电路分析基础_14耦合电感和理想变压器

4 0 V
+ I1 2
j4
I1
_
-j2 4 I2 j6 I2
(2 j4 j6) I1 j6 I2 4 j6 I ( j6 j2 4) I 0
1 2
解得:
A 40 . 24 I1 0.47 4 . 76 I 2 0.498
u2
_
d 2 u2 dt
u1 L 1
_
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di1 di 2 u1 L1 M dt dt di1 di 2 u2 M L2 dt dt

di1 di 2 u1 L1 M dt dt di1 di 2 u2 M L2 dt dt
u1 u L1 u M12

u2 u M 21 u L2
11 12
di1 di 2 u1 L1 M dt dt
di1 di 2 u 2 M L2 dt dt
问题：
22
21
u2 怎么确定互感电压正负？ _
三、同名端：
定义1：设两电流都从打 “•” 的端子流入，若它们 所产生的总磁通在其线圈中是相互加强（即同 方向）,打 “•” 的两个端子称为同名端。不 打 “ •” 的两个端子亦为同名端。 例1.线圈 1的端子 a打“•”，线圈2的哪个端子应该打 2 1 “•”？ 1 2 i1 • • a c b d 例2.两线圈的同名端如图所示,右侧线圈的绕向如何？ i2 i1 1 • •
耦合电感是耦合线圈的理想化电路模型，也称互感。 一、概念与定义
1.孤立电感：一个电感线圈
+ u –
i

N
（1）磁链是线圈中电流的函数
f (i) N Li
（2）磁场随时间变化产生电压
di uL dt
d di u L dt dt
2. 耦合电感：①定义：具有磁耦合的两个线圈。 i1 + u1 _ i2 +
与孤立电感相同，取决于线圈端电压与电流的 参考方向是否关联，关联为正号，否则取负号。
例:写出图示互感线圈端电压u1和u2的表达式
+ i1 M L2
i2
+
+
i1 L1
M L2
i2
+
u1 L 1
u2
_
u1
_
u2
_
_
di1 di 2 u1 L1 +M dt dt
di1 u2 M dt
+
di 2 L2 dt
11
u2
12
22
1
自磁通 互磁通
21
_
2
自磁链 互磁通
1 11 12 2 22 21
1 11 12 2 22 21
②仿照自感系数定义，定义互感系数为
11 L1 i1 22 L2 i2
可以证明
12 M12 i2 21 M 21 i1
. . . . . .
.
.
.
( L1 M )( L2 M ) L1L2 M 2 L M L1 L2 2 M L1 L2 2 M
四、去耦等效电路法——当耦合线圈有公共端时等效电路
1.同名端为公共端时：
+ u1
M
i1
L1
L 2 u2
i
.
i2
+
U1 jL1 I1 jM I 2 U 2 jL 2 I 2 jM I1 I I1 I 2
例2
+
j0.5
+
,U . 求U 1 2
10 30 A
解：

