点线面体关键知识点

（2）平面与曲面立体的截交线 平面与圆柱
立 体 图
投 影 图
交线 情况
截平面平行于轴线， 截平面垂直于轴线， 交线为平行于轴线的两条 交线为圆。 直线。
截平面倾斜于轴线， 交线为椭圆。
平面与圆锥
立 体 图
投 影 图
ψ θ
ψ θ
ψ θ
ψ
θ
交线 情况
截平面垂直于轴 线(θ =90°)， 交线为圆。
投影图：
X
前后分界线
左右分界线
Y
圆锥
（2）圆锥面上取点
s' (a') s' s”
s”
a”
PV
m'
a' (a”)
PW
m' m a s
m”
m
s a
圆球
（1）圆球的投影 空间分析：
圆球面平行V面 前后分界线 的圆素线投影
投影图：
圆球面平行W面 的圆素线投影
Z
X
上下分界线
Y 左右分界线
圆球面平行H面 的圆素线投影
c’ d’ X d c
平行两直线
a’
b’ OX b a
c’ b’ d’ b d k a k' a’ O X c d d’
b’
（2’） 3’ 1‘ 4’
b
2
1 3 （4 ） a
交叉两直线
c
相交两直线
判断两直线的相对位置
1
1
1d
c 1
（5）直角投影定理
a
b
c X a
c
b
AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac
第一部分
点 直线
基础：长对正、高平齐、宽相等
平面
线面关系 投影变换
一、点
（1）长对正、高平齐、宽相等 a ●
X Z az O Z
●
a
Yw
a ●
X
az
O
●
a
Yw
ax
ax a●
a●
YH
YH
（2）两点相对位置——前后、左右、上下
a
b B
A
a
b
b
a
两点中x值大的点 —— 在左 两点中y 值大的点 —— 在前 两点中z 值大的点 —— 在上
[例题]
已知E点在平面ABC上，距离A、B为15，求点E的投影。 a2 b 15 2 d2 e1 e e2
c2
d
e
d
第二部分
基本立体 平面与立体的截交线 曲面立体与曲面立体的相贯线
一、基本立体
平面立体
曲面立体
（1）平面立体 棱柱
Z
左
a′ c′
右
b′
左
右 上 下
上 下
a1 ′ ( c1 ′ ) c ( c1) a( a1) b( b1)
D
[例 ]
平面由 BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面。
h
g
c
a
a
c
g
h
五、投影变换
（1）直线投影变换—将一般位置直线变为投影面平行线
实长
a' b' X V H
a1
β
b1
a' b' a
a b
V X H
a' 1
α
b'1
b
（1）直线投影变换—将一般位置直线变为投影面垂直线
a2 b2
（2）平面的投影变换—将一般位置平面变为投影面垂直面
截平面倾斜于轴 截平面倾斜于轴 截平面倾斜于轴线, 截平面通过锥顶， 线，且θ ＞90°, 线，且θ =φ，交 且θ ＜φ，或平行 交线为通过锥顶 交线为椭圆。 线为抛物线。 于轴线(θ =0°),交 的两条相交直线。 线为双曲线。
平面与球
Qv e′
1′(2′) 2″
e″ k1″
1″
Pv s′
k′(k1′)
一般位置直线与特殊位置平面相交
b k
n
a
(1)2'
m
c a
2
n k b c
m
1
特殊位置直线与一般位置平面相交
k' 1' (2' )
2 k1
一般位置平面与特殊位置平面相交
（3）垂直问题
线面垂直
l k
k l
面面垂直
若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都 垂直于该平面。 A
[例题8] 过点A作线段EF的垂线AB，并使AB平行于 V 面。
b
b
三、平面
（1）平面的投影
b'
a' c' b
b" a" c"
c
a
投影面垂直面
正垂面、铅垂面、侧垂面 特性：积聚性 反映倾角 相似性
a' b'
Z
a” c” YW
PH
b”
c' O

