第二型曲面积分

z
1


zdx dy

0
2
D xy

x 2 y 2 dxdy
2 . 3
D xy
d

1 2 d 0
x
1
o
1
y
( 2 ) 1 2 ,
1 : z
x 2 y 2 , 0 z 1, 下侧 ;
2
z
1
1
D xy
2 : z 1, x 2 y 2 1, 下侧;
例1. 计算 zdx dy ,
（1） 为锥面 z x 2 y 2 在 0 z 1 部分的下侧；

（2） 为锥面 z x 2 y 2 与平面 z 1 所围曲面的内侧.
： z x2 y2 ， 0 z 1 ，下侧， 解： （1）
D xy {( x , y ) x 2 y 2 1} ,
{dyd ,dzz dx,dxdy},
d 0
P( x, y, z ) cos Q( x, y, z ) cos R( x, y, z ) cos dS
(S )
其中 dS en dS (cos dS , cos dS , cos dS ) (dy dz, dz dx, dx dy)
D xy {( x , y ) x 2 y 2 1} ,


zdx dy
1


2
xy
x
1
o
1
y

D xy

2 x y dxdy dxdy . 3 3 D2 2例 2．计算 I

y( x z )dy dz x 2dz dx ( y 2 xz)dx dy ，
1 2
3． （方向性）若 与 是同一曲面的两侧，则
A dS A dS .

5 第二型面积分的计算
设A( x, y, z) { P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)}, n {cos , cos , cos }, 则 dS ndS {cos dS , cos dS , cos dS }
(S )
A(M ) e dS lim A(M ) e (M )S
n d 0 i 1 i n i n i 1
n
i
lim [ P(i ,i , i )Si cos i Q(i ,i , i )Si cos i R(i ,i , i )Si cos i ]
n d 0 i 1 i
n
n
( M i )Si
如果记 en dS dS, 称dS为曲面面积微元向量, 它可看作是曲 面(S )在M 点处指向给定侧的一个法向量，其长度在数量上 等于面积微元的值，那么，第二型曲面积分还可写成
（S）
A(M ) dS lim A(M ) e (M )S


由M ( x, y, z ) z z( x, y),
第一型曲面积分
因为 取上侧 , 为锐角 , cos 0, 所以cos dS 表示
dS 在 oxy 面上的投影
区域 d 的面积 ,即
M

dS
n
z
dσ cos dS dx dy,

dσ
而 dσ dxdy , 故

[ P cos Q cos R cos ]dS

曲 面 上的第二型曲面 即向量值函数 A( x , y , z ) 在有向
曲 面 上 积分等于数量值函数 P cos Qcos Rcos 在
的第一型曲面积分.
4 第二型面积分的性质
1． （线性性） 设 A, B可积 , , 为常数，则
其中 是正六面体的外侧（如图所示）.
解： 1 2
6 ，
1 ： x a (0 y a , 0 z a ) 的前侧； 2 ： x 0 (0 y a , 0 z a ) 的后侧；
3 ： y a (0 x a , 0 z a ) 的右侧；

设 的方程为 z z( x, y), 取上侧 .
在oxy 面上的投影区域为 Dxy. A( x, y,z ) {0,0,R( x, y,z )} 在 上连续 ,则


A( x , y , z ) dS R( x , y , z )dx dy R( x , y , z ) cos dS
( A B ) dS A dS B dS .

2． （对积分曲面的可加性）若曲面 1 2 ，且
1与 2 无公共内点，则
A dS A dS A dS .
第二型面 积分
第二型面积分
1 曲面侧的概念
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
曲面分上侧和下侧
封闭曲面分内侧和外侧
曲面的分类:
典 型 双 侧 曲 面
1.双侧曲面； 2.单侧曲面.
n
典型单侧曲面: 麦比乌斯带
取定了法向量指向的双 侧曲面称为有向曲面 .
对 于 : z z( x , y ) , 若 法 向 量n 与 z 轴 的 正 向 成 锐 角( 钝 角 ), 则 取 定 了 曲 面 的 上 侧 ( 下 侧 ).
D xy
： z z( x , y ) ， 定理：设函数 R( x, y,z ) 在 有向光滑曲面
( x, y)Dxy 上连续，则有
R( x, y, z )dx dy R( x, y, z( x, y ))dxdy
D xy
( 上侧取正, 下侧取负 . )
若 曲 面 为 : x x( y , z ), 则 有
将 ( S )任意分成 n 小块 Si (i 1, 2, 记为Si . , n), 其面积
( 2 ) 近似
Mi (i , i , i ) Si ,
z
ni
Mi
vi
通过 Si 流向指定侧 的流量的近似值为

