线性系统理论(能控性判据)

0
TWc
0, t1
这意味着，格拉姆矩阵Wc[t0 , t1] 奇异，即系统不完全能控。与已知矛盾，反
设不成立，必有rank Qc =n。必要性得证。证明完成。
4.2 连续时间线性时不 变系统的能控性判据
例 4.5
据所示电路，定出状态方程为
u(t)
C
x1
R
R
x2 C
x1
x2
1 RC 0
t1
]x0
e At1 x0 e At1 x0 0
说明系统是能控的
4.2 连续时间线性时不 变系统的能控性判据
必要性 已知系统完全能控，欲证 Wc[t0 , t1]为非奇异。
采用反证法。反设Wc[t0 , t1] 为奇异，即反设状态空间中至少存在一个非零
x 状态 ，0 使成立： x0TWc[0,t1]x0 0
其中 1 2 r n 则 max 1, 2, , r 且称 1, 2, , r 为系统的能控性指数集。
（例 4.10 略讲）
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并从左至右依次搜索Qμ的n个线性无关列，即若某个列不能表成其左方各线性独 立列的线性组合就为线性无关，否则为线性相关。考虑到B中有且仅有r个线性无
关列，且不妨令为b1,b2, ,br ，再将按次搜索方式得到的n个线性无关列重新排
列为 b1, Ab1, , A 1b1;b2, Ab2, , A 1b2; ;br , Abr , , A 1br ;
合。基此，上式进一步扩展为 T AiB 0,i 0,1,2,
于是，对任意t1>0，可得
0
T
I
At
1 2!
A2t 2
1 3!
A3t 3
B
T e At B,t
0, t1
4.2 连续时间线性时不 变系统的能控性判据
于是，基于上式可导出
0 T
t1 e At BBT e AT t dt
其中，x为n维状态，y为q维输出，A(t)和B(t)为n×n和n×p常值矩阵
结论 4.1
连续时间线性时不变系统（4.7）为完全能控的充分必要条件是，
存在时刻t1>0，使格拉姆矩阵
Wc [0, t1 ]
t1 eAt BBT eATt dt
0
为非奇异。
4.2 连续时间线性时不 变系统的能控性判据
证 充分性 已知Wc[t0 , t1] 为非奇异，欲证系统完全能控。设x0为状态空间中任
0
BT e AT t x0
dt
从而可进一步得 x0 2 0 即 x0 0
与题设相矛盾，从而证得 Wc[t0 , t1] 非奇异，必要性得证。证 明完成。
4.2 连续时间线性时不 变系统的能控性判据
运用格拉姆矩阵判据的类同推证过程可以证明， 对连续时间线性时不变系统系统，“Wc[0，t1]非奇异” 同样也是“系统完全能达”的充要条件。据此可以导 出，对连续时间线性时不变系统系统，有
另一方面，由系统完全能控知，状态空间中所有非零状态均可找到相应的输
入u(t)使成立：
0 x(t1) eAt1 x0
t1 e At1 e At Bu(t)dt
0
基此，可进而导出：
x0
t1 e At Bu(t)dt
0
x0
2 x0T x0
t1 0
e
At
B
u(t
)dt
T
x0
t1 uT (t)
0 1
1
x1 x2
RC 1
u,
RC
RC
n2
其中，R和C可取任意有限值。通过计算得到
1
Qc
BAB
RC 1
RC
1 (RC)2
1 (RC)2
ic
Cduc dt
u
x1
R
Cdx1 dt
x1
u x1 RC
容易判定， rank Qc =1<2=n。据秩判据知，系统不完全能控。
基此，可进而导出：
0 x0TWc[0,t1]x0
t1 0
x0T
e
At
BBT
e
AT t
x0dt
t1 0
[
BT
e
AT
t
x0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
]T
[
BT
e
AT
t
x0
]dt
t1 0
BT e AT t x0
2
dt
其中，• 表示所示向量的范数，而范数必为非负，于是，只能有
BTeATt x0 0,t [0,t1]
4.2 连续时间线性时不 变系统的能控性判据
系统完全能控 Wc[0，t1]非奇异 系统完全能达 这就表明，对连续时间线性时不变系统，能控性
等价于能达性。因此，本节给出的相对于能控性的判 据均可适用于能达性。
4.2 连续时间线性时不 变系统的能控性判据
秩判据
结论 4.2
对n 维连续时间线性时不变系统（4.7），系统完全能控的充
分必要条件为能控性判别矩阵Qc [B, AB, A2 B, An1B] 满秩， 即rankQ c=n
4.2 连续时间线性时不 变系统的能控性判据
PBH判据