X
b
a
β
γ

c
YH
投影面平行面
正平面、水平面、侧平面 特性：实形性 积聚性 平行投影轴
c〞 a〞 b〞
X
b1 ′ c1 〞 a1 〞 O
〞 b1 YW
a′
c′
b′
c〞 a〞 b〞
后 前
k′
a1 ′ YH c (c1 ) a ( a1) (c1′ ) b1 ′ c1〞 a1 〞
k〞
Y2
〞 b1
左
右
k
b ( b1)
Y2
棱锥
s′
s〞
s′
s〞
k′
a′ a s Y Yk
k〞 b′ c′ c a（ 〞 d′ c〞 ）
（3）重影点
点A、B是对H面的重 影点 点C、D是对V面的重 影点
a b A B
d(c)
C
D
a(b)
c
d
二、直线
（1）直线的投影
b' Z b"
a' X b a YH O
a" YW
（2）特殊位置直线的投影特性
投影面平行线
正平线、水平线、侧平线 Z
a'
特性：实长性
b'
a''
b''
反映倾角
k″
s″
k1 s k e
2
1
复合体的截交线
3'
3"
3
3
三、曲面立体与曲面立体的相贯线
（1）利用积聚性求解
a'
1'
( ) ' c'd
b'
2'
a" ( b" ) d"
1" (2")
c"
d
a
1
2
b
c
2
1
C
（2）利用辅助平面法求解
（3）特殊情况
（4）复合相贯线
b
a
c X V H a b d c
（2）平面的投影变换—将一般位置平面变为投影面平行面
a2 b2 d2 实形
c2
d
d
[例题]
1
求两直线AB与CD的公垂线 。
b
2
1 2
c2 22
12 a2b2
cຫໍສະໝຸດ Baidu1
2'1 1'1
d'1
d2
[例题]
求点S到平面ABC的距离
k1
s1 k‘ 距离
k
母线
圆柱
（1）圆柱的投影 空间分析：
圆柱面最左、 最右素线投影
投影图：
圆柱面最前、 最后素线投影
Z
X
前后分界线 正面转向线
Y
左右分界线 侧面转向线
圆柱
（2）圆柱面上取点
(a')
a”
a
圆锥
（1）圆锥的投影 以轴线为铅垂线的圆锥体为例 空间分析：
圆锥面最左、 最右素线投影
Z
圆锥面最前、 最后素线投影
d′
b〞
Y Yk
e′
a′ a
k′
f′
b′ c′ c s a（ 〞 c〞 ）
k〞 b〞 Yk
e
k
f
b
b
Yk
d k
（2）曲面立体
本节介绍常见的回转曲面立体，简称回转体。 回转曲面——由母线绕定轴线作回转运动生成。 轴线
母线在任何一个位置称 为素线，素线有无穷多条， 而母线只有一条。
素线 纬圆
母线上任一点的回转运 动的轨迹是垂直于轴线的 圆，称为纬圆。
圆球面： 三个全等的圆
圆球
（2）圆球面上取点
n' a' m' b' a”
n”
b”
m
a(b)
二、平面与立体的截交线
（1）平面与平面立体的截交线
平面立体截交线：由直线段围成的平面多边形。
多边形的顶点：立体棱线与截平面的交点；
多边形的各边：截平面与立体表面上不同 平面的交线。 截平面
截交线 几边形？——与几个表面相交
平行于投影轴
X
a
实长
O βγ b YH
YW
投影面垂直线
正垂线、铅垂线、侧垂线
a' b' X
Z
a'' b''
特性：积聚性 反映实长
O
YW
垂直于投影轴
a(b )
YH
（3）定比性
将AB分成2﹕1两段，求分点C的投影c、c 。
c
a k
O X
●
●
●
b
O
b c
k●
a
（4）两直线的相对位置
c’ a’ O
a’
b’
c’
Z
a” c”
b”
X
YW
a b
c
YH
（2）平面上取点、取线
典型例：求五边形的投影
d'
d
四、线面关系
（1）平行问题
线面平行
2' 1’ d' a' 2 d 1
3'
b' O
X
a
3
b
面面平行
a b
f
s n m
c d e c
r
e
m
n
a
d
s r
b
结论：两平面平行
f
（2）相交问题