北师大版八年级上数学 一元一次函数 教案

第六章一元一次函数

6.1 函数

一、常量和变量

在行程问题中，当速度v保持不变时，行走的路程s是随时间的变化而变化的，那么在这一过程中，是常量，而和是变量. 当路程s是个定值时，行走的时间t是随速度v的变化而变化，那么在这一过程中，是常量，而与是变量.

概念：在一个变化的过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量.

[注意] 变量和常量往往是相对的，是相对某个变化过程的. 如：s,v,t三者之间，在不同研究过程中，变量与常量的身份是可以互相转换的.

例题1：指出下列关系式中的常量和变量：（1）错误！未找到引用源。；（2）错误！未找到引用源。;（3）错误！未找到引用源。（a、h为已知数）

二、函数的定义

问题1 小明暑假第一次去北京．汽车驶上A地的高速公路后,小明观察里程碑,发现汽车的平均车速是95千米/小时．已知A地直达北京的高速公路全程为570千米，小明想知道汽车从A地驶出后,距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系，以便根据时间估计自己和北京的距离．

分析：我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而变化,要想找出这两个变化着的量的关系,并据此得出相应的值,显然,应该探求这两个变量的变化规律．为此,我们设汽车在高速公路上行驶时间为t小时,汽车距北京的路程为s千米,根据题意,s和t的函数关系式是

s＝570－95t．

说明：找出问题中的变量并用字母表示是探求函数关系的第一步,这里的s、t是两个变量，s是t的函数，t是自变量，s是因变量．

问题2 小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来．他已存有50元,从现在起每个月节存12元．试写出小张的存款与从现在开始的月份之间的关系式．

分析：我们设从现在开始的月份数为x,小张的存款数为y元,得到所求的函数关系式为：y＝50＋12x．

函数的概念：一般地，在某个变化的过程中，有两个变量x和y，如果在x允许的范围内给定一个x值，相应地就唯一确定了一个y值，称x是自变量，y是因变量，y是x的函数. 如问题1中路程的s是时间t的函数，问题2中存款数y是月份数x的函数.

例题2 中国淡水资源总量约为错误！未找到引用源。亿立方米，则人均占有淡水资源y （立方米）与人口数x的关系为.

例题3 写出下列问题的函数关系式，并指出自变量和因变量.

(1)面积为10cm2的三角形的底a(cm)与这边上的高h(cm)；

(2)长为8(cm)的平行四边形的周长L(cm)与宽b(cm)；

(3)食堂原有煤120吨，每天要用去5吨，x天后还剩下煤y吨；

(4)汽车每小时行40千米，行驶的路程s （千米）和时间t （小时）．

(5)汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程中y （千米）与行驶时间x （时）之间的关系式；

(6)圆的面积y （cm 2）与它的半径x （cm ）之间的关系；

(7)一棵树现在高50cm ，每个月长高2cm ，x 月后这棵树的高度为y （cm ）

三、对函数定义的理解

（1）在一个变化过程中必须有两个变量x 和y ，如x+y=3、x-y=5、y=5x+6等.

（2）对于自变量x 的取值，必须要使代数式有意义，如y=2x+1中自变量可以在实数范围内取值；12-=

x y 中被开方数要满足012≥-x ，即2

1

≥

x ，另外，在实际问题中，自变量x 的取值必须要有实际意义，如人数、多边形变数、机器数等要为正整数，时间要为非负数等.

（3）函数的实质是揭示两个变量时间的关系. X 每取一个值，y 要有一个且有且只有一个值与之对应，否则y 就不是x 的函数，如，x y =

在实数范围内，y 就不是x 的函数，因

为在x<0时，x 取一个值，如x=-2，y 没有一个值与它对应，所以在x<0时，y 就不是x 的函数：再如()0≥±=x x y ，当x=4时，2±=y ，此时y 有两个值与x 对应，所以y 也不是x 的函数.

（4）判断两个函数是不是同一个函数，应该根据自变量的取值范围，函数y 的取值范围，

函数解析式是否一致来判断. 如①y=x 和②x

x y 2

=，其中①的x 可以取任意实数，②中x 取

不等于0的实数，所以x

x y x y 2

==与不是同一个函数.

例题4 求下列函数自变量的取值范围 （1）3

24

2---=

x x x y （2）x y 53-=

（3）158122+-+-=x x x x y （4）1

23--=x x

y

例题5 小强在劳动技术课中要制作一个周长为80cm 的等腰三角形，请你写出底边长y （cm ）与一腰长x （cm ）的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围.

四、函数值

对于一个函数，当自变量x=a 时，我们可以求出与它对应的y 的值，我们就说这个值是当x=a 时的函数值.

[注意]对于一个函数，可能有若干个函数值，x 取不同的值，函数的值可能不相同，因此应该说明自变量x 取什么值的时的函数值. 如函数y=x-3，当x=0时的函数值为-3；当x=3时的函数值为0，.........，所以不能简单的说函数y=x-3的函数值是3. 例题6 已知3

4

2-+=

x x y （1）求当x 取1、-1时的函数值；（2）求当23

1--=、y 时x 的值.

五、函数图像

把一个函数的自变量x 与对应的因变量y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有的点组成的图形叫做该函数的图像. 反之，在函数图像上所有点的横坐标、纵坐标作为自变量、因变量满足函数表达式. 作函数图像的一般步骤是：（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描的点用平滑的曲线连接起来.

[注意] 列表时自变量的取值要注意兼顾原则，既要有代表性，又不能过大或过小，以利于描点和全面反映图像情况.

例题7 如图是某地一天的气温随时间变化的图象，根据这张图回答：在这一天中， （1）什么时间气温最高？什么时间气温最低？最高气温和最低气温各是多少度？

（2）20时的气温是多少？（3）什么时候气温为6℃？（4）哪段时间内气温不断下降？ （5）哪段时间内气温持续不变？

例题8 星期天，小王去朋友家借书，下图是他离家的距离y （千米）与时间x （分钟）的函