j2 U 1 _
j1 U
2
_
30 U1 ZL1I1 j2 10 V 120 =20 30 U 2 U M ZM I1 j0.5 10 60 =5 V
u L1，u L 2 —自感电压 u M12，u M 21 — 互感电压
线圈相对绕向不同：
i1
+
u1 _
11
12
+
22
u2
21
i2
_
di1 di 2 u1 L1 M dt dt di1 di 2 u 2 M L2 dt dt
线圈相对位置不同： i1 + u1 _ i2 +
I2 jL2
+ _jMI1
ZL
(R1 jL1 ) I1 jM I2 U S ( jL R Z ) I jM I
2 2 L 2
1
j M I1 (R 1 jL1 )I1 jM U S jL 2 R 2 ZL
1 11 12 2 22 21
1 L1i1 M i 2 2 M i1 L2i 2
④耦合电感特点：表征两线圈的参数有三个，即： L1 、 L2 ——自感， M——互感 二、耦合电感的伏安关系： + i1 M L2
i2
d 1 u1 + dt
二、空心变压器的电路分析 空心变压器——（松耦合）耦合电感 1）用耦合电感等效电路作为模型，再用相量法分析 2）反射阻抗法
例1
U S _
jM
I1 R 1 +
jL1
R2 I2
jL2
I1 ， I2 求
ZL
解:
R1
R2
I1 jL1 + _ US I2 _ jM +
di1 di 2 u1 L1 M dt dt di1 di 2 u 2 M L2 dt dt
（2）互感电压正、负号的确定：
a.首先根据同名端，由产生互感电压电流的流入 端确定互感电压的正极性端。 b.然后根据 u1 、u2 的参考极性，确定极性一致 为正，反之为负号。
（3）自感电压正、负号的确定：
三、耦合电感线圈间的并联 1.同名端相接 M L1 b 2.异名端相接 M a L1 L2 L2
a
a L
L1L 2 M 2 L L1 L 2 2M
b a
L b
L1L 2 M 2 L L1 L 2 2M
b
证明： I a U jωL1 b
M I1
jωL2
I2
U jL1 I1 jM I 2 U jL 2 I 2 jM I1 I I1 I 2
I1
U S (M ) 2 R 1 jL1 jL 2 R 2 Z L
令
R1 jL1 Z11 ——初级回路自阻抗
jL2 R 2 ZL Z22 ——次级回路自阻抗
( M ) 2 Z ref—反映阻抗：次级回路对初级回路 令 Z22 U S I1 原边等效电路:(反射阻抗法) ( M ) 2 Z11 Z 22 + Z11 2 I1 U ( M ) S U Z ref I1 S _ Z 22 Z11 Zref
10V
0≤t≤1
-10V 1≤t≤2
小结：
1）耦合电感的本质关系：线圈磁链是自磁链与 互磁链的代数和，
1 L1i1 Mi 2
2）电压电流的伏安关系一般式：
2 Mi1 L2i 2
di1 di 2 u1 L1 M dt dt di1 di 2 u 2 M L2 dt dt 牢记：① 电流的流入端与互感电压正极性端是同名端 ② 端口电压与电流参考方向关联时，自感电压 取正，否则取负。
L2 M
2）
L1 L2
L1 M
M
※含耦合电感电路分析方法： 第一步：画去耦的等效电路； 第二步：再用相量法（网孔法等）分析。
14-3
空心变压器电路分析
一、空心变压器：
不含铁心(或磁芯)的耦合线圈称为空心变压器。 其中一个线圈接电源，称为原边（或初级）； 另一线圈接负载，称为副边（或次级）。
. . . . . .
.
.
.
_
.
_
.
L1-M +
.
L2 -M M i2 + u2
U1 j(L1 M) I1 jM I U 2 j(L 2 M) I 2 jM I
. .
u1
i1
_
_
2.异名端为公共端时 原电路
M
L1 L2
等效电路
L1 M
L2 M
M
例
+
4 2 cos 2t V
M12 M21 M 意义：互感大小反映一个线圈电流在另一个线 圈中产生磁链的能力。单位：亨利 (H)
③偶合系数 K 定义
M 2112 k 11 22 L1L2
意义：k值的大小取决于两个线圈的相对位置
及磁介质的性质。衡量两个线圈耦合程度。
一般地：0≤K≤1 当 K=1 时，全耦合 当 K=0 时，无耦合 当 K≈1 时，紧耦合 当 K＜＜1时，松耦合
b
L L1 L2 2M
2.串联反接 电流i从L1的同名端流入，则从L2的同名端流出，
磁场方向相反而相互削弱。 M i di di di di a u( t ) L1 M L2 M dt dt dt dt L1 L2 di1 ( L1 L2 2 M ) dt b di L dt a 结果：等效为一个电感 L L L1 L2 2M b
二、耦合电感线圈间的串联： 1.串联顺接 电流i均从同名端流入，磁场方向相同而相互增强。 i M di di di di a u( t ) L1 M L2 M dt dt dt dt L2 L1 di1 ( L1 L2 2 M ) dt b a di L dt L 结果：等效为一个电感
14-2
含耦合电感电路的分析方法
一、基本方法：——等效电路法 把耦合电感的两个线圈看作是两个支路，由耦合 电感的伏安关系，可推知等效电路为： i1 M i2 i1 i2 + + + + L1 L2 u2 u1 + u1 L + u di L2 2 di1 1 M 2 M _ _ dt dt _ _ _ _ i1 i2 M i1 i2 + + + + L1 L 2 _ _ u1 u1 u L L1 2 di1 u2 di 2 2 M M _ dt + dt _ + _ _
i1 2
1H 1H
_
4 i2 2H
此电路处于正弦稳态中，求 i1 , i2 解：异名端为公共端的去耦等效电路 + 4 2 cos 2t V _
相量模型
4 0 V
i1 2
2H
-1H 3H
4 i2
+ I1 2
j4
I1
_
-j2 4 I2 j6 I2
相量模型
A

i1 0.47 2 cos( 2t 40.24 ) A i 2 0.498 2 cos( 2t 4.76 ) A
小结：
耦合电感有两种等效电路： i1 M i2 1） + + + u1 L 1 _ L2 u2 _ +
L1 u1 di 2 + M _ dt _
L2 + di u2 1 M _ dt _
例3: 在图(a)所示电路中，已知两线圈的互感 M=1H，电流源i1(t)的波形如图(b)所示， 试求：开路电压uCD的波形。
M A i1(t) B C i1 /A 10 L1 L2 D 0 1 2 t /s 0 － 10 1 2 t /s uCD / V 10
(a)
(b)
(c)
解： u CD
di1 M dt
jL1 、 jL2
ZL1、 ZL2 自感抗
jM
ZM 互感抗
例1
+ u1 2H _
0.5H
+ 2H
求 u1 , u 2
u2 _
2e A
2 t
di1 d 2 t 解： u1 L1 2 2e dt dt 2 t 8e V d 2 t di 1 u2 M 0.5 2e dt dt 2 t V 2e
第十四章
耦合电感和理想变压器
14-1 耦合电感的伏安关系
14-2 耦合电感线圈间的串联和并联 14-3 空心变压器电路的分析 14-4 耦合电感的去耦等效电路 14-5 理想变压器的伏安关系
14-6 理想变压器的阻抗变换性质
14-7 理想变压器的实现
14-8 铁芯变压器的模型
14-1
耦合电感的伏安关系
di1 u1 L dt
–
di 2 M dt
di1 u2 – M dt
di 2 + L 2 dt
（4）耦合电感的相量模型： I1 jM I2
+ +
jL1 U 1
_
jL2
U 2
_
jL U I j M I2 1 1 1 jM U I j L 2 1 2I2
2
同名端的含义（应用）：产生互感电压的电流与 互感电压的参考方向对同名端一致。 求右侧线圈的互感电压： 例 3：
i1
a L1
M
c L2
大小：
M
di1 dt
极性： c高d低
总结：
b
d
（1）耦合电感伏安关系一般式：
di1 di 2 u1 L1 M dt dt di1 di 2 u 2 M L2 dt dt