )． A．数轴上原点的位置是任意取的，不一定要居中； B．数轴上单位长度的大小要根据实际需要选取．1厘米长的线段可以代表1个单位长度，也可以代表2个、5个、10个、100个、…单位长度，但一经取定，就不可改动； C．如果a＜b，那么在数轴上表示a的点比表示b的点距离原点更近； D．所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但不能说数轴上所有的点都表示有理数． 参考答案：C. 例2在所给的数轴上画出表示下列各数的点： 分析：第一步画数轴，第二步在数轴上找出相对应的点，每个正有理数都可用数轴上原点右边的一个点来表示，例如2、3.5，可用数轴上分别位于原点右边2个单位，3.5个单位的点表示．每一个负有理数都可用数轴上原点左边的一个点来表示， 解： 说明：数轴上表示数的点可用大写字母标出，写在数轴上方所对应数的上面，原点用O 标出，它表示数0．数轴上原点的位置要根据需要来确定，不一定要居中．单位长度应根据需要来确定，1 cm 的长度可以表示1个单位长度，也可以表示2个，5个，10个…单位长度，但在同一数轴上，单位长度必须一致，不可随意改变． 例3 画一条数轴，并把－6，1，0，2 12-，215表示在数轴上。 分析 由于要表示的最左边的数是－6，最右边的数是2 15，所以在画数轴时在原点的两侧各画六个单位即可。 解 如图所示 说明： 在画数轴时选取单位长度应因表示的数而定。 变式练习： 指出数轴上A 、B 、C 、D 、E 各点分别表示什么数． 参考答案： O 表示0，A 表示3 22-，B 表示1，C 表示413，D 表示－4，E 表示－0.5． 1.1 有理数 【知识点清单】 （一）学习温故 小学里学过的数可分为三类:、和，它们都是由于实际需要而产生的。 （二）正数 1、正数：大于0的数叫做正数。如：2，0.6，，，……※正数都比0要。 2、正数的表示方法：在正数前面加上一个“＋”，读作“正”号。如：，，，…… 其中“＋”号可以省略。 （三）负数 1、负数：在正数前面加上一个“－”号，这样的数叫做负数。如：，，，…… ※负数都比0要。 2、负数的表示方法：一个负数前的“－”号不可以省略。 3、0既不是正数也不是负数。 4、正数和负数的意义 在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有__________的意义。如：如果80m表示向东走80m，那么-60m表示：______________。 （四）有理数 1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数。 2、有理数的分类 【经典例题：】 例1：把下列各数分别填在题后相应的集合中： ，0，，0.73，2，，，，+28，，8，-，-3.5，102.3，-，1 （1）整数集合： { ……} （2）负整数集合：{ ……} （3）负分数集合：{ ……} （4）自然数集合：{ ……} （5）非负数集合：{ ……} 例2：在下面每个集合中任意写出3个符合条件的数： 例3：下列选项中均为负数的是（ ） A．，，B．，， C．，, D．，， 例4：下列说法中正确的是（） A. 整数又叫自然数 B. 0是整数 C. 一个数不是正数就是负数 D. 0不是自然数例5：下列说法正确的个数是（）。 ①一个有理数不是整数就是分数；②一个有理数不是正数就是负数； ③一个整数不是正的就是负的；④一个分数不是正的就是负的。 A．1B．2C．3D．4 例6：把下列各数填在相应的集合中： 1.2 数轴 【学习目标】 一、认识数轴 1、数轴的三要素：,________,_________。 2、用原点表示，在原点的左边，在原点的右边 画数轴要注意：⒈画直线. ⒉在直线上取一点作为原点.⒊确定正方向，并用箭头表示. ⒋根据需要选取适当单位长度. 说明：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示 【目标检测】 正数集负数集整数集自然数 七年级数学上册数轴上的动点问题专题复习 动点问题处理策略 1、数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减去左边的数的差。即数轴上两点间的距离=右边点表示的数－左边点表示的数。 2、如何表示运动过程中的数：点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向左运动的速度看作负速度。这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。即一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a－b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b。（简单说成左减右加） 3、分类讨论的思想：数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况种的分类讨论 4、绝对值策略：对于两个动点P,Q，若点P,Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p,q两数差的绝对值表示P,Q两点距离，从而避免分复杂分类讨论 5、中点公式：若数轴上点A,B表示的数分别为a,b，M为线段AB中点，则M点表示 类型一、数轴上两点距离的应用 例1、已知数轴上A,B两点表示的数分别为-2和5，点P为数轴上一点 （1）若点P到A,B两点的距离相等，求P点表示的数 （2）若PA=2PB,求P点表示的数 （3）若点P到点A和点B的距离之和为13，求点P所表示的数。 