渐开线参数方程

渐开线极坐标方程

渐开线参数方程

x=r b*cos(θ)+r b*rad(θ)*sin(θ)

y=r b*sin(θ)—r b*rad(θ)*cos(θ)

渐开线及其形成(development of involute)

直线BK在一圆上作纯滚动,其上K点的轨迹就是渐开线(involute)。其中，AK---渐开线(involute)

圆---基圆(base circle)

---基圆半径

r

b

BK---渐开线发生线(generating line)

θ

---渐开线上K点的展角

k

---渐开线上K点的向径

r

K

α

---渐开线K点的压力角

K

动画演示

渐开线的性质(properties of involute)

1)发生线沿基圆滚过的长度等于基圆上被滚过的弧长,即:；

2)当发生线沿基圆作纯滚动时,切点B为其速度瞬心, 因此KB必垂直于渐开线上

K点的切线,即发生线为渐开线在K点的法线,即:

渐开线上任一点的法线恒与基圆相切；

3)发生线与基圆的切点B也是渐开线在K点处的曲率中心,即

K点离基圆愈远(r

K 愈大),愈大,K点在基圆上时(r

K

=0时),

4)渐开线的形状取决于基圆的大小,即由不同大小的基圆所形成的渐开线,在相等展角处的曲率半径的大小随基圆半径r

b

的增大而增大，若，则，渐开线AK变成直线.故齿条的渐开线齿廓曲线为直线。

5)基圆以内无渐开线

渐开线方程式(involute equation)----渐开线方程式多用极坐标形式表示: 设OA为极坐标轴(O为原点)，则以压力角表示的K点的极坐标(展角,向径)方程式为:

由图可知：

所以，渐开线的极坐标方程为:

其中很常用,可用来求解渐开线齿廓上任一点的压力角.

渐开线函数(involute function)

渐开线函数指的是展角与压力角的函数关系式，工程上以表示该函数，即