位移法

时，附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力；
•F1P、F2P── 基本体系在荷载单独作用时，附加约
束1、位2中移产法生方的程约的束力含矩义和：约基束本力；体系在结点位
移和荷载共同作用下，产生的附加约束中的 总约束力(矩)等于零。实质上是平衡条件。
F1P F2P
k11
Δ1 Δ1=1
k21
× Δ1
k12
用力法求解 i=EI/l
4i
M AB 4i, M BA 2i
θB
QBA MBA
MBA<0
2i M
Δ
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由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数（表11-1）。
单跨超静定梁简图
θ=1
A
B
A
θ=1
A A
θ=1
A
B1
B
B
1
B
MAB
4i
6i l
3i
3i l
i
MBA
2i
6i l
0 0
§11-1 位移法的基本概念
1、超静定结构计算的总原则: 欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力
方面和变形方面与原结构完全一样。
力法的特点： 基本未知量——多余未知力； 基本体系——静定结构； 基本方程——位移条件
（变形协调条件）。
位移法的特点：
？ 基本未知量—— 独立结点位移
基本体系——一组单跨超静定梁 基本方程—— 平衡条件
M 4i 2i 6i D
AB
A
B
l
+mAB
M 2i 4i 6i D
BA
A
B
l
+mBA
↓↓↓↓↓↓↓↓
Δ
MAB QAB
β θA
θB
转角位移方程
QBA MBA
5、已知杆端弯矩求剪力：取杆 件为分离体建立矩平衡方程：
QAB
M
AB
l
M
BA
QA0B
注：1、MAB,MBA绕杆端顺时 针转向为正。
2、
Q0 AB
MP
2i k11 =8i
3i M1
20 36
D1
0
F k11D1 F1P 0
4i
3i
解之:Δ1=－F1P/k11=2/i
i
利用 M M D M 叠加弯矩图
11
P
28 30 郑州大学土木工程学院 樊友景编制
16
15kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓
48kN C
27
+
31.5
+
A 30 i
Bi
33
4m
位移法基本未知量
结点转角数目=刚3结点的数目 独立结点线位移数目=铰结体系的自由度
2 =矩形框架的层数 在确定基本未知量时就考虑了变形协调条件。
1
结点转角的数目：7个
相应的铰接体系的自由度=3 独立结点线位移的数目：3个
也等于层数 3
结点转角的 数目：3个
独立结点线位移的数目：2个 不等于层数 1
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4m
4m 2m
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§11-6 位移法计算有侧移刚架
Δ2
Δ2
2i
Δ1
4.42 F1
Δ2
Δ1 M图
F2
4m
3kN/m
↓↓↓↓↓↓↓
3kN/m
↓↓↓↓↓↓↓
i
i
F1=(k0N.m)
13.62 F2=0 5.69
8m
4 F1P
4i k11
1.5i k12
Δ2=1
3kN/m
↓↓↓↓↓↓↓
－i
QAB= QBA
6i l
12i l2
3i l 3i
l2
0
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3、载常数:由跨中荷载引 起的固端力
Δ1=δ11X1 + Δ1P=0
d 11
1 EI
l2 2
2l 3
l3 3EI
D 1P
1 EI
1 3
ql 2 2
l
3l 4
ql 4 8EI
X1=－Δ1P / δ11 =3ql/8
F1P=40－41.7= －1.7 F F2P=41.7
4iI D i
4m
D MP
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5）解方程，求基本未知量；
D101iD11.152i/Di 2 1.7 0 D2i2D1 49.i8D92/i 41.7 0
3i
2i
A 3i B 4i
C
40 4210.k7N/m 41.7
注意: ①铰处的转角不作基本未知量。杆端为铰支座或铰结点
杆件，其杆端力按一端固定一端铰支的单跨超静定梁确定。
② 剪力静定杆的杆端侧移也可不作为基本未知量。其杆端 力按一端固定一端Δ 定向支座的单超静定梁（即剪力静定梁）确
a
定。Δ如图示结构中B端的侧移，C端的侧移D点的线位移均不作
基本未知量，不需加附加约束。（DE杆是剪力静定杆）。
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基本D要isp求lac：ement Method
掌握掌握位移法基本结构的确定，
位移法典型方程的建立，方程
❖ ❖ ❖ ❖ ❖ ❖ ❖ ❖
中的系数和自由项的计算，最
后弯矩图的绘制。 熟练掌握用位移法计算超静定梁、
刚架和排架问题。 重点掌握荷载作用下的超静定结构
计算 掌握剪力图和轴力图的绘制、利用
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20kN
2kN/m
§11-5 位移法计算连续梁
及无侧移刚架
