量子力学中厄米算符本征矢完备性的限制和界定

表 面 水分 蒸 发 过 快， 使 混 凝 土体 积 急 剧 收 缩产生裂缝。 （2）砼 浇 筑 间 隔 过长， 箱梁腹板 和顶 板 混 凝 土 浇 筑 间隔 时 间 长， 箱 梁 腹板 浇 筑 完成后， 部分箱梁顶板浇筑未能及时跟上， 造成顶板和腹板连接部分变形不同步， 而易 产生裂缝。 （3）砼 浇 筑 时 间 长， 由于 混 凝 土 拌 合 设 备 出 现 故 障 ，一 部 分 箱 梁 在 浇 筑 过 程 中， 混 凝 土浇 筑 迫不得已中断， 最 长中断达 2 .0 h， 个别箱梁 总浇 筑 时间接 近10 h， 而 设计文件要求箱梁浇筑时间为6 h以内。 （4） 箱梁顶板压光收面时， 由于表面浮 浆不足， 部分工人违规向箱梁表面洒水压光 收面， 改变了梁体原有混凝土的配合比。 3.2 提梁预留孔附近裂缝 在提梁预留孔附近发现有少量裂缝， 分 布不规 则， 原因有： 由于施 工人员在 箱梁 顶 板 上 开设 的 提梁 预留孔被 割断的钢 筋不能 有效的产生约束作用， 形成这一断面抗拉能 力下 降 导 致 预留 孔 附 近 产生 裂 缝， 而钢筋 就 是 在 混 凝 土收 缩 过 程中产生 拉 应 力， 有 效提高混凝土的抗裂性能。 3.3 梁体两端底板裂缝 梁 体 两 端 底 板 裂 缝 分布比 较 密 集， 裂 缝宽度在0.15～0.5 m m 之间， 原因分析如 下。 一 是 底 板 无 法 洒 水 养 护， 温度较大产 生裂 缝； 二是由材 料质量引起的， 混 凝 土的 水 灰比、 塌 落度、 外加 剂、 以 及砂石 料 的 含 泥 量 超 标 均 会 影 响 混 凝 土 的强度， 引起 裂 缝。 三 是 振 捣工艺引起 的， 在浇 筑 过程中， 混凝土的振捣不及时， 不到位或过分振捣， 造成离析， 造成 表面 砂 浆层， 它比下层 混 凝 土有 较 大的干缩 性能， 待水分 蒸发后， 形成
凝缩裂缝。
4 裂缝预防措施
经过现场分析和讨 论， 预防措施如下。 4.1 减少两次混凝土浇筑时间 箱梁 腹板 和 顶 板 的两次 浇 筑 时间间隔 过长， 当顶板混 凝 土在 迅 速 地硬化 时， 腹板 砼已完成了大部 分的硬化 和收 缩， 硬化、 收 缩 速 率 不 同， 腹板 混 凝 土 约 束了 顶 板 混 凝 土的收缩， 腹板和顶板界面处产生拉应力， 而 此 时顶 板 混 凝 土早 期 强 度 低， 当拉 应 力 增 加 达 到 混 凝 土 抗 拉 强度 时， 就 会出现 裂 缝。 4.2 提梁预留孔处加设防裂钢筋 按 规 范 合 理 开设 预 留 孔， 在 开 孔角 上 适当地 加 设 防裂 钢筋 能 够 提高混 凝 土的极 限 拉伸 值， 对 控制混 凝土的收 缩裂 缝有积 极作用。 4.3 优化砼配合比 （1）适 当 添 加 早 强 剂， 提高混凝土的 早期强度。 （2）适当增 加 粉 煤 灰 的 含 量， 粉煤灰 能提高混凝土流动性、 和易性， 降低混凝土 水化热， 有减 水、 润滑、 缓凝等作用， 可以有 效防止温度裂缝的产生。 (3) 适当增 加 减 水剂， 可 以有 效 地 控 制 混凝土的坍落度、 凝结时间， 减少用水量。 4.4 提高振捣质量 对浇筑、 振 捣过程中的操作人员进行有 针对性的技术交底， 浇筑过程中合理安排施 工人员， 做 到振 捣及 时、 到位、 无离析， 避免 振捣不及时、 不充分、 过分振捣， 避免混凝土 离析、 粗骨料下沉、 表面泌水等情况出现。 4.5 及时收面压光 在混 凝土浇筑完成 后， 加强振 捣， 利用
以说， 由于自由度的不完整限制了单个算 符 本 征矢的完备性。 （下转86页)
ˆ ˆ ， 对 于 任 一厄 米 算 符 A 根据 A n
①作者简介： 王振兴 （1989， 3—） ， 男， 汉， 于山西省祁县， 现就读于浙江省温州大学物理与电子信息工程学院凝聚态物理专业， 是一名在 校研究生， 主要研究量子信息方向。
n n n ，
别为 n 、 n 。
（1）
它只与函数的归 式中 为一个常系数，
ˆ 和B ˆ 的本征矢量分 一 化 有关。 并且认 为 A ˆ 在 结 构上 ˆ 和B 基于 这 种 情况， 由于 A
