均匀化理论和多尺度方法PPT

Γt 上受表面力t，边界 Γu 上给定位移边界条件。宏观某点 x
处的细观结构可以看成是非均匀单胞在空间中周期性重复堆积
而成。单胞的尺度 y 相对于宏观几何尺度为小量。
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6.2 多尺度模型
宏观尺度：
x
0
1
2
3
4
微观尺度： 01234
y=x/ε 0 1
例如：宏观尺度为 m，微观尺度为 nm，ε = 10-9
L
x j
y j
x j
y j
fi 0
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6.3 渐进展开法
令 εi (i=-2,-1,0,1…) 的系数为零，得到一系列控制方程：
O 2 :
1 ij
x,
y
0
y
j
O 1 :
1 ij
x,
y
0 ij
x,
y
0
x
y
j
j
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6.3 渐进展开法 Asymptotic expansion
在均匀化理论中， Y-周期位移场可以近似为宏观坐标 x 的展开式
，渐进展开是其中比较常用的一种展开方法中，其展开形式为：
u x u0 (x, y) u1(x, y) 2u2 (x, y) L , y x
注意到任意一个依赖于两个尺度的函数 Φ 对宏观坐标 x 的偏微分为
在
中，弹性张Ei量jkl
和柔Sijk度l 张量
分别为
E ijkl
( x)
Eijkl
( x,
y)
in
S ijkl
(
x)
Sijkl
(
x,
y)
in
假设应力场和位移场都满足平衡方程、几何方程和本构方程，有
ij, j
fi
in
ekl
1 2
uk xl
ul xk
in
ij
E ijkl
ekl
in
其中 u u( x, y)
有效，然而实际的非均匀材料很少具有完全的周期性微结构，宏观结构
上不同的点可能具有不同的微结构形态。这种假设在处理复杂载荷条件
下非线性非均匀结构变形问题时也存在不足。为了解决上述问题，单胞
模型应该包含大的区域，采用大的模型。
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6.1 引言
20世纪70年代，学者们在研究非均匀材料时引入了一种替代的数学 方法，Benssousan和Sanchez-Palencia等称之为均匀化理论。这种方法 用于分析具有两个或者多个尺度的物质系统，它可以把含有第二相空间 的细观尺度和整体结构上的宏观尺度联系起来。
xi
x,
y
x
xi
1
yi
应变张量
ekl
1 2
uk xl
ul xk
1 2
1
uk0 yl
ul0 yk
uk0 xl
ul0 xk
u1k yl
ul1 yk
u1k xl
ul1 xk
uk2 yl
ul2 yk
2
uk2 xl
ul2 xk
uk3 yl
ul3 yk
通过对位移和应力场进行渐进展开以及适当的变分原理，均匀化方 法不仅可以求出等效的（均匀化）材料常数，而且可以得到两个尺度上 的应力和应变分布。相对于单胞法，这种方法的优点在于不必作全局的 周期性假设，在宏观结构的不同点可以有不同的微结构。然而，这种分 析通过引入空间重复排列单胞作了局部周期性假设。
Toledano和Murakami，Guedes和Kikuchi以及Devries等成功地把有
限元方法和均匀化方法结合起来用于分析复合材料的线弹性问题。在这
些研究当中，通过计算机模拟宏观结构的平均应力和应变场得到了全局
2的020响/4/应5 ，同时借助局部应力和应变场的描述得到了微结构的行为。
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6.2 多尺度模型
f
u
t
x
☺☺☺ ☺☺☺
☺☺☺
☺y
一具有周期性结构的复合材料弹性体 Ω，受体力f，边界
2
2 kl
x,
yL
其中
n ij
E e n ijkl kl
x, y ,
n 1,0,1, 2L
将应力的渐进展开式代入平衡方程，有
1
1 ij
x,
y
1
1 ij
x,
y
0 ij
x,
y
1
0 ij
x,
y
x j
y j
x j
y j
1 ij
x,
y
1
1 ij
x,
y
2
2 ij
x,
y
1
2 ij
x,
y
观结构的高度非均匀性，使得这些结构场变量在宏观位置 x 非 常小的邻域 ε 内也会有很大变化。因此所有变量都假设依赖
于宏观与细观两种尺度，即：
x x, y , y = x
上标 ε 表示该函数具有两尺度的特征。
Y-周期性：微观单胞的周期为Y
x, y x, y +Y
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6.2 多尺度模型
是细观坐标系 y 中的具有 Y-周期的位
移场。
202同0/4时/5 ，在给定力ij n边j 界 t和i 给on定位t移边界u分i 别u满i 足on u
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均匀化方法
1）渐进展开法（Asymptotic expansion） 2）泰勒级数近似法（Taylor Series Approximation） 3）以傅里叶变换为基础的多尺度方法
L
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1
e1 kl
x,
y
Hale Waihona Puke ek0lx,y
e1kl
x,
y
e2 2 kl
x,
y
L
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6.3 渐进展开法
ekl
1
e1 kl
x,
y ek0l
x,
y e1kl
x,
y
e2 2 kl
x,
yL
代入本构方程，可得应力场的渐进展开式：
kl
1
1 kl
x,
y
0 kl
x,
y
1 kl
x,
y
单胞模型通过在非均匀结构中提取出一个代表性体积单元(RVE)从
而可以求得有效的材料响应和演化过程。这里假设微结构是周期性重复
排列的单胞，与复合材料的宏观尺寸相比，它的不均匀性是很小的，此
种类型的材料被称作具有周期性微观结构的复合材料（第三章 ） 。但
是，单胞法还是存在许多不足。周期性假设用于预测最优材料性能非常
高等复合材料力学
Advanced Mechanics of Composite Materials
第六章 均匀化理论和多尺度方法
陈玉丽 航空科学与工程学院
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6.1 引言
在考察实际复合材料微结构状态变量和材料系数的演化时，由于热 载荷和机械载荷都是施加在宏观结构层面，所以研究采用的细观力学模 型必须能够把细观响应和宏观行为联系起来。
实际为 1m 的尺寸，即 x=1 (m)， 在微观尺度下 y=x/ε= 109 (n 实际为1nm的尺寸，即 y=1 (nm)，在宏观尺度下 x=yε= 10-9 (m)
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6.2 多尺度模型
对于非均匀的复合材料，当宏观结构受外部作用时，位移 和应力等结构场变量将随宏观位置的改变而不同。同时由于细