Ai
B
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
i
C
3m 3m
6m
1）确定基本未知量Δ1=θB ；
2）确定位移法基本体系； 15
20kN15 9
2kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
C
3）建立位移法典型方程； A
k11D1 F1P 0
B
11.57
11.57 ∑MB=0
M图 (kN.m)
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例：作弯矩图
1、基本未知量 D1 B , D2 C
2、基本体系 3、典型方程
k11D1 k12D2 F1P 0
k21D1 k22D2 F2P 0
4）mmkk画BB12CA11M==42Piqi4、+8l40q13M21lk2i+2N.i;7由32.kim0平=N8•2衡1.4m001求2i•2k5ij2、FiP
因此，位移法分析中应解决的问题是：①确定单跨梁在各 种因素作用下的杆端力。②确定结构独立的结点位移。③建立 求解结点位移的位移法方程。
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§11-2 等截面直杆的杆端力（形常数、载常数）
1、杆端力和杆端位移的正负规定
①杆端转角θA、θB ，弦转角 MAB
β＝Δ/l都以顺时针为正。
28 30 郑州大学土木工程学院 樊友景编制 16
15kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓
30 i
M图
Δ1 48
2i
48kN
i
4m
15kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓
F1
Δ1
48kN
当F1=0
基本体系
(kN.m) 4m
2m 2m
20 15kFN1/mP 36
↓↓↓↓↓↓↓↓
48kN
4i k11 Δ1=1 i
+ F1P=－16 20
D
Δ
B
E
C
D
A
l
③结构带无限刚性梁时，梁端结点转动不是独立的结点
位移。若柱子平行，则梁端结点转角=0，若柱子不平行，则 梁端结点转角可由柱顶侧移表示出来。
④对于平行柱刚架不论横梁是平的，还是斜的，柱子等
高或不等高，柱顶线位移都相等。
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§11-4 位移法典型方程
Δ2
F1 Δ2
4）画M、MP;由平衡求系 数和自由项；
15
B
F1P 9
MP
F1P=15－9=6
4i
Δ1=1
C
5）解方程，求基本未知量； A
D1
F1P k11
6 7i
2i
4i
B
k11 3i
M1
3i k11=4i+3i=7i
6）按 M=∑Mi·Δi+MP16.72
11.57 9
叠加最后弯矩图
30
C
7）校核平衡条件
A
48
Q图
16.5
M图 2
(kN)
(kN.m)
D
4m
2m 2m •由已知的Q图结点投影平衡求轴力：
•由已知的弯矩图求剪力：
•校QA核B ： M A∑B lMMBB=A0QA0B28 B 30
↓↓↓1↓5↓k↓N↓/↓m28
16 4
15 2
448k2N7k
N
2
27 QBC
30 4
42864.531.51k6N.5
是简支梁的剪力。
MAB QAB
MAB
Q’‘ AB
Q0 AB
P
MBA
+
P
QBA MBA
Q’‘ BA
Q0 BA
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§11-3 位移法的基本未知量和基本体系 位移法的基本未知量是独立的结点位移；基本体系是将 基本未知量完全锁住后，得到的超静定梁的组合体。
1、基本未知量的确定： 结点角位移的数目=刚结点的数目
由跨间荷载引起的杆端力称为载常数（表11-2）。
单跨超静定梁简图
mAB
mBA
q
↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓ ↓↓
ql 2
ql 2
A
B
12
12
A
P
Pl
B
8
Pl 8
q
↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓ ↓↓
A
B
ql2
8
0
P
A
B
3Pl
0
l/2
l/2
16
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4、转角位移方程：杆端弯矩的一般公式：
4FF121影反01ik.kD方力512i11FF1DDM程，与D1211PP11P。由线.==511－4i5D方截位k6ki1622D2程面移2DD24中投相2260的影应FFF20系方的1P2PP6数程位Δi2利解10和来移i=0kk用112之自求法11乘==M:Fk由。方1－MΔΔ1101112P1项程=i1144.0.i55M是是.i7i 31基沿060D7i/1本线ik，1642.M体位q1i25Δl3i42系移2i11=D6.75附方kk2.i125M21加向乘8==M2/1－iΔ支的5P21i叠0杆截/.1.57加6中面i5i弯的投1036i矩Fk2图12Pk22
QB∑A Y==20278+46146.5+11526.45－ 1353×kN4－48
33 B 31.5
NAB
∑X=0 ∑Y=0
0 0