ˆ 和B 的 独 立 性， 说明了在 空间范围内 A ˆ 是 具 备不 同的自由度 的， 即 式（1） 中 n 和 n 在希尔伯特 空间内属于不同的自由度。 如果
The limit and Define of Hermitian Operators Eigenvectors Completeness in Quantum Mechanics
Wang Zhenxing (School of Physics and Electronic Information Engineering, Wenzhou University,Wenzhou 325035,China) Abstract： From the start vector Hermitian operators to fully set definition. In the complete set of the system (referred to as the collection system) as the standard, through discussion and collections within the collection system outside the system Hermitian operators eigenvectors completeness limits to arrive at a Hermitian operators own complete system of general proof. Then come completeness should be based on the complete set of comprehensive, strictly speaking, when talking about a completeness of eigen vectors operator, whose standpoint is very special, that we should default the operator itself is a complete collection or, in saying this operator Eigenvector space when complete set of its range is limited to within the operator domain and range where the Hilbert space. Key Words： Hermitian operators eigenvectors； Completeness； Limit； Defined; Complete sets; Hilbert space
科技创新导报
2014 NO.34 Science and Leabharlann Baiduechnology Innovation Herald
工 程 技 术
量子力学中厄米算符本征矢完备性的限制和界定 ①
王振兴 （温州大学物理与电子信息工程学院 浙江温州 325035）
摘 要： 从厄米算符矢开始,以完全集合定义出发, 以完全集合体系 （简称集合体系） 为标准.通过讨论集合体系内厄米算符本征矢量完备性限 制,从而得出了厄米算符自身体系完备性的一般证明. 进而得出完备性应该在是完全集合基础上的完备,严格说起来,谈论一个算符本征矢的 完备性时,其立足点是非常特殊的,这时候应该默认这个算符本身就是一个完全集合,或者在说这个算符本征矢为完备组时其空间范围限定为在 这个算符定义域和值域所在的希尔伯特空间之内。 关键词： 厄米算符本征矢 完备性 限制 界定 完全集合 希尔伯特空间 中图分类号： 文献标识码： 文章编号： O41 A 1674-098X(2014)12 （a） -0084-02
ˆ 和B 的 本 征 矢 量 组 定 义 为 n ， 同时 A ˆ 的
ˆ 易说明 两 个 算 符具 有共 同 本 征 矢 量。 将B
n 。 从 结 构上 对 共同本 征 矢 量 组 定 义为
ˆ 的本 征矢量 ˆ 、B 共同本 征矢量组分别和 A 组相比 较， 从数学上 来说， 可以简单 地认 为 ˆ 的本 征矢量 组具 共同本 征函数 组与 A ˆ 、B 有以下的乘积关系：
1 完备性的两个限制
