三角函数及反三角函数

半角得正弦、余弦与正切公式三角函数得降幂公式

二倍角得正弦、余弦与正切公式三倍角得正弦、余弦与正切公式

sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－

2sin2α

2tanα

tan2α＝—————

1－tan2α

sin3α＝3sinα－4sin3α

cos3α＝4cos3α－3cosα

3tanα－tan3α

tan3α＝——————

1－3tan2α

三角函数得与差化积公式三角函数得积化与差公式

α＋βα－β

sinα＋sinβ＝2sin—－－·cos—－—

2 2

α＋βα－β

sinα－sinβ＝2cos—－－·sin—－—

2 2

α＋βα－β

cosα＋cosβ＝2cos—－－·cos—－—

2 2

α＋βα－β

cosα－cosβ＝－2sin—－－·sin—－—

2 2

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)

]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]化asinα ±bcosα为一个角得一个三角函数得形式(辅助角得三角函数得公式)

函数变换

360k+αsinαcosαtanαcotαsecαcscα90°-αcosαsinαcotαtanαcscαsecα90°+αcosα-sinα-cotα-tanα-cscαsecα180°-αsinα-cosα-tanα-cotα-secαcscα180°+α-sinα-cosαtanαcotα-secα-cscα270°-α-cosα-sinαcotαtanα-cscα-secα270°+α-cosαsinα-cotα-tanαcscα-secα360°-α-sinαcosα-tanα-cotαsecα-cscα﹣α-sinαcosα-tanα-cotαsecα-cscα

反三角函数

三角函数得反函数,就是多值函数。它们就是反正弦Arcsin x,反余弦Arccos x,反正切Arctan x,反余切Arccot x等,各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x得角。为限制反三角函数为单值函数,将反正弦函数得值y限在y=-π/2≤y≤π/2,将y为反正弦函数得主值,记为y=arcsin x;相应地,反余弦函数y=arccos x得主值限在0≤y≤π;反正切函数

y=arctan x得主值限在-π/2

反三角函数实际上并不能叫做函数,因为它并不满足一个自变量对应一个函数值得要求,其图像与其原函数关于函数y=x对称。其概念首先由欧拉提出,并且首先使用了arc+函数名得形式表示反三角函数,而不就是f-1(x)、

反三角函数主要就是三个:

y=arcsin(x),定义域[-1,1],值域[-π/2,π/2],图象用红色线条;

y=arccos(x),定义域[-1,1],值域[0,π],图象用兰色线条;

y=arctan(x),定义域(-∞,+∞),值域(-π/2,π/2),图象用绿色线条;

sinarcsin(x)=x,定义域[-1,1],值域【-π/2,π/2】

证明方法如下:设arcsin(x)=y,则sin(y)=x ,将这两个式子代如上式即可得

为限制反三角函数为单值函数,将反正弦函数得值y限在y=-π/2≤y≤π/2,将y为反正弦函数得主值,记为y=arcsin x;相应地,反余弦函数y=arccos x得主值限在0≤y≤π;反正切函数y=arctan x得主值限在-π/2

反三角函数实际上并不能叫做函数,因为它并不满足一个自变量对应一个函数值得要求,其图像与其原函数关于函数y=x对称。其概念首先由欧拉提出,并且首先使用了arc+函数名得形式表示反三角函数,而不就是f-1(x)、

(1)正弦函数y=sin x在[-π/2,π/2]上得反函数,叫做反正弦函数。arcsin x表示一个正弦值为x得角,该角得范围在[-π/2,π/2]区间内。

(2)余弦函数y=cos x在[0,π]上得反函数,叫做反余弦函数。arccos x表示一个余弦值为x得角,该角得范围在[0,π]区间内。

(3)正切函数y=tan x在(-π/2,π/2)上得反函数,叫做反正切函数。arctan x表示一个正切值为x得角,该角得范围在(-π/2,π/2)区间内。

反三角函数主要就是三个:

y＝arcsin(x),定义域[-1,1] ,值域[-π/2,π/2]图象用红色线条;

y=arccos(x),定义域[-1,1] , 值域[0,π],图象用蓝色线条;

y=arctan(x),定义域(-∞,+∞),值域(-π/2,π/2),图象用绿色线条;

sin(arcsin x)=x,定义域[-1,1],值域[-1,1] arcsin(-x)=-arcsinx

证明方法如下:设arcsin(x)=y,则sin(y)=x ,将这两个式子代入上式即可得

其她几个用类似方法可得

cos(arccos x)=x, arccos(-x)=π-arccos x

tan(arctan x)=x, arctan(-x)=-arctanx

反三角函数其她公式

arcsin(-x)=-arcsinx

arccos(-x)=π－arccosx

arctan(-x)=-arctanx

arccot(-x)=π－arccotx

arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx

sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)

当x∈[—π/2,π/2]时,有arcsin(sinx)=x

当x∈[0,π],arccos(cosx)=x

x∈(—π/2,π/2),arctan(tanx)=x

x∈(0,π),arccot(cotx)=x

x〉0,arctanx=π/2-arctan1/x,arccotx类似

若(arctanx+arctany)∈(—π/2,π/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)