奥数培训

第八讲几何法（图表法）

几何法就是用几何学的理论和方法去解决其他学科问题的方法，通过将其他学科问题中的数量关系赋予几何意义，就可以借助几何直观分析和解决这些问题.几何直观（或者说图形直观）常常能启发思路，帮助思考，引导探索，引起联想，进而发现和提出有价值的猜想和思维成果，在数学和其他领域中有着广泛的应用.

图形直观特别适用于“形象思维为主”的小学生，有助于他们利用自己的形象思维，来支持他们暂时还比较薄弱的抽象逻辑思维.

在小学数学中常常用到一下几种图形.

一、线段图

在线段图中，我们用线段表示某种数量，线段的长度表示数量的大小，线段长度间的关系表示数量关系，从而直观地显示题意，以便寻求已知条件和问题之间的联系.

例1 某校参加数学竞赛预赛的学生有164人，赛后，男生的3

5

、女生的

3

8

获

得决赛权.已知被淘汰的男、女生人数相等，问获得决赛权的男生有多少？

例2 在郊外上班的张工程师，每天在某一时刻乘火车到达P站，然后乘准时

到达P站接他的汽车到工厂上班.有一天，张工程师提前55分钟到P站，就向工厂走去，在路上遇到了接他的汽车，就乘车去工厂，结果比平时提前10分钟到达.问汽车速度是张工程师步行速度的几倍？

二、关系图

关系图的表示法很多，研究对象可以用点表示，也可以用方框或者圆圈表示，对象间的关系则用连接两者的线条表示，线条可以添加箭头或标注.

例3 有两缸金鱼，如果从第一缸里取出15尾放入第二缸，则第二缸里的金鱼

正好是第一缸的5

7

，已知第二缸里原有金鱼35尾，第一缸里原有金鱼多少尾？

画示意图时，要全面反应题目的已知数量、未知数量以及他们之间的各种数量关系，以便学生完整地理解题意，进而找出由已知通向未知的途径.

例4 甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛一盘，到现在为止，甲已经赛

了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘，问小强已经塞了多少盘？

三、树形图

这种图类似于树枝状.可用于不同的场合.

例5 已知A,B,C,D,E,F,G,H,I,K代表了十个互不相同的大于0的自然数.要使下列等式都成立，A最小是什么数？

B+C=A; D+E=B; E+F=C;

G+H=D； H+I=E; I+K=F.

四、矩形图

如果一道题涉及的是两种数量以及它们的乘积（如速度、时间和路程），则可用矩形的长和宽表示这两种量，而用矩形的面积表示它们的积.因此，能借助几个矩形的长、宽和面积之间的关系进行推理或计算.

例6 一个人骑自行车从甲地到乙地，如果每小时行10千米，则下午1时到达，

如果每小时行15千米，则上午11时到达.现在要求中午12时到达，他每小时要行多少千米？

五、表格

例7 251千克苹果分装若干箱，其中每箱8千克的装了7箱，其余的每箱装15千克.这些苹果共装了多少箱？

总之，一幅图包含着复杂的信息，可以从各种水平来理解.波利亚说过：“图形不仅是几何问题的对象，它对于解答所有各类问题都有很大的帮助，即使初看起来与几何无关.”法国数学家笛卡儿说过：“没有什么东西比几何图形更容易印入我们的脑海中.”为了借助小学生的形象思维，支持和发展他们的逻辑思维，需要根据教材的具体内容和特点，适当使用各种直观形象的教学手段，首先是各种图和表格.

例8 甲、乙两车同时从A、B两地相向开出，甲车每小时行100千米，乙车每小时行96千米，它们相遇时距A，B两地的中点16千米.求A,B两地的距离.

例9 某小学六年级选出男生的1

11

和女生12名参加了数学竞赛，剩下的男生

人数是剩下的女生人数的2倍.已知这个学校六年级共有156人，则男、女生各有多少人？

例10 甲、乙、丙、丁四人共有60本书，如果甲的书增加4本，乙的书减少1

本，丙的书扩大5倍，丁的书减少一半，则四人的书一样多.这四个人原来各有多少本书？

例11 哥哥和弟弟各摘了一些柿子，如果哥哥给弟弟8个，他们就一样多.如果

弟弟给哥哥8个，哥哥的柿子就是弟弟的两倍.哥哥和弟弟原来各摘了多少个桃子？

例12 某厂原计划14天完成一批化肥生产任务，由于每天多生产35吨，结果9天就完成了任务.问计划每天生产化肥多少吨？

例13 某班有学生39人参加作文小组，32人参加数学小组，两个小组都参加的有26人，两个小组都未参加的一个也没有.求这个班的学生人数.

例14 某班学生中骑车、游泳、打球每人至少会一项，其中会骑车的有29人，

会游泳的有25人，会打球的有37人.同时会骑车和游泳的有15人，同时会游泳和打球的有13人，同时会骑车和打球的有16人，同时会这三项的有7人.问全班共有学生多少人？

例15 甲、乙、丙三人中，一位是工人，一位是农民，一位是战士.现在知道

（1）甲和农民不同岁；（2）农民比乙年龄小；（3）乙比战士年龄大.试确定谁是工人，谁是农民，谁是战士.