完全集合为对应着相应算符的一组物理 量。 这组物理量具有特殊的特征， 它们能在某 一态中同时得到测量， 并同时具 有定值， 当它 们同时具 有定值的时候， 再也没有别的非这 组物理量的函数的物理量能在该态中再具有 定值。 根据定义， 可知这组物理量在这某一态 中具 有共同的本 征函数， 对完全集 ①合来说， 通常认为彼此独立而又两两相互对易的所有 算 符构成了完全集合。 完全集合中算 符的独 立性和对易性将会造成集合中单独的某一个 算 符的自由度的缺 失， 将 会极大 地限 制 这个 算符的完备性； 同时完全集合之外的算符， 相 较 于集合之内的 算 符 来说， 它们根 据定义域 和值域所形成的体系更灵活， 以它们为标准， 直 接 对 集合中某一 个算 符本 征 矢所 形成的 体系进行完备 性的探讨是有限制的。 下 面将 分为完全集合内和完全集合外两个方面对算 符本征矢的完备性的限制进行探讨。
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振动 滚杆 提 浆， 使 表面出现浮浆， 安 排专人 进行收面压光， 严禁用洒水代替浮浆。 4.6 及时养护 混凝土浇筑完毕及收面压光后， 待强度 达 到一定后及 时覆 盖 土工布， 洒水养护， 使 混 凝 土 表面 保 持 湿 润 状 态， 不 断 补充 蒸 发 的 水分， 这 样 既 可 以 防止 混 凝 土 的 干 缩 裂 缝， 又可以加 速混 凝土的水化， 提高混 凝土 的抗拉强度。
在《 厄 米 算 符本 征函 数 完 备 性 的 一 般 作 者对一 个厄 米 算 符本 征函数 证明》 中 ， 该 文笔 者引入了 的 完备 性 进行了论 证 [2-5] 。 一 组 完 备 的 本 征函 数作为 标 度， 对厄 米 算 符 的 本 征函 数 进 行 投 影 和反 影 射， 从而利 用了反证 法 证明了厄 米 算 符 的 本 征函数 具 有完备 性。 其中， 在引入 这 组完备的本 征函 数 时， 作 者言 明 对 于 这 组 本 征函 数 的 选 取 有 特 殊 的 要求， 在 结 论 处 作 者对要求 进行 了讨 论， 认 为 在 本 征函 数 选 取 时应 当默 认 与所 需 证明的厄 米 算 符 的 空间范围保持 一 致， 并说明了一组基矢的完备与否只能在一 定 的 空间范 围内 讨 论 才 有 意 义。 这 说明 一 个厄 米 算 符本 征函数 的 完备 性 是有一定 的 限 制 的。 但 是 对 于 一 组 厄 米 算 符 的 本 征函 数， 其限制的由来到底 为何。 作者并 没有 对 其 进 行 相 应 的展 开讨 论， 这也 是 现 在 量 子 力 学 著 作 中所 忽 略 的 问 题 。 这导 致了很 多 量子力学 学习者对厄 米 算 符本 征 矢完备 性 的限制和界定的模糊， 引发了很多的误解。 该 文 从 完 全 集 合 的 定 义 出 发， 以完全 集合 体系 （简 称 集合 体系） 为 标 准， 在 集合 体系内讨 论了厄 米 算 符本 征 矢 量完备 性 的 限制。 最 终对 完备 性的定义 进行了界定， 得 出结 论： 完 备 性 应该 在 是 完 全 集 合 基 础 上 的完备， 严格说 起 来， 谈论一个算 符本 征矢 的完备 性 时， 其立 足点是非常特 殊的， 这时 候 应该 默 认 这个算 符本身就 是 一 个完 全集
ˆ 和B ˆ 这个共同体系中再 以 这个 时 候， 在A ˆ 的 本 征 矢 量 空间为 标 准并考虑 其完备 A ˆ 的本 征 性， 就会发现由于自由度的缺失， A
2 集合体系内部的限制
A n n 确 定了其 本 征 矢 量。 在 理论 上可以讨
论并证明其本 征矢组具 有完备组的条件。 下
ˆ 的情况与其相同。 矢量不再完备了， B 在这 里只有它们的共同本 征函数组为完备组。 可
[1]
合， 或者在说这个算符本 征矢为完备组时其 空间范围限 定 为在 这个 算 符定义 域 和 值域 所在的希尔伯特空间之内。
面我们将引入另一个算符进行定性地说明。
ˆ 处 于同一个完全集合的 算 符 与算 符 A
ˆ 和算符 ˆ 。在 完 全 集 合 的 限 定 下，算 符 A B ˆ 的 关系为 相 互 独 立 且 对易。 相 互 独立指 B ˆ 相互对 ˆ 之间在 结 构上不能 有 交集； A和B