结论 4.3
n 维连续时间线性时不变系统（4.7）完全能控的充分必 要条件为：
结论 4.4
rank[sI A, B] n s C
或
rank[i I A, B] n i 1,2,...., n
其中，C为复数域，λi为系统特征值。
(例 4.7)
对完全能控连续时间线性时不变系统，定义能控性指数为：
定义 4.10
μ＝使“rankQk=n”成立的最小正整数k。
结论 4.7
对完全能控单输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，则 系统能控性指数μ＝n。
结论 4.8
对完全能控多输入连续时间线性时不变系统，状态维 数为n，输入维数为p，设rankB=r，则能控性指数满足
结论 4.6
对n维线性时不变系统，若A为约当阵，特征值有重根系统完全能 控的充分必要条件是：
对应特征值相同的各约当小块最后一行对应的B阵各行向量线性 无关。（4.57）
例题4.9
4.2 连续时间线性时不 变系统的能控性判据
能控性指数
Qk [B, AB, Ak1B] 当k=n时，Qk为能控性判别矩阵
必要性 已知系统完全能控，欲证rank Qc =n
反证法。设rank Qc <n，即Qc行线性相关。这意味着状态空间中至少存在一
个非零状态α，使成立： TQc T BABA2B An1B 0
可导出 T AiB 0,i 0,1, n 1
再据凯莱-哈密尔顿定理知，An，An+1，…均可表示为I，A，A2， An-1的线性组
4.2 连续时间线性时不 变系统的能控性判据
内容简介
第一部分 格拉姆矩阵判据 第二部分 秩判据 第三部分 PBH判据（PBH秩判据、特征向量判据） 第四部分 约当规范形判据
4.2 连续时间线性时不 变系统的能控性判据
格拉姆矩阵判据
考虑连续时间线性时不变系统，状态方程为
x Ax Bu x(0) x0 t 0 （4.7）
证 充分性 已知rankQc ，欲证系统完全能控。
采用反证法，设系统不完全能控，则据格拉姆矩阵判据知，格拉姆矩阵为非奇异。 这意味着状态空间中至少存在一个非零状态α，类似结论4.1中必要性证明过程可得
T e At B 0, t [0, t1]
将上式对t求导直至(n-1)次，再在导出结果中令t=0，得
意 非零状态。
构造控制输入 u(t) BT eATtWc1[0,t1]x0,t [0,t1]
x(t1) eAt1 x
t1 e A(t1t) Bu(t)dt
t0
e At1
x0
e At1{
t1 t0
e
At
B
BT
e
AT
t
dt}Wc
1[0,
t1
]x0
e At1
x0
e
W At1 c
[0,
t1
]Wc
1[0,
n 维连续时间线性时不变系统（4.7）完全能控的充分必要条件为：
矩阵A不存在与B所有列正交的非零左特征向量，即对矩阵A所有
特征值λi，使同时满足αTA= λi αT ， αTB=0 的左特征向量 αT=0。
4.2 连续时间线性时不 变系统的能控性判据
约当规范形判据
结论 4.5
对n维线性时不变系统，若A为对角阵，且其特征值两两相异，系 统完全能控的充分必要条件是对状态矩阵线性非奇异变换导出的 约当规范形中矩阵B中不包含零行向量。（4.50）
n nr 1
p
4.2 连续时间线性时不 变系统的能控性判据
结论4.8证明
结论 4.9
对完全能控多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输
入维数为p，设rankB=r，n 为矩阵A的最小多项式次数，则能控性
指数满足
n min[ n, n r 1]
p
结论 4.10 多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为p，且
rankB=r,则系统完全能控的充分必要条件为：
rankQnr1 rank[B, AB, Anr B] n
4.2 连续时间线性时不 变系统的能控性判据
多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为p，
结论 4.11 且rankB=r,将Qμ表为
Q b1,b2, ,bp Ab1, Ab2, , Abp A2b1, A2b2, , A2bp A1b1, A1b2, , A1bp
T B 0, T AB 0, T A2B 0, , T An1B 0
4.2 连续时间线性时不 变系统的能控性判据
进而，表上述关系式组为 T BABA2B An1B TQc 0
基此，并由α≠0，可知Qc行线性相关，即rank Qc <n，与题设矛盾，所以系统
完全能控。充分性得证。