NBD NAB=0 NBD=－64.5
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位移法计算步骤可归纳如下：（P22）
1）确定基本未知量； 2）确定位移法基本体系； 3）建立位移法典型方程； 4）画单位弯矩图、荷载弯矩图; 5)由平衡求系数和自由项； 6）解方程，求基本未知量； 7）按 M=∑Mi·Δi+MP 叠加最后弯矩图。 8）利用平衡条件由弯矩图求剪力；由剪力图求轴力。 9）校核平衡条件。
Δ1
Δ1
F1=0 F2=0
Δ1
Δ1
F2
位移法
基本体系
F1=0
ຫໍສະໝຸດ Baidu
k11D1 k12D2 F1P 0
F2=0
k21D1 k22D2 F2P 0
•F11、F21(k11、k21) ── 基本体系在Δ1(=1)单独作
用时，附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力；
•F12、F22(k12、k22) ── 基本体系在Δ2(=1)单独作用
× Δ2
Δ2=1
k22
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n个结点位移的位移法典型方程 k11D1 k12D2 k1nDn F1P 0 k21D1 k22D2 k2nDn F2P 0
kn1D1 kn2D2 knnDn FnP 0
• 主系数 kii── 基本体系在Δi=1单独作用时，在第 i个附加约 束中产生的约束力矩和约束力，恒为正；
为了减小结点线
位移数目，假定： Δ
①忽略轴向变形，
P P
②结点转角和弦转
θC
角都很微小。
Δ θD P
Δ
P
Δ
Δ
θC
2、基本体系的确定：
即：受弯直杆变形前后，两端之间的距离保持不变。
结论：原结构独立结点线位移的数目=相应铰结体系的自由度。
=刚架的层数（横梁竖柱的矩形框架）。
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↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
B
C
E D
F
D MP
M1 E 1.5i
F
A
B
2i
4i
2i C 3i
D
40 43.5 46.9
24.5 14.7
62.5
E
M2
A
B 3.4
C 9.8 D
Fi
M图(kN.M)
43.5
Bk224=64.9i+32i+4.25i=
C 9i
14.7
E 1.7
4.9F
4m
5m
MB 03.4k21=2i MC 0 9.8
对称性简化计算。 了解温度改变、支座移动下的超静
定结构计算。
支位位无位位等位
座 移 动
移 法 计
移 法 之
侧 移 、 有
移 法 之
移 法 基
截 面 直
移 法
和 温 度 改
算 对 称 结
直 接 平 衡
侧 移 刚 架 算
典 型 方 程
本 未 知
杆 的 杆 端
基 本 概
变构法例法量力念
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各种单跨超静定梁在各 种荷载作用下的杆端力均可 按力法计算出来，这就制成 了载常数表11-2（P5）
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
mAB
l，EI
M1
l
ql2/2 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
X1=1
MP
ql2/8
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
M图
ql 2
m
AB
8
m 0 BA
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m 41.7k3Ni .m
CB
2i
A 3i B 4i
C
M1 E 1.5i
F
4m 2m
20kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A 4iI B
5iI
i
i
30I.75 i
0.75 i E
C
03.I5 i 0.5 i
F
4m
5m
40 4210.k7N/m 41.7
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
B
C
D E
• 付系数 kij= kji── 基本体系在Δj=1单独作用时，在第 i个 附 加约束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零；
• 自由项 FiP── 基本体系在荷载单独作用时，在第 i个 附加约 束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零；
•由形常数作Mi (Di 1引起的弯矩图)，由载常数作M P (荷载引起 的弯矩图)；再由结点矩平衡求附加刚臂中的约束力矩，由截 面投影平衡求附加支杆中的约束力。
QAB
②杆端弯矩对杆端以顺时针为正
β θA
对结点或支座以逆时针为正。
杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩，都假定 对杆端顺时针转动为正号。作用与结点上 的外力偶荷载，约束力矩，也假定顺时针 转动为正号，而杆端弯矩作用于结点上时 逆时针转动为正号。
MAB>0
1
2、形常数：由单位杆端位移引起
的单跨超静定梁的杆端力