练、已知数轴上A、B两点对应数分别为-2和4，P为数轴上一动点，对应数为x．（1）若P为线段AB的三等分点，则x的值为_________ （2）若线段PA=3PB,则P点表示的数为__________ （3）若点P到A点、B点距离之和为10，则P点表示的数为_________ 类型二、绝对值的处理策略 例2、已知数轴上A,B两点表示的数分别为-8和20，点P,Q分别从A,B两点同时出发，P点运动速度为每秒3个单位，Q点运动速度为每秒1个单位，设运动时间为t秒（1）点P向右运动，Q点向左运动，当t为何值时，P,Q两点之间距离为8？ （2）若P点和Q点都向右运动，多少秒后，P,Q两点之间距离为8？ 实验中学 马贵荣编 一、【正负数】 有理数的分类：★☆▲ _____________统称整数，试举例说明。 _____________统称分数，试举例说明。 ____________统称有理数。 [基础练习] 1☆把下列各数填在相应额大括号内： 1，－0.1，-789，25，0，-20，-3.14，-590，6/7 ·正整数集｛ …｝；·正有理数集｛ …｝；·负有理数集｛ …｝ ·负整数集｛ …｝；·自然数集｛ …｝；·正分数集｛ …｝ ·负分数集｛ …｝ 2☆ 某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-5.8元的意义 是 ；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是 。 二、【数轴】 规定了 、 、 的直线，叫数轴 [基础练习] 1☆如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（ ） 2☆在数轴上画出表示下列各数的点，并按从大到小的顺序排列，用“>”号连接起来。 4，-|-2|， -4.5， 1， 0 3下列语句中正确的是（ ） Ａ数轴上的点只能表示整数 Ｂ数轴上的点只能表示分数 Ｃ数轴上的点只能表示有理数 Ｄ所有有理数都可以用数轴上的点表示出来 4、★ ①比－3大的负整数是_______； ②已知ｍ是整数且-4 北师大版七年级数学上册期末数轴有关压轴题专题复习练习题 1、有理数a 、b 、c 在数轴上对应的点分别为A 、B 、C ，若a =－2，b =－3，c = ， (1)填空：A ，B 之间的距离为 ，之间的距离为 ，A ，C 之间的距离为 ； （2）问在数轴上是否存在一点P ，使P 与A 的距离是P 与C 的距离的3倍，若存在，请求出P 点对应的有理数；若不存在，请说明理由． 2、操作探究：已知在纸面上有一数轴(如图所示)． 操作一： (1)折叠纸面，使1表示的点与－1表示的点重合，则－3表示的点与________表示的点重合； 操作二： (2)折叠纸面，使－1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数________表示的点重合； ②若数轴上A 、B 两点之间距离为11(A 在B 的左侧)，且A 、B 两点经折叠后重合，求A 、 B 两点表示的数是多少． 3、结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示﹣3和2两点之间的距离是 5 ；一般地，数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离等于|m ﹣n |．如果表示数a 和﹣2的两点之间的距离是3，那么a ＝ ； （2）若数轴上表示数a 的点位于﹣4与2之间，求|a +4|+|a ﹣2|的值； （3）当a 取何值时，|a +5|+|a ﹣1|+|a ﹣4|的值最小，最小值是多少？请说明理由． 4、数轴上从左到右的三个点A，B，C所对应的数分别为a，b，c．其中AB＝2017，BC＝1000， 如图所示． （1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算a+b+c的值． （2）若原点O在A，B两点之间，求|a|+|b|+|b﹣c|的值． （3）若O是原点，且OB＝17，求a+b﹣c的值． 5、如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB＝2BC，设点A，B，C所对 应数的和是m． （1）若点C为原点，BC＝1，则点A，B所对应的数分别为，，m的值为； （2）若点B为原点，AC＝6，求m的值． （3）若原点O到点C的距离为8，且OC＝AB，求m的值． 6、如图所示，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间距离表示为AB，在数 轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|． 回答下列问题： （1）若x表示一个有理数，|x﹣2019|+|x﹣2020|有最小值吗？若有，请求出最小值，若没有，写出理由． （2）求|x﹣1|+2|x﹣3|+3|x﹣4|的最小值． （3）已知（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣2|+|y+1|）（|z﹣3|+|z+1|）＝36，求x+2y+3z的最大值和最小值． 7、已知数轴上有A、B、C三个点对应的数分别是a、b、c，且满足|a+24|+|b+10|+（c﹣10）七年级数学数轴练习题
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