i
o x
y
, n).
Qi Si vi ni (i 1, 2,


x 2dz dx


( y 2 xz)dx dy
oyz 面上的投影均为零， ∵除 1 、 2 外，其余四片曲面在
∴


y( x z )dy dz
d 0 i 1 i n i
n
i
这是第二型曲面积分的向量形式.
注:
当 A(M )在有向曲面(S )上连续时, 第二型曲面积分存在.
在直角坐标系下，第二型面积分可用坐标形式给出 设 A(M ) P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z) ,
en (M ) (cos , cos , cos ), Mi =(i ,i , i ) ,则有
( 3 ) 求和
Q v i ni Si
i 1 n
( 4 ) 取极限
设 d max { Si 的直径 },
1i n
则 Q lim vi ni Si .
d 0 i 1
n
定义7.2（第二型面积分）
设在向量场 A( M ) 的场域中有一可求面积的有向曲面 ( S ) ，指定它 的一侧, 将 ( S ) 任意分成 n 小片 Si (i 1, 2,
Dzx
( 右侧取正, 左侧取负 . )
将第二型曲面积分化为 二重积分的方法
一代：将曲面 的方程代入被积函数； 二投：将曲面 投 影到坐标平面;
（例如：积分中含 dx dy ，则应向 oxy 面投影.）
三定号：由曲面的侧来决定取正号还是取负号； 四换域：改变积分域，曲面 变为投影域 .
z
n
上侧
z

下侧

o x
y
o x
n
y
曲面 : z z( x, y) 有上侧与下侧之分 ;
曲面 : x x( y, z ) 有前侧与后侧之分 ;
曲面 : y y( x, z ) 有左侧与右侧之分 .
封闭曲面有内侧与外侧 之分.
2 第二型面积分的概念
一、流量问题
设一稳定流动的不可压缩流体（假定密度为 1）的 速度场为 v( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k ， 求单位时间内流过光滑有向曲 面 ( S )指定侧的 流量Q .
R( x, y, z )dx dy R( x, y, z( x, y))dxdy.
Dxy
若 取下侧 , 则cos 0, d cos dS dx dy, 有
R( x, y, z )dx dy R( x, y, z( x, y ))dxdy.
n
i
，若不论曲面 ( S ) 怎样划分，点 M i 在 Si 上怎样
选取，当各小曲面 Si 直径的最大值 d 0 时, 上述和式都趋于同一
常数, 则称此极限值为向量场 A( M ) 沿有向曲面 ( S ) 的第二型曲面积分 简称为第二型面积分，记作
(S )
A(M ) e dS lim A(M ) e
z a
5
2
4 ： y 0 (0 x a , 0 z a ) 的左侧；
5 6
4
3
： z a (0 x a , 0 y a ) 的上侧； ： z 0 (0 x a , 0 y a ) 的下侧.
x
a
1
o
6
ay
I


y( x z )dy dz
称 d S 为有向曲面 的有向面积元素. 从而 A d S Pdy dz Qdz dx Rdx dy, 有
{dy dz , dz dx, dx dy},



A dS
Pdy dz Qdz dx Rdx dy.
, n) , 任取一点
, n) 其中 en ( M i ) 是曲面
Mi Si ,作点积 A(Mi ) en (Mi )Si ,(i 1, 2,
在点 M i 处指向给定侧的单位法向量， Si 表示 Si 的面积，作和式
A(M ) e (M )S
i 1 i n i
从而
(S )
A(M ) dS Pdy dz Qdz dx Rdx dy.
(S )
第二型面积分的坐标形式
3 两类曲面积分的关系
设曲面 指向侧的单位法向量 n {cos , cos , cos }, 则有


A ndS

Pdy dz Qdz dx Rdx dy
若 (S )为 平面上面积为 A 的 区域，而流速 v 是 常向量，
( S ) 指定侧的单位法向量 n cos i cos j cos k .
则 Q A v cos Av n
若 ( S ) 为曲面,流速v 不是常向 量,则用下面的方法计算流量 Q.
A

v
n
( 1 ) 分割
P ( x, y, z )dy dz P ( x( y, z ), y, z )dydz
D yz
( 前侧取正, 后侧取负 . )
若曲面为 : y y( x , z ), 则有
Q( x, y, z )dz dx Q( x, y( x, z ), z )dzdx

第二型曲面积分的数量表达式
特 殊形式 :
Pdy dz 称为 P 对坐标 y, z 的曲面积分;

Qdz dx 称为 Q 对坐标 z , x 的曲面积分;

Rdx dy 称为 R 对坐标 x , y 的曲面积分.

下面推导 R( x , y , z )dx dy 的计算方法 .